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三、解答题
7. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$△ ABD$ 经过旋转后到达 $△ ACE$ 的位置.
（1）旋转中心是哪个点？
（2）至少旋转了多少度？
（3）如果 $M$ 是边 $AB$ 的中点，那么经过上述旋转后，点 $M$ 转到了什么位置？
（4）连接 $DE$，$△ ADE$ 是什么三角形？
7. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$△ ABD$ 经过旋转后到达 $△ ACE$ 的位置.
（1）旋转中心是哪个点？
（2）至少旋转了多少度？
（3）如果 $M$ 是边 $AB$ 的中点，那么经过上述旋转后，点 $M$ 转到了什么位置？
（4）连接 $DE$，$△ ADE$ 是什么三角形？
答案
解：
(1) 旋转中心是点A。
(2) ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质可知AB旋转后的对应边为AC，因此旋转角为∠BAC，即至少旋转了60°。
(3) 点M旋转后转到了边AC的中点的位置。
(4) 由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形。
(1) 旋转中心是点A。
(2) ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质可知AB旋转后的对应边为AC，因此旋转角为∠BAC，即至少旋转了60°。
(3) 点M旋转后转到了边AC的中点的位置。
(4) 由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形。
解析
【分析】
本题围绕旋转的性质和等边三角形的相关知识设计，解题思路如下：
（1）旋转中心是旋转过程中固定不动的点，观察△ABD旋转到△ACE的过程，两个三角形的公共顶点即为不动点，可直接确定旋转中心；
（2）旋转角是一组对应边的夹角，首先找到AB的对应边为AC，结合等边三角形内角为60°的性质，即可得到最小旋转角度；
（3）旋转后对应线段的对应点位置相对应，AB的对应边是AC，因此AB中点的对应点就是AC的中点；
（4）根据旋转的性质可得AD=AE，且旋转角∠DAE和∠BAC相等为60°，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△ADE的形状。
【解析】
(1) 旋转过程中点A位置保持不变，因此旋转中心是点A。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质可知AB旋转后的对应边为AC，因此旋转角为∠BAC，即至少旋转了60°。
(3)
∵旋转前后AB的对应边为AC，点M是AB的中点，
∴点M旋转后转到了边AC的中点的位置。
(4) 由旋转的性质可得：AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
(1) 旋转中心是点A；
(2) 至少旋转了$\boldsymbol{60°}$；
(3) 点M转到了边AC的中点的位置；
(4) $\boldsymbol{△ADE}$是等边三角形。
【知识点】
旋转的相关概念，旋转的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查旋转的三要素、旋转的性质以及等边三角形的性质和判定，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题围绕旋转的性质和等边三角形的相关知识设计，解题思路如下：
（1）旋转中心是旋转过程中固定不动的点，观察△ABD旋转到△ACE的过程，两个三角形的公共顶点即为不动点，可直接确定旋转中心；
（2）旋转角是一组对应边的夹角，首先找到AB的对应边为AC，结合等边三角形内角为60°的性质，即可得到最小旋转角度；
（3）旋转后对应线段的对应点位置相对应，AB的对应边是AC，因此AB中点的对应点就是AC的中点；
（4）根据旋转的性质可得AD=AE，且旋转角∠DAE和∠BAC相等为60°，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△ADE的形状。
【解析】
(1) 旋转过程中点A位置保持不变，因此旋转中心是点A。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质可知AB旋转后的对应边为AC，因此旋转角为∠BAC，即至少旋转了60°。
(3)
∵旋转前后AB的对应边为AC，点M是AB的中点，
∴点M旋转后转到了边AC的中点的位置。
(4) 由旋转的性质可得：AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
(1) 旋转中心是点A；
(2) 至少旋转了$\boldsymbol{60°}$；
(3) 点M转到了边AC的中点的位置；
(4) $\boldsymbol{△ADE}$是等边三角形。
【知识点】
旋转的相关概念，旋转的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查旋转的三要素、旋转的性质以及等边三角形的性质和判定，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).
（1）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转$90°$,画出旋转后的△$A_1B_1C_1$；
（2）将△ABC绕原点O旋转$180°$,画出旋转后的△$A_2B_2C_2$；
（3）分别写出△$A_1B_1C_1$,△$A_2B_2C_2$各个顶点的坐标.
（1）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转$90°$,画出旋转后的△$A_1B_1C_1$；
（2）将△ABC绕原点O旋转$180°$,画出旋转后的△$A_2B_2C_2$；
（3）分别写出△$A_1B_1C_1$,△$A_2B_2C_2$各个顶点的坐标.
答案
解：
(1) 分别连接OA、OB、OC，将三条线段绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁，依次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁，作图略。
(2) 分别连接OA、OB、OC，将三条线段绕原点O旋转180°，得到对应线段OA₂、OB₂、OC₂，依次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂，作图略。
(3) 根据旋转的坐标变换性质可得：
△A₁B₁C₁各顶点坐标为：$A_1(3,2)$，$B_1(1,3)$，$C_1(2,1)$；
△A₂B₂C₂各顶点坐标为：$A_2(2,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-2)$。
(1) 分别连接OA、OB、OC，将三条线段绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁，依次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁，作图略。
(2) 分别连接OA、OB、OC，将三条线段绕原点O旋转180°，得到对应线段OA₂、OB₂、OC₂，依次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂，作图略。
(3) 根据旋转的坐标变换性质可得：
△A₁B₁C₁各顶点坐标为：$A_1(3,2)$，$B_1(1,3)$，$C_1(2,1)$；
△A₂B₂C₂各顶点坐标为：$A_2(2,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-2)$。
解析
【分析】
这道题考查平面直角坐标系中图形的旋转变换，解题思路如下：1. 旋转作图时，依据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，先确定三个顶点旋转后的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形；2. 求旋转后点的坐标时，可直接运用原点旋转的坐标变换规律：①点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点坐标为$(y,-x)$；②点$(x,y)$绕原点旋转$180°$后对应点坐标为$(-x,-y)$，代入原坐标计算即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：分别连接$OA$、$OB$、$OC$，将这三条线段绕原点$O$按顺时针方向旋转$90°$，根据旋转性质确定$A_1$、$B_1$、$C_1$的位置，再依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，就得到旋转后的$△ A_1B_1C_1$，作图略。
(2) 作图步骤：分别连接$OA$、$OB$、$OC$，将这三条线段绕原点$O$旋转$180°$（即延长$OA$至$A_2$，使$OA_2=OA$，同理得到$B_2$、$C_2$），再依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，就得到旋转后的$△ A_2B_2C_2$，作图略。
(3) 计算各顶点坐标：
① 顺时针旋转$90°$的坐标变换规律为：原坐标$(x,y)$对应新坐标$(y, -x)$，代入各点：
$A(-2,3)$对应$A_1$：$x=-2,y=3$，所以新坐标为$(3,2)$；
$B(-3,1)$对应$B_1$：$x=-3,y=1$，所以新坐标为$(1,3)$；
$C(-1,2)$对应$C_1$：$x=-1,y=2$，所以新坐标为$(2,1)$。
② 旋转$180°$的坐标变换规律为：原坐标$(x,y)$对应新坐标$(-x, -y)$，代入各点：
$A(-2,3)$对应$A_2$：$x=-2,y=3$，所以新坐标为$(2,-3)$；
$B(-3,1)$对应$B_2$：$x=-3,y=1$，所以新坐标为$(3,-1)$；
$C(-1,2)$对应$C_2$：$x=-1,y=2$，所以新坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) 作图略；
(3) $△ A_1B_1C_1$顶点坐标：$A_1(3,2)$，$B_1(1,3)$，$C_1(2,1)$；$△ A_2B_2C_2$顶点坐标：$A_2(2,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-2)$。
【知识点】
旋转的性质，旋转变换的坐标规律，中心对称的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查旋转作图的方法和不同旋转角度下点的坐标变换规律，解题时要注意旋转方向对坐标符号的影响，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查平面直角坐标系中图形的旋转变换，解题思路如下：1. 旋转作图时，依据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，先确定三个顶点旋转后的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形；2. 求旋转后点的坐标时，可直接运用原点旋转的坐标变换规律：①点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点坐标为$(y,-x)$；②点$(x,y)$绕原点旋转$180°$后对应点坐标为$(-x,-y)$，代入原坐标计算即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：分别连接$OA$、$OB$、$OC$，将这三条线段绕原点$O$按顺时针方向旋转$90°$，根据旋转性质确定$A_1$、$B_1$、$C_1$的位置，再依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，就得到旋转后的$△ A_1B_1C_1$，作图略。
(2) 作图步骤：分别连接$OA$、$OB$、$OC$，将这三条线段绕原点$O$旋转$180°$（即延长$OA$至$A_2$，使$OA_2=OA$，同理得到$B_2$、$C_2$），再依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，就得到旋转后的$△ A_2B_2C_2$，作图略。
(3) 计算各顶点坐标：
① 顺时针旋转$90°$的坐标变换规律为：原坐标$(x,y)$对应新坐标$(y, -x)$，代入各点：
$A(-2,3)$对应$A_1$：$x=-2,y=3$，所以新坐标为$(3,2)$；
$B(-3,1)$对应$B_1$：$x=-3,y=1$，所以新坐标为$(1,3)$；
$C(-1,2)$对应$C_1$：$x=-1,y=2$，所以新坐标为$(2,1)$。
② 旋转$180°$的坐标变换规律为：原坐标$(x,y)$对应新坐标$(-x, -y)$，代入各点：
$A(-2,3)$对应$A_2$：$x=-2,y=3$，所以新坐标为$(2,-3)$；
$B(-3,1)$对应$B_2$：$x=-3,y=1$，所以新坐标为$(3,-1)$；
$C(-1,2)$对应$C_2$：$x=-1,y=2$，所以新坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) 作图略；
(3) $△ A_1B_1C_1$顶点坐标：$A_1(3,2)$，$B_1(1,3)$，$C_1(2,1)$；$△ A_2B_2C_2$顶点坐标：$A_2(2,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-2)$。
【知识点】
旋转的性质，旋转变换的坐标规律，中心对称的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查旋转作图的方法和不同旋转角度下点的坐标变换规律，解题时要注意旋转方向对坐标符号的影响，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
