登录
1. 下列所给方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2 -6x +9=0$
B.$2x^2 -3x +5=0$
C.$x^2 +3x +5=0$
D.$2x^2 +9x +5=0$
D
)A.$x^2 -6x +9=0$
B.$2x^2 -3x +5=0$
C.$x^2 +3x +5=0$
D.$2x^2 +9x +5=0$
答案
D 解析 A. $b^2-4ac=36-4×9=0$,原方程有两个相等的实数根;B. $b^2-4ac=9-4×2×5=-31＜0$,原方程没有实数根;C. $b^2-4ac=9-4×5=-11＜0$,原方程没有实数根;D. $b^2-4ac=81-4×2×5=41＞0$,原方程有两个不相等的实数根.故选 D.
2. (2024·潍坊中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m,n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
C 解析 $\because m-2n=3,\therefore m=2n+3,\therefore \Delta=(-m)^2-4(-n^2+mn+1)=m^2+4n^2-4mn-4=(2n+3)^2+4n^2-4n(2n+3)-4=4n^2+12n+9+4n^2-8n^2-12n-4=5＞0,\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根,故选 C.
3. 若$k＞2$,则关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 -k +1=0$的实数根的个数为
2
.答案
2 解析 $\because x^2-2kx+k^2-k+1=0,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2k)^2-4(k^2-k+1)=4(k-1).\because k＞2,\therefore 4(k-1)＞0$,故方程有两个不相等的实数根,故答案为 2.
4. (2026·西安期中)对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法:①若$a−b+c=0$，则方程必有一根为$x=-1$；②若$b^2−4ac＜0$，则方程一定没有实数根；③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，且$c≠0$，则一定有$ac+b+1=0$成立；④当$b=0$且方程存在实数根时，两个实数根相等.其中说法正确的序号是
①②③
.答案
①②③ 解析 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$:①$\because a-b+c=0,\therefore$ 将 $x=-1$ 代入方程得 $a-b+c=0,\therefore$ 方程一定有一根为 $x=-1$,正确;②若 $b^2-4ac＜0$,方程无实数根,正确;③若 $c$ 是方程的一个根,则 $ac^2+bc+c=0$,即 $c(ac+b+1)=0$,$\because c ≠ 0$,则 $ac+b+1=0$,正确;④当 $b=0$ 且方程存在实数根时,两个实数根互为相反数,故原说法错误.综上,①②③正确.
5. 已知关于x的方程$(k-1)x^2 +kx +1=0$.
(1)求证:不论k取什么实数,这个方程总有实数根；
(2)若k为整数且方程有两个不相等的整数根,求k的值.
(1)求证:不论k取什么实数,这个方程总有实数根；
(2)若k为整数且方程有两个不相等的整数根,求k的值.
答案
(1)当 $k-1=0$,即 $k=1$ 时,方程 $x+1=0$ 是一元一次方程,根为 $x=-1$;当 $k ≠ 1$ 时,方程是一元二次方程,$b^2-4ac=k^2-4(k-1)=k^2-4k+4=(k-2)^2 ≥ 0$,$\therefore$ 不论 $k$ 取什么实数,这个方程总有实数根.
(2)$\because$ 方程有两个不相等的整数根,$\therefore$ 方程为一元二次方程,$\therefore k ≠ 1$,$x=\frac{-k \pm \sqrt{(k-2)^2}}{2(k-1)}=\frac{-k \pm (k-2)}{2(k-1)}$,$x_1=\frac{1}{1-k}$,$x_2=-1$.
$\because k$ 为整数,方程的根也是整数,$\therefore k=0,2$,当 $k=0$ 时,$x_1=1$,$x_2=-1$;当 $k=2$ 时,$x_1=x_2=-1$.$\because$ 方程有两个不相等的整数根,$\therefore k=0$.
易错提醒 运用根的判别式的前提是方程为一元二次方程,即要保证二次项系数不为 0.
(2)$\because$ 方程有两个不相等的整数根,$\therefore$ 方程为一元二次方程,$\therefore k ≠ 1$,$x=\frac{-k \pm \sqrt{(k-2)^2}}{2(k-1)}=\frac{-k \pm (k-2)}{2(k-1)}$,$x_1=\frac{1}{1-k}$,$x_2=-1$.
$\because k$ 为整数,方程的根也是整数,$\therefore k=0,2$,当 $k=0$ 时,$x_1=1$,$x_2=-1$;当 $k=2$ 时,$x_1=x_2=-1$.$\because$ 方程有两个不相等的整数根,$\therefore k=0$.
易错提醒 运用根的判别式的前提是方程为一元二次方程,即要保证二次项系数不为 0.
6. 已知关于x的一元二次方程$(k-2)^2x^2 + (2k+1)x +1=0$有实数根，则k的取值范围是（
A.$k＞\frac{3}{4}$且$k≠2$
B.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠2$
C.$k＞\frac{3}{4}$
D.$k≥\frac{3}{4}$
B
）A.$k＞\frac{3}{4}$且$k≠2$
B.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠2$
C.$k＞\frac{3}{4}$
D.$k≥\frac{3}{4}$
答案
B 解析 $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k-2)^2x^2+(2k+1)x+1=0$ 有实数根,$\therefore b^2-4ac=(2k+1)^2-4(k-2)^2 × 1 ≥ 0$,解得 $k ≥ \frac{3}{4}$.$\because (k-2)^2 ≠ 0$,$\therefore k ≠ 2$,$\therefore k ≥ \frac{3}{4}$ 且 $k ≠ 2$.故选 B.
7. 若关于$x$的方程$x^2 + bx - c = 0(c≠0)$有两个相等的实数根，则代数式$\dfrac{b^2}{2c}$的值是
-2
.答案
-2 解析 $\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2+bx-c=0(c ≠ 0)$ 有两个相等的实数根,$\therefore b^2+4c=0$,$\therefore b^2=-4c$,$\therefore \frac{b^2}{2c}=\frac{-4c}{2c}=-2$.
8. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2-(2a-1)x+a^2+2=0 $有两个不相等的实数根.
(1)$ a $的最大整数值为________.
(2)$ x=1 $可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
(1)$ a $的最大整数值为________.
(2)$ x=1 $可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
答案
(1)-2 解析 根据题意知,$\Delta=[-(2a-1)]^2-4(a^2+2)＞0$,整理,得$-4a-7＞0$,解得 $a＜-\frac{7}{4}$,$\therefore a$ 的最大整数值是-2.
(2)$x=1$ 不可能是方程的一个根.理由如下:将 $x=1$ 代入方程,得 $1-(2a-1)+a^2+2=0$,整理,得 $a^2-2a+4=0$.$\because (-2)^2-4 × 1 × 4=-12＜0$,$\therefore$ 方程 $a^2-2a+4=0$ 无解,故 $x=1$ 不可能是原方程的一个根.
(2)$x=1$ 不可能是方程的一个根.理由如下:将 $x=1$ 代入方程,得 $1-(2a-1)+a^2+2=0$,整理,得 $a^2-2a+4=0$.$\because (-2)^2-4 × 1 × 4=-12＜0$,$\therefore$ 方程 $a^2-2a+4=0$ 无解,故 $x=1$ 不可能是原方程的一个根.
9. (2024·巴中中考)已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为-2，则方程的另一个根为
4
。答案
4 解析 设方程的另一个根为 $m$,$\because$ 方程 $x^2-2x+k=0$ 有一个根为-2,$\therefore -2+m=2$,解得 $m=4$.故答案为 4.
10. 设$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x +1=0$的两根，则$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=$（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$5$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$5$
答案
B 解析 $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=1$,而 $(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=3+2=5$,且 $\sqrt{x_1} ≥ 0$,$\sqrt{x_2} ≥ 0$,$\therefore \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} ≥ 0$,$\therefore \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{5}$,故选 B.
11. 若$a≠b$，且$a^2 -4a +1=0$，$b^2 -4b +1=0$，则$\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2}$的值为（
A.$\frac{1}{4}$
B.1
C.4
D.3
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.1
C.4
D.3
答案
B 解析 由 $a^2-4a+1=0$,$b^2-4b+1=0$ 得 $a^2+1=4a$,$b^2+1=4b$,$\therefore \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}=\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}=\frac{a+b}{4ab}$,又由 $a^2-4a+1=0$,$b^2-4b+1=0$ 可以将 $a,b$ 看成是方程 $x^2-4x+1=0$ 的两个根,$\therefore a+b=4$,$ab=1$,$\therefore \frac{a+b}{4ab}=\frac{4}{4 × 1}=1$,故选 B.
