8.「★★☆」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD$为中线,如果$AB=5$,$AC=12$,设$△ ABD$与$△ ACD$的内切圆半径分别为$r_1$,$r_2$,那么$\frac{r_1}{r_2}$的值为 ()

A.$1$
B.$\frac{25}{18}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{5\sqrt{2}}{6}$

8.B 如图,连接 $OA,OB,OD,IA,IC,ID$,分别过点 $O,I$ 作 $BC$ 的垂线,垂足分别为 $M,N$,在 $Rt\△ ABC$ 中,$\∠ BAC=90°$,$AB=5$,$AC=12$,
∴ $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,
∵ $AD$ 为中线,
∴ $AD=BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}$.
∴ $S_{\△ ABD}=S_{\△ ACD}$,
∴ $\frac{1}{2}(AB+BD+AD) \· OM=\frac{1}{2}(AC+AD+CD) \· IN$,
∴ $\frac{1}{2}\×(5+13)r_1=\frac{1}{2}\×(12+13)r_2$,
∴ $\frac{r_1}{r_2}=\frac{25}{18}$.故选 B.

9.「2025河北秦皇岛昌黎期末，★★☆」如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（）
A. $4\sqrt{5}-\dfrac{5}{4}π$
B. $2\sqrt{5}-\dfrac{3}{4}π$
$2\sqrt{5}-\dfrac{5}{4}π$
D. $3\sqrt{5}-\dfrac{5}{4}π$

9.C 如图,连接 $DB,DE$,
∵ $AD ⊥ AB$,$AD$ 是 $\odot D$ 的半径,
∴ $AB$ 是 $\odot D$ 的切线,
∵ $BC$ 是 $\odot D$ 的切线,
∴ $\∠ ABD=\∠ EBD$,$BE=AB=1$,
∴ $EC=BC-BE=3-1=2$,
∵ $AB \// CD$,
∴ $\∠ ABD = \∠ BDC$,
∴ $\∠ EBD = \∠ BDC$,
∴ $DC = BC = 3$,在 $Rt\△ DEC$ 中, $DE = \sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{5}$ ,
∴ $AD = DE = \sqrt{5}$ ,易知 $AD ⊥ DC$,
∴ $\∠ ADC=90°$,
∴ 阴影部分的面积 $=S_{梯形ABCD}-\frac{1}{4}S_{\odot D}=\frac{1}{2}\×(1+3)\×\sqrt{5}-\frac{1}{4}\π\×(\sqrt{5})^2=2\sqrt{5}-\frac{5}{4}\π$.故选 C.

10.「2026四川绵阳安州期末改编，★★★」如图，点C在以AB为直径的半圆上，$AB=4$，$∠ CBA=30°$，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，$DF ⊥ DE$于点D，并交EC的延长线于点F.有下列结论：①$∠ F=30°$；②$CE=CF$；③线段EF长的最小值为$2\sqrt{3}$；④当$AD=1$时，EF与半圆相切.其中正确结论的序号为（）

A.①②③
B.③④
C.②③④
D.①②③④

10.C ①如图,连接 $CD$,
∵ 点 $E$ 与点 $D$ 关于 $AC$ 对称,
∴ $CE=CD$,
∴ $\∠ E = \∠ CDE$,
∵ $DF ⊥ DE$,
∴ $\∠ EDF = 90°$,
∴ $\∠ E+ \∠ F= 90°$, $\∠ CDE+ \∠ CDF = 90°$,
∴ $\∠ F = \∠ CDF$,只有当 $CD ⊥ AB$ 时,$\∠ F = \∠ CDF = \∠ CBA = 30°$,故①错误.
②
∵ $\∠ F = \∠ CDF$,
∴ $CD = CF$,
∴ $CE=CD=CF$,故②正确.
③
∵ $AB$ 是半圆的直径,
∴ $\∠ ACB = 90°$,
∵ $\∠ CBA = 30°$,
∴ $\∠ CAB = 60°$,$AC = \frac{1}{2}AB = 2$,
∴ $BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = 2\sqrt{3}$,
∵ $CE=CD=CF$,
∴ $EF=2CD$,当 $CD ⊥ AB$ 时, $CD$ 的长取最小值,即 $EF$ 的长取最小值,
∵ $\∠ CBA = 30°$,
∴ $CD$ 长的最小值 $=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$,
∴ 线段 $EF$ 长的最小值为 $2\sqrt{3}$,故③正确.
④如图,连接 $OC$,
∵ $OA=OC$,$\∠ CAB=60°$,
∴ $\△ OAC$ 是等边三角形,
∴ $CA=CO=2$,$\∠ ACO=60°$,
∵ $AD=1$,
∴ $DO=1=AD$,
∴ $\∠ ACD = \∠ OCD = 30°$,
∵ 点 $E$ 与点 $D$ 关于 $AC$ 对称,
∴ $\∠ ECA = \∠ DCA = 30°$,
∴ $\∠ ECO = 90°$,即 $OC ⊥ EF$,
∵ $OC$ 为半径,
∴ $EF$ 与半圆相切,故④正确.故选 C.

11.「2026天津红桥期中，★☆」圆的半径是6.5 cm，如果圆心与直线上某一点之间的距离是6.5 cm，那么该直线和圆的位置关系是。

11.答案 相交或相切
解析

∵ 圆的半径 $r=6.5\\ \mathrm{cm}$,圆心与直线上某一点之间的距离为 6.5 cm,
∴ 圆心到直线的距离 $d$ 满足 $d \≤ 6.5\\ \mathrm{cm}$,
∴ $d \≤ r$,
∴ 直线和圆的位置关系是相交或相切.

12.「2025河南周口西华期末，★☆」如图，AB是$\odot O$的直径，要使得直线AT是$\odot O$的切线，需要添加的一个条件是.(写一个条件即可)

12.答案 $\∠ TAC=\∠ B$(答案不唯一)
解析

∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $\∠ ACB = 90°$,
∴ $\∠ B + \∠ BAC = 90°$,当 $\∠ TAC = \∠ B$ 时, $\∠ TAC + \∠ BAC = 90°$,即 $\∠ OAT=90°$,
∵ $OA$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ 直线 $AT$ 是 $\odot O$ 的切线.(答案不唯一)