1. 如图,在$△ ABC$中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
问题引入:
(1)如图1,当点D是BC边的中点时, $S_{△ ABD}:S_{△ ABC}=$;当点D是BC边上任意一点时,$S_{△ ABD}:S_{△ ABC}=$(用图中已有线段表示).
探索研究:
(2)如图2,在$△ ABC$中,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO,CO,试猜想$S_{△ BOC}$与$S_{△ ABC}$之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
拓展应用:
(3)如图3,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO并延长,交AC于点F,连接CO并延长,交AB于点E.试猜想$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}$的值,并说明理由.

1.【解】(1)1:2 BD:BC
(2)猜想$S_{△ BOC}$与$S_{△ ABC}$之比应该等于$OD:AD$。
理由：由题意可得$\frac{S_{△ BOD}}{S_{△ BAD}}=\frac{S_{△ COD}}{S_{△ CAD}}=\frac{OD}{AD}$，所以$S_{△ BOD}=\frac{OD}{AD}·S_{△ BAD}$，$S_{△ COD}=\frac{OD}{AD}·S_{△ CAD}$，
所以$S_{△ BOD}+S_{△ COD}=\frac{OD}{AD}·S_{△ BAD}+\frac{OD}{AD}·S_{△ CAD}=\frac{OD}{AD}(S_{△ BAD}+S_{△ CAD})$，即$S_{△ BOC}=\frac{OD}{AD}·S_{△ ABC}$，所以$S_{△ BOC}:S_{△ ABC}=OD:AD$。
(3)猜想$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}$的值是1。
理由：由(2)可知$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}=\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ ABC}}+\frac{S_{△ BOA}}{S_{△ ABC}}+\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BOC}+S_{△ BOA}+S_{△ AOC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ABC}}=1$。

2. 如图，$△ ABC$的三条角平分线交于点$O$，过点$O$作$OD ⊥ OB$，交边$BC$于点$D$。

(1)如图1，猜想$∠ AOC$与$∠ ODC$的数量关系，并说明理由。
(2)如图2，作$△ ABC$的外角$∠ ABE$的平分线交$CO$的延长线于点$F$。
①求证：$BF // OD$；
②若$∠ F＝35°$，求$∠ BAC$的度数。

2.【解】(1)$∠ AOC=∠ ODC$。
理由：因为三个内角的平分线交于点O，所以$∠ OAC+∠ OCA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)$。因为$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
所以$∠ AOC=180°-(∠ OAC+∠ OCA)=90°+\frac{1}{2}∠ ABC=90°+∠ OBC$。因为$OD⊥ OB$，所以$∠ BOD=90°$，所以$∠ ODC=90°+∠ OBD$，所以$∠ AOC=∠ ODC$。
(2)①证明：因为BF平分$∠ ABE$，所以$∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-∠ DBO$。因为$∠ ODB=90°-∠ OBD$，
所以$∠ FBE=∠ ODB$，所以$BF// OD$。
② 因为BF平分$∠ ABE$，所以$∠ FBE=\frac{1}{2}∠ ABE=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$。因为$△ ABC$的三条角平分线交于点O，所以$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB$。
因为$∠ F=∠ FBE-∠ BCF=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)-\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ F=35°$，
所以$∠ BAC=2∠ F=70°$。