11. 如图，$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，AD为$△ ABC$的外角$∠ EAC$的平分线，AD与$\odot O$相交于点D，证明：$△ DBC$为等腰三角形。

11. $\because AD$平分$∠ EAC,\therefore ∠ EAD=∠ CAD$,$\because A,D,C,B$四点共圆,$\therefore ∠ DAB+∠ DCB=180°.\because ∠ EAD+∠ DAB=180°$,$\therefore ∠ EAD=∠ DCB$,由圆周角定理,得$∠ CAD=∠ CBD,\therefore ∠ DCB=∠ DBC$,$\therefore DB=DC$,$\therefore △ DBC$为等腰三角形

【分析】
要证明△DBC为等腰三角形，需证明其有两条边相等或两个内角相等，本题可通过证明∠DCB=∠DBC推导DB=DC。首先利用角平分线的性质得到∠EAD=∠CAD，再结合平角定义、圆内接四边形的性质推导∠EAD=∠DCB，最后利用圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，通过等量代换得到两个底角相等即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ A、D、C、B四点共圆，
∴ ∠DAB+∠DCB=180°，
又
∵ ∠EAD+∠DAB=180°（平角的定义），
∴ ∠EAD=∠DCB（同角的补角相等），
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠CBD，
∴ ∠DCB=∠DBC，
∴ DB=DC，
∴ △DBC为等腰三角形。
【答案】
△DBC为等腰三角形
【知识点】
角平分线的性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心是通过角的等量代换推导等角，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，准确找到角与角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径作$\odot O$，交边$BC$于点$D$，交$CA$的延长线于点$E$，连接$AD$，$DE$。
（1）证明：$BD=CD$。
（2）若$AB=5$，$DE=4$，求$AD$的长。

12. （1）$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°,\therefore AD⊥ BD$,又$\because AB=AC,\therefore BD=CD$ （2）$\because AB=AC=5$,$\therefore ∠ B=∠ C,\because ∠ B=∠ E,\therefore ∠ E=∠ C,\therefore DE=DC,\because DE=4,\therefore DC=4$.$\therefore AD=3$

【分析】
（1）要证明$BD=CD$，首先结合AB是圆的直径的条件，可利用直径所对圆周角为直角得到$AD⊥ BC$，再结合已知$AB=AC$，通过等腰三角形“三线合一”的性质即可推出结论；
（2）求AD的长，首先利用等腰三角形两底角相等得$∠ B=∠ C$，再根据同弧所对的圆周角相等推出$∠ B=∠ E$，等量代换得到$∠ E=∠ C$，即可得出$DC=DE=4$，最后在直角三角形ADC中利用勾股定理计算AD的长度即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，AD为底边BC上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD$。
（2）解：$\because AB=AC=5$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\because ∠ B$和$∠ E$都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ B=∠ E$，
$\therefore ∠ E=∠ C$，
$\therefore △ DEC$为等腰三角形，$DE=DC$，
$\because DE=4$，
$\therefore DC=4$，
由（1）知$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，$AC=5$，$DC=4$，
根据勾股定理：$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
（1）$BD=CD$得证；（2）$\boxed{3}$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础典型题，解题的核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合等腰三角形和直角三角形的相关性质推导计算，能有效巩固圆与三角形的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

13. 如图，AB是$\odot O$的直径，D为AB上的一点，C为$\odot O$上的一点，且$AD=AC$，延长CD，交$\odot O$于点E，连接CB.
（1）证明：$∠ CAB=2∠ BCD$.
（2）若$∠ BCE=15°$，$AB=6$，求CE的长.

13. （1）$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD=90°-∠ BCD$,$\because AC=AD,\therefore ∠ ACD=∠ ADC,\therefore ∠ A+∠ ACD+∠ ADC=180°,\therefore ∠ A+90°-∠ BCD+90°-∠ BCD=180°,\therefore ∠ A=2∠ BCD$ （2）连接OC,OE,如图,由(1)得$∠ A=2∠ BCE=2×15°=30°$,$\because ∠ BOE=2∠ BCE=2×15°=30°$,$\because OA=OC,\therefore ∠ A=∠ ACO,\therefore ∠ COB=∠ A+∠ ACO=2∠ A=60°$,$\because ∠ COE=∠ COB+∠ BOE=60°+30°=90°$,$\therefore OC=OE=\frac{1}{2}AB=3,\therefore CE=3\sqrt{2}$

【分析】
（1）要证明$∠ CAB=2∠ BCD$，首先利用直径所对圆周角为直角，得到$∠ ACB=90°$，可将$∠ ACD$表示为$90°-∠ BCD$；再结合$AC=AD$得到$△ ACD$为等腰三角形，两底角$∠ ACD=∠ ADC$，最后利用三角形内角和为$180°$，代入角度关系化简即可得证。
（2）要求$CE$的长，先连接$OC$、$OE$构造圆心角，利用（1）的结论先求出$∠ CAB$的度数，再结合圆周角定理分别求出$∠ COB$和$∠ BOE$的度数，得到$∠ COE=90°$，最后在等腰$Rt△ COE$中利用勾股定理计算$CE$的长度即可。
【解析】
（1）证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD = 90° - ∠ BCD$，
$\because AC=AD$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ADC$，
在$△ ACD$中，$∠ CAB + ∠ ACD + ∠ ADC = 180°$，
将$∠ ACD = ∠ ADC = 90° - ∠ BCD$代入得：
$∠ CAB + (90° - ∠ BCD) + (90° - ∠ BCD) = 180°$，
化简得：$∠ CAB = 2∠ BCD$，得证。
（2）解：连接$OC$、$OE$，
由（1）的结论可得$∠ CAB = 2∠ BCE = 2×15°=30°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOE = 2∠ BCE = 30°$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ CAB = ∠ ACO = 30°$，
$\therefore ∠ COB = ∠ CAB + ∠ ACO = 30° + 30° = 60°$，
$\therefore ∠ COE = ∠ COB + ∠ BOE = 60° + 30° = 90°$，
$\because AB=6$，$\odot O$的半径$OC=OE=\frac{1}{2}AB=3$，
在$Rt△ COE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{OC^2 + OE^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$CE=3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题型，第一问侧重角度关系推导，需要灵活运用直径所对圆周角的特征、等腰三角形性质和三角形内角和知识；第二问通过构造圆心角得到特殊直角三角形求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7