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1. 如图,双曲线$y=\dfrac{k}{x}$与直线$y=x$交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线 BA 的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线 AB 的方向平移,使其经过点 B,平移后的两条曲线相交于 P,Q 两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(阴影部分)为双曲线的"眸",PQ 为双曲线的"眸径".当双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的"眸径"为4时,k 的值为 （
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.4
A
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.4
答案
1. A 解析:如图,以 PQ 为边作矩形$PQQ'P'$,交双曲线$y=\dfrac{k}{x}$于点$ P',Q'$. 联立方程组 $\begin{cases}y=\dfrac{k}{x},\\y=x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\sqrt{k},\\y=-\sqrt{k}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=\sqrt{k},\\y=\sqrt{k},\end{cases}$ 所以 $A(-\sqrt{k},-\sqrt{k}),B(\sqrt{k},\sqrt{k})$. 因为 $PQ=4$,所以 $OP=\dfrac{1}{2}PQ=2$,所以 $P(-\sqrt{2},\sqrt{2})$. 因为 $PP'=AB,PP'// AB$,所以 $P'(-\sqrt{2}+2\sqrt{k},\sqrt{2}+2\sqrt{k})$. 因为点 $P'$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上,所以$(-\sqrt{2}+2\sqrt{k})(\sqrt{2}+2\sqrt{k})=k$,解得 $k=\dfrac{2}{3}$.
2. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB=CB,AD=$$CD$,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 筝形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$相交于点 $O$, 以点 $B$ 为圆心, $BO$ 为半径画弧,分别交 $AB,CB$ 于点 $E,F$. 若 $∠ ABD=$$∠ ACD=30°,AD=1$, 则 $\overset{\frown}{EF}$ 的长为
$\dfrac{π}{2}$
.答案
2. $\dfrac{π}{2}$ 解析: 因为 $AB=CB,AD=CD$,所以 $BD$ 垂直平分 $AC$,所以$∠ CBD=∠ ABD,∠ COD=90°$. 因为$∠ ABD=∠ ACD=30°,AD=1$, 所以 $CD=1,∠ CBD=30°$,$∠ CDB=90°-∠ ACD=60°$, 所以 $OD=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}$,$∠ EBF=∠ ABD+∠ CBD=60°,∠ BCD=180°-∠ CDB-∠ CBD=90°$, 所以 $BD=2CD=2$, 所以$BO=BD-OD=\dfrac{3}{2}$,所以 $\overset{\frown}{EF}$ 的长为$\dfrac{60π×\dfrac{3}{2}}{180}=\dfrac{π}{2}$.
3. 数学活动课上,小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数 $a,b$ 同时满足 $a^2+2a=b+2,b^2+$$2b=a+2,求代数式\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}的值.$
结合他们的对话,请解答下面的问题:
(1) 当 $a=b$ 时,$a$ 的值是
(2) 当 $a≠ b$ 时,代数式$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$的值是
已知实数 $a,b$ 同时满足 $a^2+2a=b+2,b^2+$$2b=a+2,求代数式\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}的值.$
结合他们的对话,请解答下面的问题:
(1) 当 $a=b$ 时,$a$ 的值是
$-2或1$
;(2) 当 $a≠ b$ 时,代数式$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$的值是
$7$
.答案
3. (1) $-2$ 或 $1$ 解析: 当 $a=b$ 时, $a^2+2a=a+2$, 即 $a^2+a-2=0$,解得 $a=1$ 或 $-2$.
(2) $7$ 解析:$\begin{cases}a^2+2a=b+2①,\\b^2+2b=a+2②.\end{cases}$ ①$+$②,得 $a^2+b^2+2a+2b=b+a+4$,即 $a^2+b^2+a+b=4$③. ①$-$②,得 $a^2-b^2+2a-2b=b-a$,即 $(a-b)(a+b+3)=0$. 因为 $a≠ b$,所以 $a-b≠0$,所以 $a+b+3=0$,即 $a+b=-3$④. 把④代入③,得 $a^2+b^2-3=4$,即 $a^2+b^2=7$. 因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(-3)^2=9$, 所以$ab=1$,所以原式$=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=7$.
(2) $7$ 解析:$\begin{cases}a^2+2a=b+2①,\\b^2+2b=a+2②.\end{cases}$ ①$+$②,得 $a^2+b^2+2a+2b=b+a+4$,即 $a^2+b^2+a+b=4$③. ①$-$②,得 $a^2-b^2+2a-2b=b-a$,即 $(a-b)(a+b+3)=0$. 因为 $a≠ b$,所以 $a-b≠0$,所以 $a+b+3=0$,即 $a+b=-3$④. 把④代入③,得 $a^2+b^2-3=4$,即 $a^2+b^2=7$. 因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(-3)^2=9$, 所以$ab=1$,所以原式$=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=7$.
4.【阅读材料】
材料 1: 解方程 $x^{4}-13x^{2}+36=0$ 时, 如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体, 然后设 $y=x^{2}$, 那么原方程可化为 $y^{2}-13y+36=0$. 经过运算, 原方程的解为 $x_{1}=2,x_{2}=-2,x_{3}=3,x_{4}=-3$. 我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法.
材料 2: 已知实数 $m,n$ 满足 $m^{2}-m-1=0$, $n^{2}-n-1=0$, 且 $m ≠ n$, 显然 $m,n$ 是方程 $x^{2}-x-1=0$ 的两个不相等的实数根, 由一元二次方程的根与系数的关系可知 $m+n=1,mn=-1$.
【解决问题】
(1) 直接应用: 方程 $x^{4}-5x^{2}+6=0$ 的解为
(2) 间接应用: 已知实数 $a,b$ 满足 $2a^{4}-7a^{2}+1=0,2b^{4}-7b^{2}+1=0$, 且 $a ≠ b$, 求代数式 $a^{4}+b^{4}$ 的值;
(3) 拓展应用: 已知实数 $m,n$ 满足 $\dfrac{1}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}=7,n^{2}-n=7$, 且 $n＞0$, 求代数式 $\dfrac{1}{m^{4}}+n^{2}$的值.
材料 1: 解方程 $x^{4}-13x^{2}+36=0$ 时, 如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体, 然后设 $y=x^{2}$, 那么原方程可化为 $y^{2}-13y+36=0$. 经过运算, 原方程的解为 $x_{1}=2,x_{2}=-2,x_{3}=3,x_{4}=-3$. 我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法.
材料 2: 已知实数 $m,n$ 满足 $m^{2}-m-1=0$, $n^{2}-n-1=0$, 且 $m ≠ n$, 显然 $m,n$ 是方程 $x^{2}-x-1=0$ 的两个不相等的实数根, 由一元二次方程的根与系数的关系可知 $m+n=1,mn=-1$.
【解决问题】
(1) 直接应用: 方程 $x^{4}-5x^{2}+6=0$ 的解为
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$
;(2) 间接应用: 已知实数 $a,b$ 满足 $2a^{4}-7a^{2}+1=0,2b^{4}-7b^{2}+1=0$, 且 $a ≠ b$, 求代数式 $a^{4}+b^{4}$ 的值;
(3) 拓展应用: 已知实数 $m,n$ 满足 $\dfrac{1}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}=7,n^{2}-n=7$, 且 $n＞0$, 求代数式 $\dfrac{1}{m^{4}}+n^{2}$的值.
答案
4. (1) $x_{1}=\sqrt{2} ,x_{2}=-\sqrt{2} ,x_{3}=\sqrt{3} ,x_{4}=-\sqrt{3}$
(2) 分类讨论如下:① 当 $a^2≠b^2$ 时,令 $a^2=p ,b^2=q$,则 $2p^2-7p+1=0 ,2q^2-7q+1=0$,所以 $p,q$ 是方程$2x^2-7x+1=0$ 的两个不相等的实数根,所以 $p+q=\dfrac{7}{2} ,pq=\dfrac{1}{2}$,所以原式 $=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=\dfrac{45}{4}$;② 当 $a^2=b^2$ 时,$a^2=b^2=\dfrac{7\pm\sqrt{41}}{4}$,所以原式$=2a^4=\dfrac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$.综上所述,代数式 $a^4+b^4$ 的值为$\dfrac{45}{4}$或$\dfrac{45+7\sqrt{41}}{4}$或$\dfrac{45-7\sqrt{41}}{4}$.
(3) 令 $\dfrac{1}{m^2}=c ,-n=d$,则 $c＞0 ,c^2+c-7=0 ,d^2+d-7=0$. 因为 $n＞0$,所以 $d＜0$,所以 $c≠d$,所以 $c,d$是方程 $x^2+x-7=0$ 的两个不相等的实数根,所以$c+d=-1 ,cd=-7$,所以原式$=c^2+d^2=(c+d)^2-2cd=15$.
(2) 分类讨论如下:① 当 $a^2≠b^2$ 时,令 $a^2=p ,b^2=q$,则 $2p^2-7p+1=0 ,2q^2-7q+1=0$,所以 $p,q$ 是方程$2x^2-7x+1=0$ 的两个不相等的实数根,所以 $p+q=\dfrac{7}{2} ,pq=\dfrac{1}{2}$,所以原式 $=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=\dfrac{45}{4}$;② 当 $a^2=b^2$ 时,$a^2=b^2=\dfrac{7\pm\sqrt{41}}{4}$,所以原式$=2a^4=\dfrac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$.综上所述,代数式 $a^4+b^4$ 的值为$\dfrac{45}{4}$或$\dfrac{45+7\sqrt{41}}{4}$或$\dfrac{45-7\sqrt{41}}{4}$.
(3) 令 $\dfrac{1}{m^2}=c ,-n=d$,则 $c＞0 ,c^2+c-7=0 ,d^2+d-7=0$. 因为 $n＞0$,所以 $d＜0$,所以 $c≠d$,所以 $c,d$是方程 $x^2+x-7=0$ 的两个不相等的实数根,所以$c+d=-1 ,cd=-7$,所以原式$=c^2+d^2=(c+d)^2-2cd=15$.
