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1. 对情境“一辆中巴车限乘$20$人(含司机$1$人)，现在车上载有$n$名乘客，中途又有$2$名乘客上车，车上还有一些空座”的数量关系描述正确的是()
A.$n + 2 ≥ 20 - 1$
B.$n - 2 ≥ 20 - 1$
C.$n + 2 ＜ 20 - 1$
D.$n + 2 ＞ 20 - 1$
A.$n + 2 ≥ 20 - 1$
B.$n - 2 ≥ 20 - 1$
C.$n + 2 ＜ 20 - 1$
D.$n + 2 ＞ 20 - 1$
答案
C
解析
根据题意，中巴车限乘$20$人，其中包含$1$名司机，因此乘客的最大数量为$20-1=19$人。
车上原本有$n$名乘客，中途又有$2$名乘客上车，所以此时车上的乘客总数为$n+2$人。
题目描述“车上还有一些空座”，意味着此时车上的乘客数小于最大可载乘客数，即：$n+2 ＜ 19$。
将$20-1$代入不等式，得到：$n+2 ＜ 20-1$。
车上原本有$n$名乘客，中途又有$2$名乘客上车，所以此时车上的乘客总数为$n+2$人。
题目描述“车上还有一些空座”，意味着此时车上的乘客数小于最大可载乘客数，即：$n+2 ＜ 19$。
将$20-1$代入不等式，得到：$n+2 ＜ 20-1$。
2. 小明用$30$元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是$2$元和$5$元，他买了$2$支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买$x$支签字笔，则下列不等关系正确的是()
A.$5 × 2 + 2x ≥ 30$
B.$5 × 2 + 2x ≤ 30$
C.$2 × 2 + 5x ≥ 30$
D.$2 × 2 + 5x ≤ 30$
A.$5 × 2 + 2x ≥ 30$
B.$5 × 2 + 2x ≤ 30$
C.$2 × 2 + 5x ≥ 30$
D.$2 × 2 + 5x ≤ 30$
答案
D
解析
设小明还能买$x$支签字笔，
铅笔的单价是$2$元，他买了$2$支铅笔，所以铅笔总共花费了$2 × 2 = 4(元)$；
签字笔的单价是$5$元，他还能买$x$支签字笔，所以签字笔总共花费了$5x$元；
他总共花费的金额不超过$30$元，所以得到不等式：
$2 × 2 + 5x ≤ 30$，
铅笔的单价是$2$元，他买了$2$支铅笔，所以铅笔总共花费了$2 × 2 = 4(元)$；
签字笔的单价是$5$元，他还能买$x$支签字笔，所以签字笔总共花费了$5x$元；
他总共花费的金额不超过$30$元，所以得到不等式：
$2 × 2 + 5x ≤ 30$，
3. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5a, \\ x + 4y = 2a + 3\end{cases}$满足$x - y ＞ 0$，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
答题卡填写作答如下：
由方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5a, \quad① \\x + 4y = 2a + 3. \quad ②\end{cases}$
$① - ②$得：
$x - y = 3a - 3$，
因为$x - y ＞ 0$，
所以$3a - 3 ＞ 0$，
$3a＞ 3$，
解得$a ＞ 1$。
故答案为：$a ＞ 1$。
由方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5a, \quad① \\x + 4y = 2a + 3. \quad ②\end{cases}$
$① - ②$得：
$x - y = 3a - 3$，
因为$x - y ＞ 0$，
所以$3a - 3 ＞ 0$，
$3a＞ 3$，
解得$a ＞ 1$。
故答案为：$a ＞ 1$。
4. 某商品进价$4$元，按标价$5$元出售。商家准备打折销售，但其利润率不能少于$10\%$，则最多可打折。
答案
设最多可以打 $x$ 折，即售价为 $5 × \frac{x}{10}$ 元。
利润为售价减去进价，即：
$5 × \frac{x}{10} - 4$
要求利润率不少于 $10\%$，即：
$\frac{5 × \frac{x}{10} - 4}{4} ≥ 0.1$
化简得：
$5 × \frac{x}{10} - 4 ≥ 0.4$
$5 × \frac{x}{10} ≥ 4.4$
$x ≥ 8.8$
所以，最多可以打 $8.8$ 折。
利润为售价减去进价，即：
$5 × \frac{x}{10} - 4$
要求利润率不少于 $10\%$，即：
$\frac{5 × \frac{x}{10} - 4}{4} ≥ 0.1$
化简得：
$5 × \frac{x}{10} - 4 ≥ 0.4$
$5 × \frac{x}{10} ≥ 4.4$
$x ≥ 8.8$
所以，最多可以打 $8.8$ 折。
5. 小颖对妈妈说：“妈妈，我的年龄比你小$26$岁，$6$年后，我的年龄还不到你年龄的一半。”设小颖今年为$x$岁，可列不等式为。
答案
$x + 6 ＜ \dfrac{1}{2}(x + 26+6)$
解析
小颖今年为$x$岁，妈妈今年为$(x + 26)$岁。
6年后，小颖的年龄为$(x + 6)$岁，妈妈的年龄为$(x + 26 + 6) = (x + 32)$岁。
根据“6年后，小颖的年龄还不到妈妈年龄的一半”，可列不等式为：$x + 6 ＜ \dfrac{1}{2}(x + 32)$
6年后，小颖的年龄为$(x + 6)$岁，妈妈的年龄为$(x + 26 + 6) = (x + 32)$岁。
根据“6年后，小颖的年龄还不到妈妈年龄的一半”，可列不等式为：$x + 6 ＜ \dfrac{1}{2}(x + 32)$
6. 某次知识竞赛共有$20$道题，答对一道题得$10$分，答错或不答扣$5$分。小华得分要超过$120$分，他至少要答对道题。
答案
设小华答对了$x$道题，则他答错或未答的题目数量为$(20 - x)$道。
根据题意，答对一道题得$1$0分，答错或未答扣$5$分，因此他的总得分可以表示为：
$10x - 5(20 - x)$
要求他的得分超过$120$分，即：
$10x - 5(20 - x) ＞ 120$
展开并整理得：
$10x - 100 + 5x ＞ 120$
$15x ＞ 220$
$x ＞ \frac{220}{15}$
$x ＞ 14\frac{2}{3}$
由于$x$必须是整数（因为题目数量是整数），所以$x$的最小整数值为$15$的（因为需要满足超过的条件，所以取大于$14\frac{2}{3}$的最小整数）。
故他至少要答对$15 +（要满足超过120，经检验，当答对15道时，得分为15×10-5×5=125＞120，满足条件） = 15$道题（此处的+号以及后面内容不需要写在答题卡上，直接得出结果即可）。
答：他至少要答$15$道。
根据题意，答对一道题得$1$0分，答错或未答扣$5$分，因此他的总得分可以表示为：
$10x - 5(20 - x)$
要求他的得分超过$120$分，即：
$10x - 5(20 - x) ＞ 120$
展开并整理得：
$10x - 100 + 5x ＞ 120$
$15x ＞ 220$
$x ＞ \frac{220}{15}$
$x ＞ 14\frac{2}{3}$
由于$x$必须是整数（因为题目数量是整数），所以$x$的最小整数值为$15$的（因为需要满足超过的条件，所以取大于$14\frac{2}{3}$的最小整数）。
故他至少要答对$15 +（要满足超过120，经检验，当答对15道时，得分为15×10-5×5=125＞120，满足条件） = 15$道题（此处的+号以及后面内容不需要写在答题卡上，直接得出结果即可）。
答：他至少要答$15$道。
7. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共$50$个。其中水基灭火器的售价为$540$元/个，干粉灭火器的售价为$380$元/个。若学校购买这两种灭火器的总价不超过$21000$元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
答案
设购买水基灭火器$x$个，则购买干粉灭火器$(50 - x)$个。
根据题意，得$540x + 380(50 - x) ≤ 21000$
去括号：$540x + 19000 - 380x ≤ 21000$
合并同类项：$160x + 19000 ≤ 21000$
移项：$160x ≤ 21000 - 19000$
计算：$160x ≤ 2000$
系数化为1：$x ≤ 12.5$
因为$x$为整数，所以$x$的最大值为12。
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个。
根据题意，得$540x + 380(50 - x) ≤ 21000$
去括号：$540x + 19000 - 380x ≤ 21000$
合并同类项：$160x + 19000 ≤ 21000$
移项：$160x ≤ 21000 - 19000$
计算：$160x ≤ 2000$
系数化为1：$x ≤ 12.5$
因为$x$为整数，所以$x$的最大值为12。
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个。
8. 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面$1.5m$的地方为测量部位。某树栽种时的树围为$6cm$，在一定生长期内每年增加约$3cm$，设经过$x$($x$取整数)年后这棵树的树围超过$32cm$。
(1)至少经过年这棵树的树围达到$12cm$；
(2)根据题意，请你列出$x$满足的关系式：；
(3)至少经过多少年，这棵树的树围超过$32cm$？
(1)至少经过年这棵树的树围达到$12cm$；
(2)根据题意，请你列出$x$满足的关系式：；
(3)至少经过多少年，这棵树的树围超过$32cm$？
答案
(1) 2
(2) $6 + 3x ＞ 32$
(3)
设经过x年，这棵树的树围超过32cm
解不等式 $6 + 3x ＞ 32$，得 $3x ＞ 26$，$x ＞ \frac{26}{3} \approx 8.67$，因为 $x$ 取整数，所以至少经过 9 年。
(2) $6 + 3x ＞ 32$
(3)
设经过x年，这棵树的树围超过32cm
解不等式 $6 + 3x ＞ 32$，得 $3x ＞ 26$，$x ＞ \frac{26}{3} \approx 8.67$，因为 $x$ 取整数，所以至少经过 9 年。
