登录
12.分解因式：
(1)$6(a+1)^2y^3 -18(a+1)^2y^2$；
(2)$x^2y^2(x-y)^3 +x^3y^3(y-x)^2$。
(1)$6(a+1)^2y^3 -18(a+1)^2y^2$；
(2)$x^2y^2(x-y)^3 +x^3y^3(y-x)^2$。
答案
12.解:(1)原式$=6(a+1)^2y^2(y-3)$.
(2)原式$=x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)$.
(2)原式$=x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)$.
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或整式的最低次幂，二者相乘即为公因式；②提取公因式：将公因式提出后，把各项剩下的部分合并到括号内即可。注意第二题中需先利用偶次幂的性质，将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，统一公因式的底数后再提取。
【解析】
(1) 首先确定公因式：系数6和18的最大公约数为6，相同整式为$(a+1)^2$、$y^2$，因此公因式为$6(a+1)^2y^2$。
提取公因式可得：
$\begin{aligned}原式&=6(a+1)^2y^2 · y - 6(a+1)^2y^2 · 3\\&=6(a+1)^2y^2(y-3)\end{aligned}$
(2) 先利用偶次幂的性质，$(y-x)^2=(x-y)^2$，先统一底数：
原式$=x^2y^2(x-y)^3 + x^3y^3(x-y)^2$
确定公因式为$x^2y^2(x-y)^2$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}原式&=x^2y^2(x-y)^2 · (x-y) + x^2y^2(x-y)^2 · xy\\&=x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)\end{aligned}$
【答案】
(1)$6(a+1)^2y^2(y-3)$；(2)$x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)$
【知识点】
提公因式法分解因式，偶次幂的符号性质，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，易错点在于处理底数互为相反数的幂时，要注意偶次幂结果相等、奇次幂结果互为相反数的规律，避免符号出错，分解后注意检查括号内的项是否还能继续提取公因式，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或整式的最低次幂，二者相乘即为公因式；②提取公因式：将公因式提出后，把各项剩下的部分合并到括号内即可。注意第二题中需先利用偶次幂的性质，将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，统一公因式的底数后再提取。
【解析】
(1) 首先确定公因式：系数6和18的最大公约数为6，相同整式为$(a+1)^2$、$y^2$，因此公因式为$6(a+1)^2y^2$。
提取公因式可得：
$\begin{aligned}原式&=6(a+1)^2y^2 · y - 6(a+1)^2y^2 · 3\\&=6(a+1)^2y^2(y-3)\end{aligned}$
(2) 先利用偶次幂的性质，$(y-x)^2=(x-y)^2$，先统一底数：
原式$=x^2y^2(x-y)^3 + x^3y^3(x-y)^2$
确定公因式为$x^2y^2(x-y)^2$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}原式&=x^2y^2(x-y)^2 · (x-y) + x^2y^2(x-y)^2 · xy\\&=x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)\end{aligned}$
【答案】
(1)$6(a+1)^2y^2(y-3)$；(2)$x^2y^2(x-y)^2(x-y+xy)$
【知识点】
提公因式法分解因式，偶次幂的符号性质，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，易错点在于处理底数互为相反数的幂时，要注意偶次幂结果相等、奇次幂结果互为相反数的规律，避免符号出错，分解后注意检查括号内的项是否还能继续提取公因式，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8
1.已知$3^{22} - 4×3^{21} + 10×3^{20} = m×3^{20}$，则$m$的值等于(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
).A.5
B.6
C.7
D.8
答案
1.C
解析
【分析】
观察等式左边的各项，均含有公因式$3^{20}$，解题时可先提取公因式$3^{20}$，对左边的式子进行化简，再对比等式右边的形式，即可求出$m$的值。具体思路：第一步先把各项都转化为含有$3^{20}$的形式，第二步提取公因式后计算括号内的数值，第三步结合等式性质求出$m$。
【解析】
对等式左边的式子提取公因式$3^{20}$：
$\begin{aligned}3^{22} - 4×3^{21} + 10×3^{20}&=3^{20}×3^2 - 4×3^{20}×3 + 10×3^{20}\\&=3^{20}×(3^2 - 4×3 + 10)\\&=3^{20}×(9 - 12 + 10)\\&=3^{20}×7\end{aligned}$
已知该式等于$m×3^{20}$，即$7×3^{20}=m×3^{20}$，因为$3^{20}≠0$，等式两边同时除以$3^{20}$，可得$m=7$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、同底数幂的乘法、等式的性质
【点评】
本题是基础运算题，核心考查提公因式法在整式化简中的应用，准确识别出各项的公因式是解题的关键，熟练掌握相关运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的各项，均含有公因式$3^{20}$，解题时可先提取公因式$3^{20}$，对左边的式子进行化简，再对比等式右边的形式，即可求出$m$的值。具体思路：第一步先把各项都转化为含有$3^{20}$的形式，第二步提取公因式后计算括号内的数值，第三步结合等式性质求出$m$。
【解析】
对等式左边的式子提取公因式$3^{20}$：
$\begin{aligned}3^{22} - 4×3^{21} + 10×3^{20}&=3^{20}×3^2 - 4×3^{20}×3 + 10×3^{20}\\&=3^{20}×(3^2 - 4×3 + 10)\\&=3^{20}×(9 - 12 + 10)\\&=3^{20}×7\end{aligned}$
已知该式等于$m×3^{20}$，即$7×3^{20}=m×3^{20}$，因为$3^{20}≠0$，等式两边同时除以$3^{20}$，可得$m=7$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、同底数幂的乘法、等式的性质
【点评】
本题是基础运算题，核心考查提公因式法在整式化简中的应用，准确识别出各项的公因式是解题的关键，熟练掌握相关运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.分解因式$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3+\dots+x(1+x)^{10}$的结果等于(
A.$(2+x)^{10}$
B.$(1+x)^{11}$
C.$(2+x)^{12}$
D.$(1+x)^{13}$
B
).A.$(2+x)^{10}$
B.$(1+x)^{11}$
C.$(2+x)^{12}$
D.$(1+x)^{13}$
答案
2.B
解析
【分析】
观察多项式的结构可知，各项均含有公因式$(1+x)$，可通过逐步提取公因式的方法化简：先将前两项合并看作整体，第一次提取公因式$(1+x)$后，得到的新多项式仍具有相同的结构特征，继续重复提取公因式，每提取一次，$(1+x)$的指数增加1，多项式的最高次幂降低1，直到提取完全即可得到最终结果，也可先通过短项验证规律，再推广到原式的10次幂情况。
【解析】
我们采用逐步提取公因式的方法解题：
原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3+\dots+x(1+x)^{10}$
第一次提取公因式$(1+x)$，得：
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^9]$
观察中括号内的多项式，仍存在公因式$(1+x)$，第二次提取公因式$(1+x)$，得：
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^8]$
以此类推，每提取一次公因式，$(1+x)$的指数加1，括号内多项式的最高次幂减1，重复提取10次后，最终可得：
$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式识别
【点评】
本题重点考查提公因式法的灵活应用，解题关键是观察出多项式的结构共性，找到公因式后多次提取即可，无需逐项展开计算，通过找规律的方式可以进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
观察多项式的结构可知，各项均含有公因式$(1+x)$，可通过逐步提取公因式的方法化简：先将前两项合并看作整体，第一次提取公因式$(1+x)$后，得到的新多项式仍具有相同的结构特征，继续重复提取公因式，每提取一次，$(1+x)$的指数增加1，多项式的最高次幂降低1，直到提取完全即可得到最终结果，也可先通过短项验证规律，再推广到原式的10次幂情况。
【解析】
我们采用逐步提取公因式的方法解题：
原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3+\dots+x(1+x)^{10}$
第一次提取公因式$(1+x)$，得：
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^9]$
观察中括号内的多项式，仍存在公因式$(1+x)$，第二次提取公因式$(1+x)$，得：
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^8]$
以此类推，每提取一次公因式，$(1+x)$的指数加1，括号内多项式的最高次幂减1，重复提取10次后，最终可得：
$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式识别
【点评】
本题重点考查提公因式法的灵活应用，解题关键是观察出多项式的结构共性，找到公因式后多次提取即可，无需逐项展开计算，通过找规律的方式可以进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3.分解因式：$5x(a - b + c)^3 - 25x^2(b - a - c)^2 = \underline{\hspace{12cm}}.$
答案
3.$5x(a-b+c)^2(a-b+c-5x)$
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：第一步先统一两个项中多项式因式的形式，根据互为相反数的两个数的偶次幂相等，可将$(b-a-c)^2$转化为$(a-b+c)^2$；第二步确定公因式：分别找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、相同多项式因式的最低次幂，三者的乘积就是公因式；第三步提取公因式，再整理余下的部分即可。
【解析】
解：先对第二项的底数变形，$\because (b - a - c)^2 = [-(a - b + c)]^2 = (a - b + c)^2$
$\therefore$原式可化为：
$5x(a - b + c)^3 - 25x^2(a - b + c)^2$
观察可得公因式为$5x(a - b + c)^2$，提取公因式得：
$= 5x(a - b + c)^2 · (a - b + c) - 5x(a - b + c)^2 · 5x$
$= 5x(a - b + c)^2(a - b + c - 5x)$
【答案】
$5x(a-b+c)^2(a-b+c-5x)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 偶次幂的符号性质
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意对互为相反数的多项式偶次幂的正确变形，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：第一步先统一两个项中多项式因式的形式，根据互为相反数的两个数的偶次幂相等，可将$(b-a-c)^2$转化为$(a-b+c)^2$；第二步确定公因式：分别找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、相同多项式因式的最低次幂，三者的乘积就是公因式；第三步提取公因式，再整理余下的部分即可。
【解析】
解：先对第二项的底数变形，$\because (b - a - c)^2 = [-(a - b + c)]^2 = (a - b + c)^2$
$\therefore$原式可化为：
$5x(a - b + c)^3 - 25x^2(a - b + c)^2$
观察可得公因式为$5x(a - b + c)^2$，提取公因式得：
$= 5x(a - b + c)^2 · (a - b + c) - 5x(a - b + c)^2 · 5x$
$= 5x(a - b + c)^2(a - b + c - 5x)$
【答案】
$5x(a-b+c)^2(a-b+c-5x)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 偶次幂的符号性质
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意对互为相反数的多项式偶次幂的正确变形，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
4.分解因式：$-a(x-y)-b(y-x)+cx-cy=$
$(x-y)(-a+b+c)$
.答案
4.$(x-y)(-a+b+c)$
解析
【分析】
要解决这道分解因式的题目，按照提公因式法的解题思路思考即可：首先观察式子的结构，发现式中同时出现$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，先统一因式的表达形式，再对剩余的$cx-cy$做简单变形，就能找出所有项的公因式，最后提取公因式即可。变形过程中要格外注意符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：先对原式各项变形，统一因式形式：
$\because y-x=-(x-y)$，$cx-cy=c(x-y)$
$\therefore$ 原式改写为：
$\begin{aligned}&-a(x-y)-b×[-(x-y)]+c(x-y)\\=&-a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)\end{aligned}$
提取公因式$(x-y)$，可得：
$(x-y)(-a+b+c)$
【答案】
$(x-y)(-a+b+c)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 整式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础典型题，解题核心是准确识别互为相反数的因式，统一公因式形式时要仔细核对每一步的符号，是这类题目最容易出错的地方。
【难度系数】
0.75
要解决这道分解因式的题目，按照提公因式法的解题思路思考即可：首先观察式子的结构，发现式中同时出现$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，先统一因式的表达形式，再对剩余的$cx-cy$做简单变形，就能找出所有项的公因式，最后提取公因式即可。变形过程中要格外注意符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：先对原式各项变形，统一因式形式：
$\because y-x=-(x-y)$，$cx-cy=c(x-y)$
$\therefore$ 原式改写为：
$\begin{aligned}&-a(x-y)-b×[-(x-y)]+c(x-y)\\=&-a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)\end{aligned}$
提取公因式$(x-y)$，可得：
$(x-y)(-a+b+c)$
【答案】
$(x-y)(-a+b+c)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 整式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础典型题，解题核心是准确识别互为相反数的因式，统一公因式形式时要仔细核对每一步的符号，是这类题目最容易出错的地方。
【难度系数】
0.75
5.解答下列各题.
(1)分解因式:$9a^2b(a-b)^{2n+1}-12a^2b^2(b-a)^{2n}(n$为正整数);
(2)已知$n$为正整数,请你证明$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数.
(1)分解因式:$9a^2b(a-b)^{2n+1}-12a^2b^2(b-a)^{2n}(n$为正整数);
(2)已知$n$为正整数,请你证明$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数.
答案
5.解:(1)原式$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-3b-4b)$
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$.
(2)$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$
$=5^n·5^2-4^n·4-5^n·5-4^n·4^2$
$=5^n·(25-5)-4^n·(4+16)$
$=20(5^n-4^n)$.
所以$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数.
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$.
(2)$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$
$=5^n·5^2-4^n·4-5^n·5-4^n·4^2$
$=5^n·(25-5)-4^n·(4+16)$
$=20(5^n-4^n)$.
所以$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数.
解析
【分析】
(1) 分解因式时首先确定公因式：因为n为正整数，2n是偶数，所以$(b-a)^{2n}=(a-b)^{2n}$，再找系数的最大公约数、相同字母及相同幂式的最低次幂，可得公因式为$3a^2b(a-b)^{2n}$，提取公因式后化简剩余部分即可得到结果。
(2) 要证明式子是20的倍数，先逆用同底数幂的乘法法则，把含$5^n$和$4^n$的项分别拆分，再分组提取公因式，最终整理出含因数20的形式，即可证明结论。
【解析】
(1) 先转化偶次幂的底数：
原式$=9a^2b(a-b)^{2n+1}-12a^2b^2(a-b)^{2n}$
提取公因式$3a^2b(a-b)^{2n}$：
$=3a^2b(a-b)^{2n}[3(a-b)-4b]$
化简括号内的式子：
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-3b-4b)$
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$
(2) 先逆用同底数幂的乘法拆分各项：
$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$
$=5^n·5^2 - 4^n·4 - 5^n·5 - 4^n·4^2$
分组提取公因式$5^n$和$4^n$：
$=5^n·(25-5) - 4^n·(4+16)$
$=20·5^n - 20·4^n$
再次提取公因式20：
$=20(5^n - 4^n)$
因为n为正整数，$5^n-4^n$是整数，所以原式一定是20的倍数。
【答案】
(1) $3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$；
(2) $5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数，证明如上。
【知识点】
提公因式法分解因式，同底数幂的运算，因式分解的应用
【点评】
两道题均围绕提公因式法展开考查，第一问需注意偶次幂下互为相反数的两个底数的幂相等，避免符号出错；第二问需先逆用同底数幂的运算拆分指数，再分组提取公因式，掌握公因式的确定方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式时首先确定公因式：因为n为正整数，2n是偶数，所以$(b-a)^{2n}=(a-b)^{2n}$，再找系数的最大公约数、相同字母及相同幂式的最低次幂，可得公因式为$3a^2b(a-b)^{2n}$，提取公因式后化简剩余部分即可得到结果。
(2) 要证明式子是20的倍数，先逆用同底数幂的乘法法则，把含$5^n$和$4^n$的项分别拆分，再分组提取公因式，最终整理出含因数20的形式，即可证明结论。
【解析】
(1) 先转化偶次幂的底数：
原式$=9a^2b(a-b)^{2n+1}-12a^2b^2(a-b)^{2n}$
提取公因式$3a^2b(a-b)^{2n}$：
$=3a^2b(a-b)^{2n}[3(a-b)-4b]$
化简括号内的式子：
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-3b-4b)$
$=3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$
(2) 先逆用同底数幂的乘法拆分各项：
$5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$
$=5^n·5^2 - 4^n·4 - 5^n·5 - 4^n·4^2$
分组提取公因式$5^n$和$4^n$：
$=5^n·(25-5) - 4^n·(4+16)$
$=20·5^n - 20·4^n$
再次提取公因式20：
$=20(5^n - 4^n)$
因为n为正整数，$5^n-4^n$是整数，所以原式一定是20的倍数。
【答案】
(1) $3a^2b(a-b)^{2n}(3a-7b)$；
(2) $5^{n+2}-4^{n+1}-5^{n+1}-4^{n+2}$一定是20的倍数，证明如上。
【知识点】
提公因式法分解因式，同底数幂的运算，因式分解的应用
【点评】
两道题均围绕提公因式法展开考查，第一问需注意偶次幂下互为相反数的两个底数的幂相等，避免符号出错；第二问需先逆用同底数幂的运算拆分指数，再分组提取公因式，掌握公因式的确定方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
