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9. 如图，$l_1 // l_2$，$AF:FB=3:5$，$BC:CD=3:2$，则$AE:EC=$（
A.$5:2$
B.$4:3$
C.$2:1$
D.$3:2$
（第9题）
D
）A.$5:2$
B.$4:3$
C.$2:1$
D.$3:2$
（第9题）答案
9. D 解析:
∵ $l_1// l_2$,
∴ $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{AG}{BD}=\dfrac{3}{5}$. 设 $AG = 3x$, 则 $BD = 5x$.
∵ $BC : CD = 3 : 2$,
∴ $CD=\dfrac{2}{5}BD=2x$.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AG}{CD}=\dfrac{3x}{2x}=\dfrac{3}{2}$,即 $AE : EC = 3 : 2$.故选 D.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{AG}{BD}=\dfrac{3}{5}$. 设 $AG = 3x$, 则 $BD = 5x$.
∵ $BC : CD = 3 : 2$,
∴ $CD=\dfrac{2}{5}BD=2x$.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AG}{CD}=\dfrac{3x}{2x}=\dfrac{3}{2}$,即 $AE : EC = 3 : 2$.故选 D.
解析
【分析】
已知$l_1// l_2$，同时给出了多组线段比例，可结合平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质求解。第一步先由$l_1// l_2$得到$△ AFG$与$△ BFD$相似，推出$AG$和$BD$的比例关系；第二步结合$BC:CD$的比例，将$CD$用$BD$表示，建立$AG$和$CD$的数量关联；第三步再次利用$l_1// l_2$得到$△ AEG$与$△ CED$相似，推导出$AE:EC$等于$AG:CD$，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $l_1// l_2$，
∴ $△ AFG ∽ △ BFD$，可得 $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{AG}{BD}=\dfrac{3}{5}$。
设 $AG = 3x$，则 $BD = 5x$。
∵ $BC : CD = 3 : 2$，
∴ $CD=\dfrac{2}{3+2}BD=\dfrac{2}{5}×5x=2x$。
又
∵ $l_1// l_2$，
∴ $△ AEG ∽ △ CED$，可得 $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AG}{CD}=\dfrac{3x}{2x}=\dfrac{3}{2}$，
即 $AE : EC = 3 : 2$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题是平行线与比例线段结合的常规考题，解题核心是利用两次平行线得到的比例关系，通过公共量$BD$建立$AG$和$CD$的联系，进而求出待求线段比，解题时设参数表示线段长度可简化计算。
【难度系数】
0.7
已知$l_1// l_2$，同时给出了多组线段比例，可结合平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质求解。第一步先由$l_1// l_2$得到$△ AFG$与$△ BFD$相似，推出$AG$和$BD$的比例关系；第二步结合$BC:CD$的比例，将$CD$用$BD$表示，建立$AG$和$CD$的数量关联；第三步再次利用$l_1// l_2$得到$△ AEG$与$△ CED$相似，推导出$AE:EC$等于$AG:CD$，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $l_1// l_2$，
∴ $△ AFG ∽ △ BFD$，可得 $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{AG}{BD}=\dfrac{3}{5}$。
设 $AG = 3x$，则 $BD = 5x$。
∵ $BC : CD = 3 : 2$，
∴ $CD=\dfrac{2}{3+2}BD=\dfrac{2}{5}×5x=2x$。
又
∵ $l_1// l_2$，
∴ $△ AEG ∽ △ CED$，可得 $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AG}{CD}=\dfrac{3x}{2x}=\dfrac{3}{2}$，
即 $AE : EC = 3 : 2$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题是平行线与比例线段结合的常规考题，解题核心是利用两次平行线得到的比例关系，通过公共量$BD$建立$AG$和$CD$的联系，进而求出待求线段比，解题时设参数表示线段长度可简化计算。
【难度系数】
0.7
10. ★★★ 如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC等于（
A.$1:4$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$1:2$
D
）A.$1:4$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$1:2$
答案
10. D 解析:在平行四边形 ABCD 中,AB//DC,则△DFE∽△BAE,
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DE}{EB}$.
∵ O 为平行四边形对角线的交点,
∴ DO=BO.又
∵ E 为 OD 的中点,
∴ $DE=\dfrac{1}{4}DB$, 则 $DE : EB=1 : 3$,
∴ $DF : AB = 1 : 3$.
∵ DC=AB,
∴ $DF : DC = 1 : 3$,
∴ $DF : FC = 1 : 2$.故选 D.
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DE}{EB}$.
∵ O 为平行四边形对角线的交点,
∴ DO=BO.又
∵ E 为 OD 的中点,
∴ $DE=\dfrac{1}{4}DB$, 则 $DE : EB=1 : 3$,
∴ $DF : AB = 1 : 3$.
∵ DC=AB,
∴ $DF : DC = 1 : 3$,
∴ $DF : FC = 1 : 2$.故选 D.
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分。要求DF:FC的比值，可先通过平行关系找到相似三角形，得到DF与AB的比例，再转化为DF与DC的比例，最终求出DF:FC的比值。第一步，由AB//DC可得△DFE与△BAE相似，对应边成比例；第二步，结合平行四边形对角线平分、E是OD中点的条件，求出DE与EB的比值；第三步，代入相似比得到DF与AB的比，再利用AB=DC转换得到DF与DC的比，进而求出DF与FC的比。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，AB=DC，DO=BO（平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）。
∵ AB//DC，
∴ ∠DFE=∠BAE，∠FDE=∠ABE，
∴ △DFE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DE}{EB}$。
∵ E为OD的中点，
∴ $DE=\dfrac{1}{2}OD$，
又
∵ $OD=BO=\dfrac{1}{2}BD$，
∴ $DE=\dfrac{1}{4}BD$，$EB=BD-DE=\dfrac{3}{4}BD$，
∴ $DE:EB=1:3$，
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{1}{3}$。
∵ $DC=AB$，
∴ $\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}$，即$DC=3DF$，
∴ $FC=DC-DF=3DF-DF=2DF$，
∴ $DF:FC=1:2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形性质结合的典型题，解题的核心是利用平行关系构造相似三角形，再结合线段的等分关系推导比例，能有效考查对相似三角形判定和性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分。要求DF:FC的比值，可先通过平行关系找到相似三角形，得到DF与AB的比例，再转化为DF与DC的比例，最终求出DF:FC的比值。第一步，由AB//DC可得△DFE与△BAE相似，对应边成比例；第二步，结合平行四边形对角线平分、E是OD中点的条件，求出DE与EB的比值；第三步，代入相似比得到DF与AB的比，再利用AB=DC转换得到DF与DC的比，进而求出DF与FC的比。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，AB=DC，DO=BO（平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）。
∵ AB//DC，
∴ ∠DFE=∠BAE，∠FDE=∠ABE，
∴ △DFE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DE}{EB}$。
∵ E为OD的中点，
∴ $DE=\dfrac{1}{2}OD$，
又
∵ $OD=BO=\dfrac{1}{2}BD$，
∴ $DE=\dfrac{1}{4}BD$，$EB=BD-DE=\dfrac{3}{4}BD$，
∴ $DE:EB=1:3$，
∴ $\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{1}{3}$。
∵ $DC=AB$，
∴ $\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}$，即$DC=3DF$，
∴ $FC=DC-DF=3DF-DF=2DF$，
∴ $DF:FC=1:2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形性质结合的典型题，解题的核心是利用平行关系构造相似三角形，再结合线段的等分关系推导比例，能有效考查对相似三角形判定和性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ 如图,已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点,BE,CF相交于点G,FG=2,则CF的长是
6
.答案
11. 6 解析:
∵ E,F分别是AC,AB的中点,
∴ EF 是△ABC的中位线,
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BC,EF// BC$,
∴ △EFG∽△BCG,
∴ $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{1}{2}$,
∴ CG=2FG=4,
∴ CF=FG+CG=6.
∵ E,F分别是AC,AB的中点,
∴ EF 是△ABC的中位线,
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BC,EF// BC$,
∴ △EFG∽△BCG,
∴ $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{1}{2}$,
∴ CG=2FG=4,
∴ CF=FG+CG=6.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“E、F分别是AC、AB的中点”入手，首先联想到三角形中位线定理，得到EF与BC的位置和数量关系；再由EF平行于BC，可判定△EFG和△BCG相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，得到FG和CG的比值；最后结合已知FG的长度，先求出CG的长度，再将FG和CG相加即可得到CF的总长。
【解析】
∵ E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BC$，且$EF// BC$，
∴ $∠ FEG=∠ CBG$，$∠ EFG=∠ BCG$，
∴ $△ EFG ∽ △ BCG$，
∴ $\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{1}{2}$，
∵ FG=2，
∴ $CG=2FG=4$，
∴ $CF=FG+CG=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过中位线的性质得到平行关系，进而构造相似三角形，利用相似比求解线段长度，这类题型需要熟练掌握中位线和相似三角形的相关性质，能快速建立已知线段和待求线段的关联。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“E、F分别是AC、AB的中点”入手，首先联想到三角形中位线定理，得到EF与BC的位置和数量关系；再由EF平行于BC，可判定△EFG和△BCG相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，得到FG和CG的比值；最后结合已知FG的长度，先求出CG的长度，再将FG和CG相加即可得到CF的总长。
【解析】
∵ E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BC$，且$EF// BC$，
∴ $∠ FEG=∠ CBG$，$∠ EFG=∠ BCG$，
∴ $△ EFG ∽ △ BCG$，
∴ $\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{1}{2}$，
∵ FG=2，
∴ $CG=2FG=4$，
∴ $CF=FG+CG=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过中位线的性质得到平行关系，进而构造相似三角形，利用相似比求解线段长度，这类题型需要熟练掌握中位线和相似三角形的相关性质，能快速建立已知线段和待求线段的关联。
【难度系数】
0.7
12. ★★★ 如图，$AD// EF// BC$，$EG$分别交$AB$，$DB$，$AC$于点$E$，$F$，$G$，若$AD=9$，$BC=12$，且$AE:EB=2:1$，则$FG$的长为
5
。答案
12. 5 解析:
∵ EF//BC,BC=12,AE : EB=2 : 1,
∴ $\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{2}{3}$,
∴ $EG=\dfrac{2}{3}BC=8$.
∵ AD//EF,AD=9,AE : EB=2 : 1,
∴ $\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{AE+EB}=\dfrac{1}{3}$,
∴ $EF=\dfrac{1}{3}AD=3$,
∴ FG=EG-EF=8-3=5.
∵ EF//BC,BC=12,AE : EB=2 : 1,
∴ $\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{2}{3}$,
∴ $EG=\dfrac{2}{3}BC=8$.
∵ AD//EF,AD=9,AE : EB=2 : 1,
∴ $\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{AE+EB}=\dfrac{1}{3}$,
∴ $EF=\dfrac{1}{3}AD=3$,
∴ FG=EG-EF=8-3=5.
解析
【分析】
本题给出多组平行线与线段比例关系，要求FG的长度，可将FG拆分为EG与EF的差，分别求解两条线段长度后作差即可。首先根据EF//BC可推出△AEG与△ABC相似，结合AE:EB的比例求出EG的长；再根据AD//EF可推出△BEF与△BAD相似，结合AE:EB的比例求出EF的长，最后用EG减去EF就能得到FG的长度。
【解析】
解：$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEG ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}$，
$\because AE:EB=2:1$，$BC=12$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore EG=\dfrac{2}{3}× BC=\dfrac{2}{3}×12=8$。
$\because AD// EF$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAD$，
$\therefore \dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}$，
$\because AD=9$，$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{AE+EB}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore EF=\dfrac{1}{3}× AD=\dfrac{1}{3}×9=3$，
$\therefore FG=EG-EF=8-3=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的常规计算题，解题核心是结合平行线找准对应相似三角形，明确比例式对应的线段关系，避免比例对应混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题给出多组平行线与线段比例关系，要求FG的长度，可将FG拆分为EG与EF的差，分别求解两条线段长度后作差即可。首先根据EF//BC可推出△AEG与△ABC相似，结合AE:EB的比例求出EG的长；再根据AD//EF可推出△BEF与△BAD相似，结合AE:EB的比例求出EF的长，最后用EG减去EF就能得到FG的长度。
【解析】
解：$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEG ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}$，
$\because AE:EB=2:1$，$BC=12$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore EG=\dfrac{2}{3}× BC=\dfrac{2}{3}×12=8$。
$\because AD// EF$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAD$，
$\therefore \dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}$，
$\because AD=9$，$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{AE+EB}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore EF=\dfrac{1}{3}× AD=\dfrac{1}{3}×9=3$，
$\therefore FG=EG-EF=8-3=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的常规计算题，解题核心是结合平行线找准对应相似三角形，明确比例式对应的线段关系，避免比例对应混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13. 如图,已知A,B,C三点在同一条直线上,$△ ABD$与$△ BCE$都是等边三角形.其中线段AE交DB于点F,线段CD交BE于点G.
求证:$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$.
求证:$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$.
答案
13.
∵ △ABD与△BCE都是等边三角形,
∴ AD = BD,BE = CE,∠DAB = ∠EBC = 60°,
∴ AD // BE,
∴ △ADF∽△EBF,
∴ $\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{AD}{EB}$. 同理得△DBG∽△CEG,
∴ $\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DB}{CE}$.
∵ $\dfrac{AD}{EB}=\dfrac{DB}{CE}$,
∴ $\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{DG}{GC}$.
∵ △ABD与△BCE都是等边三角形,
∴ AD = BD,BE = CE,∠DAB = ∠EBC = 60°,
∴ AD // BE,
∴ △ADF∽△EBF,
∴ $\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{AD}{EB}$. 同理得△DBG∽△CEG,
∴ $\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DB}{CE}$.
∵ $\dfrac{AD}{EB}=\dfrac{DB}{CE}$,
∴ $\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{DG}{GC}$.
解析
【分析】
要证$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$，可分别推导两个比例的等量关系：首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到同位角相等推出平行线，进而得到相似三角形，将两个比例分别转化为等边三角形的边长之比；再结合等边三角形边长相等的性质，证明转化后的两个比值相等，即可得证。
【解析】
证明：
∵$△ ABD$与$△ BCE$都是等边三角形，
∴$AD = BD$，$BE = CE$，$∠ DAB = ∠ EBC = 60°$，
∵$∠ DAB$和$∠ EBC$是直线$AC$上的同位角，度数相等，
∴$AD // BE$，
∴$△ ADF ∽ △ EBF$，
∴$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{AD}{EB}$。
同理可得$△ DBG ∽ △ CEG$，
∴$\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DB}{CE}$。
又
∵$AD=BD$，$BE=CE$，
∴$\dfrac{AD}{EB}=\dfrac{DB}{CE}$，
∴$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{DG}{GC}$。
【答案】
$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$，得证
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是相似证明的基础综合题，解题的核心是通过等边三角形的60°内角得到平行关系，进而构造相似三角形将待证比例式转化为等边三角形的边长比，再通过等量代换完成证明，侧重考察基础定理的应用和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
要证$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$，可分别推导两个比例的等量关系：首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到同位角相等推出平行线，进而得到相似三角形，将两个比例分别转化为等边三角形的边长之比；再结合等边三角形边长相等的性质，证明转化后的两个比值相等，即可得证。
【解析】
证明：
∵$△ ABD$与$△ BCE$都是等边三角形，
∴$AD = BD$，$BE = CE$，$∠ DAB = ∠ EBC = 60°$，
∵$∠ DAB$和$∠ EBC$是直线$AC$上的同位角，度数相等，
∴$AD // BE$，
∴$△ ADF ∽ △ EBF$，
∴$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{AD}{EB}$。
同理可得$△ DBG ∽ △ CEG$，
∴$\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DB}{CE}$。
又
∵$AD=BD$，$BE=CE$，
∴$\dfrac{AD}{EB}=\dfrac{DB}{CE}$，
∴$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{DG}{GC}$。
【答案】
$\frac{DF}{FB}=\frac{DG}{GC}$，得证
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是相似证明的基础综合题，解题的核心是通过等边三角形的60°内角得到平行关系，进而构造相似三角形将待证比例式转化为等边三角形的边长比，再通过等量代换完成证明，侧重考察基础定理的应用和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
14. 如图,在$△ ABC$中,点D在边AB上(不与点A,B重合),$DE // BC$交AC于点E,将$△ ADE$沿直线DE翻折,得到$△ A'DE$,直线$DA'$,$EA'$分别交直线BC于点M,N.
(1)求证:$DB=DM$;
(2)若$\frac{AD}{DB}=2$,$DE=6$,求线段MN的长;
(3)若$\frac{AD}{DB}=n(n＞1)$,$DE=a$,则线段MN的长为________.(用含n的代数式表示)
(1)求证:$DB=DM$;
(2)若$\frac{AD}{DB}=2$,$DE=6$,求线段MN的长;
(3)若$\frac{AD}{DB}=n(n＞1)$,$DE=a$,则线段MN的长为________.(用含n的代数式表示)
答案
14. (1)
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B,∠A'DE = ∠DMB.由翻折可知∠ADE = ∠A'DE,
∴ ∠B = ∠DMB,
∴ DB = DM.
(2)由翻折可知A'D = AD,
∵ $\dfrac{AD}{DB}=2$,DB = DM,
∴ $\dfrac{A'D}{DM}=2$,
∴ $\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$.
∵ DE//BC,
∴ △A'MN∽△A'DE,
∴ $\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$.
∵ DE=6,
∴ $MN=\dfrac{1}{2}DE=3$.
(3)$a-\dfrac{a}{n}$ 解析:由翻折可知A'D = AD,
∵ $\dfrac{AD}{DB}=n$,DB = DM,
∴ $\dfrac{A'D}{DM}=n$.
∵ n ＞ 1,
∴ $\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$.
∵ DE // BC,
∴ △A'MN∽△A'DE,
∴ $\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$.
∵ DE = a,
∴ $MN=\dfrac{n-1}{n}DE=a-\dfrac{a}{n}$.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B,∠A'DE = ∠DMB.由翻折可知∠ADE = ∠A'DE,
∴ ∠B = ∠DMB,
∴ DB = DM.
(2)由翻折可知A'D = AD,
∵ $\dfrac{AD}{DB}=2$,DB = DM,
∴ $\dfrac{A'D}{DM}=2$,
∴ $\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$.
∵ DE//BC,
∴ △A'MN∽△A'DE,
∴ $\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$.
∵ DE=6,
∴ $MN=\dfrac{1}{2}DE=3$.
(3)$a-\dfrac{a}{n}$ 解析:由翻折可知A'D = AD,
∵ $\dfrac{AD}{DB}=n$,DB = DM,
∴ $\dfrac{A'D}{DM}=n$.
∵ n ＞ 1,
∴ $\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$.
∵ DE // BC,
∴ △A'MN∽△A'DE,
∴ $\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$.
∵ DE = a,
∴ $MN=\dfrac{n-1}{n}DE=a-\dfrac{a}{n}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$DB=DM$，可通过“等角对等边”证明两角相等即可。首先利用平行线的同位角相等得到$∠ ADE=∠ B$、$∠ A'DE=∠ DMB$，再结合折叠前后对应角相等，推出$∠ B=∠ DMB$，即可得证。
(2) 先根据折叠性质得$A'D=AD$，结合已知$\frac{AD}{DB}=2$和第一问结论$DB=DM$，求出$A'M$与$A'D$的比值；再由$DE// BC$可得$△ A'MN∽△ A'DE$，利用相似三角形对应边成比例，代入$DE=6$即可求出$MN$的长度。
(3) 是第二问的一般化推导，将比值2替换为$n$，同理先求相似比，再结合$DE=a$，即可推导得到$MN$的表达式。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ A'DE=∠ DMB$，
由翻折的性质可知$∠ ADE=∠ A'DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DMB$，
$\therefore DB=DM$。
(2) 解：由翻折的性质可知$A'D=AD$，
$\because \dfrac{AD}{DB}=2$，且$DB=DM$，
$\therefore \dfrac{A'D}{DM}=2$，
$\therefore \dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ A'MN∽△ A'DE$，
$\therefore \dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE=6$，
$\therefore MN=\dfrac{1}{2}×6=3$。
(3) 解：由翻折的性质可知$A'D=AD$，
$\because \dfrac{AD}{DB}=n$，且$DB=DM$，
$\therefore \dfrac{A'D}{DM}=n$，
$\because n＞1$，
$\therefore \dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ A'MN∽△ A'DE$，
$\therefore \dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$。
$\because DE=a$，
$\therefore MN=\dfrac{n-1}{n}· a = a-\dfrac{a}{n}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $3$；(3) $a-\dfrac{a}{n}$
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合折叠变换考查了等腰三角形判定、平行线性质和相似三角形的应用，设置了从特殊比值到一般比值的探究逻辑，熟练掌握折叠的不变性和相似三角形的对应边成比例的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$DB=DM$，可通过“等角对等边”证明两角相等即可。首先利用平行线的同位角相等得到$∠ ADE=∠ B$、$∠ A'DE=∠ DMB$，再结合折叠前后对应角相等，推出$∠ B=∠ DMB$，即可得证。
(2) 先根据折叠性质得$A'D=AD$，结合已知$\frac{AD}{DB}=2$和第一问结论$DB=DM$，求出$A'M$与$A'D$的比值；再由$DE// BC$可得$△ A'MN∽△ A'DE$，利用相似三角形对应边成比例，代入$DE=6$即可求出$MN$的长度。
(3) 是第二问的一般化推导，将比值2替换为$n$，同理先求相似比，再结合$DE=a$，即可推导得到$MN$的表达式。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ A'DE=∠ DMB$，
由翻折的性质可知$∠ ADE=∠ A'DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DMB$，
$\therefore DB=DM$。
(2) 解：由翻折的性质可知$A'D=AD$，
$\because \dfrac{AD}{DB}=2$，且$DB=DM$，
$\therefore \dfrac{A'D}{DM}=2$，
$\therefore \dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ A'MN∽△ A'DE$，
$\therefore \dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE=6$，
$\therefore MN=\dfrac{1}{2}×6=3$。
(3) 解：由翻折的性质可知$A'D=AD$，
$\because \dfrac{AD}{DB}=n$，且$DB=DM$，
$\therefore \dfrac{A'D}{DM}=n$，
$\because n＞1$，
$\therefore \dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ A'MN∽△ A'DE$，
$\therefore \dfrac{MN}{DE}=\dfrac{A'M}{A'D}=\dfrac{n-1}{n}$。
$\because DE=a$，
$\therefore MN=\dfrac{n-1}{n}· a = a-\dfrac{a}{n}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $3$；(3) $a-\dfrac{a}{n}$
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合折叠变换考查了等腰三角形判定、平行线性质和相似三角形的应用，设置了从特殊比值到一般比值的探究逻辑，熟练掌握折叠的不变性和相似三角形的对应边成比例的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,BC=4,AC=8$,点D在斜边AB上,过点D分别作$DE⊥ AC,DF⊥ BC$,垂足分别为E,F,得四边形DECF.
(1)直接写出图形中的相似三角形;
(2)若点D分线段AB为$3:2$两部分($AD＞DB$),求四边形DECF的面积.
(1)直接写出图形中的相似三角形;
(2)若点D分线段AB为$3:2$两部分($AD＞DB$),求四边形DECF的面积.
答案
15. (1)△ADE∽△DBF∽△ABC 解析:
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AED=90°.
∵ ∠C=90°,
∴ DE//BC,
∴ △ADE∽△ABC.同理得△DBF∽△ABC,
∴ △ADE∽△DBF∽△ABC.
(2)
∵ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$. 又
∵ BC = 4, △ADE∽△ABC,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$,
∴ $DE=\dfrac{AD}{AB}·BC=\dfrac{12}{5}$, 同理得 $DF=\dfrac{16}{5}$.
∵ DE // BC,DF // AC,
∴ 四边形DECF是平行四边形.
∵ ∠C = 90°,
∴ 平行四边形DECF是矩形,
∴ $S_{矩形DECF}=DE·DF=\dfrac{192}{25}$.
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AED=90°.
∵ ∠C=90°,
∴ DE//BC,
∴ △ADE∽△ABC.同理得△DBF∽△ABC,
∴ △ADE∽△DBF∽△ABC.
(2)
∵ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$. 又
∵ BC = 4, △ADE∽△ABC,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$,
∴ $DE=\dfrac{AD}{AB}·BC=\dfrac{12}{5}$, 同理得 $DF=\dfrac{16}{5}$.
∵ DE // BC,DF // AC,
∴ 四边形DECF是平行四边形.
∵ ∠C = 90°,
∴ 平行四边形DECF是矩形,
∴ $S_{矩形DECF}=DE·DF=\dfrac{192}{25}$.
解析
【分析】
(1) 找相似三角形时，先观察图形中的直角三角形：△ADE、△DBF、△ABC均为直角三角形，可通过垂直关系推出平行线，再由平行线判定三角形相似，最后结合相似的传递性得到所有相似关系。
(2) 先根据AD:DB=3:2求出AD、DB与AB的比值，再利用相似三角形对应边成比例的性质，分别求出DE和DF的长度；接着证明四边形DECF是矩形，矩形面积等于邻边乘积，代入数值即可算出面积。
【解析】
(1)
∵ DE⊥AC，∠C=90°，
∴ ∠AED=∠C=90°，
∴ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC。
同理，
∵ DF⊥BC，∠C=90°，
∴ ∠DFB=∠C=90°，
∴ DF//AC，
∴ △DBF∽△ABC，
∴ △ADE∽△DBF∽△ABC。
(2)
∵ 点D分AB为3:2两部分，且AD＞DB，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{2}{5}$。
∵ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入BC=4，得$DE=\frac{3}{5}×4=\frac{12}{5}$。
∵ △DBF∽△ABC，
∴ $\frac{DB}{AB}=\frac{DF}{AC}$，
代入AC=8，得$DF=\frac{2}{5}×8=\frac{16}{5}$。
∵ DE//BC，DF//AC，
∴ 四边形DECF是平行四边形，
又
∵ ∠C=90°，
∴ 平行四边形DECF是矩形，
∴ $S_{四边形DECF}=DE·DF=\frac{12}{5}×\frac{16}{5}=\frac{192}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{△ADE∽△DBF∽△ABC}$
(2) $\boxed{\dfrac{192}{25}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是通过平行线得到相似三角形，利用相似的比例性质求出矩形的边长，再结合矩形面积公式计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 找相似三角形时，先观察图形中的直角三角形：△ADE、△DBF、△ABC均为直角三角形，可通过垂直关系推出平行线，再由平行线判定三角形相似，最后结合相似的传递性得到所有相似关系。
(2) 先根据AD:DB=3:2求出AD、DB与AB的比值，再利用相似三角形对应边成比例的性质，分别求出DE和DF的长度；接着证明四边形DECF是矩形，矩形面积等于邻边乘积，代入数值即可算出面积。
【解析】
(1)
∵ DE⊥AC，∠C=90°，
∴ ∠AED=∠C=90°，
∴ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC。
同理，
∵ DF⊥BC，∠C=90°，
∴ ∠DFB=∠C=90°，
∴ DF//AC，
∴ △DBF∽△ABC，
∴ △ADE∽△DBF∽△ABC。
(2)
∵ 点D分AB为3:2两部分，且AD＞DB，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{2}{5}$。
∵ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入BC=4，得$DE=\frac{3}{5}×4=\frac{12}{5}$。
∵ △DBF∽△ABC，
∴ $\frac{DB}{AB}=\frac{DF}{AC}$，
代入AC=8，得$DF=\frac{2}{5}×8=\frac{16}{5}$。
∵ DE//BC，DF//AC，
∴ 四边形DECF是平行四边形，
又
∵ ∠C=90°，
∴ 平行四边形DECF是矩形，
∴ $S_{四边形DECF}=DE·DF=\frac{12}{5}×\frac{16}{5}=\frac{192}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{△ADE∽△DBF∽△ABC}$
(2) $\boxed{\dfrac{192}{25}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是通过平行线得到相似三角形，利用相似的比例性质求出矩形的边长，再结合矩形面积公式计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
