1. (教材例题变式)方程 $x^{2}-4x=0$ 的解是（）

A.$x=4$
B.$x_{1}=1,x_{2}=4$
C.$x_{1}=0,x_{2}=4$
D.$x=0$

1. C 解析:
∵$x^{2}-4x=0$,
∴$x(x-4)=0$,
∴$x_1=0,x_2=4$.

【分析】
要解一元二次方程$x^2 - 4x = 0$，可采用因式分解法，将方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
对原方程进行因式分解：
$x^2 - 4x = 0$
提取公因式$x$得：
$x(x - 4) = 0$
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题，直接考查因式分解法解一元二次方程的基本方法，难度较低，适合巩固一元二次方程的解法基础。
【难度系数】
0.9

2. 将$(2x-1)^2=10x-5$转化为两个一元一次方程，这两个方程是 （）

A.$2x-1=0,2x+1=-5$
B.$2x+1=5,2x-1=0$
C.$2x-1=0,2x-1=5$
D.$2x+1=0,2x-1=-5$

2. C

【分析】
要将给定的一元二次方程转化为两个一元一次方程，需利用因式分解法解一元二次方程的核心思路：将方程整理为“两个因式乘积为0”的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，即可得到对应的两个一元一次方程。具体需先对原方程变形、提取公因式，完成因式分解后推导。
【解析】
原方程为$(2x-1)^2 = 10x -5$，先对右边提取公因式：$10x -5 =5(2x -1)$，则原方程变形为：
$(2x -1)^2 =5(2x -1)$
移项得：$(2x -1)^2 -5(2x -1)=0$
提取公因式$(2x -1)$得：$(2x -1)(2x -1 -5)=0$，即$(2x -1)(2x -6)=0$
根据“乘积为0则至少一个因式为0”，可得两个一元一次方程：$2x -1=0$ 和 $2x -6=0$；将$2x -6=0$两边同时加1，变形为$2x -1=5$，因此这两个方程是$2x -1=0$和$2x -1=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解法，核心是通过移项、提取公因式将二次方程转化为一次方程，属于基础题型，解题关键是准确对原方程进行变形和因式分解。
【难度系数】
0.7

3. 若代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，则$x$的值为（）

A.1或3
B.$-1$或$-3$
C.1或$-1$
D.3或$-3$

3. A 解析:根据题意,得 $x(x-1)+3(1-x)=0$,整理,得$(x-3)(x-1)=0$,$\therefore x_1=3,x_2=1$.

【分析】首先明确互为相反数的两个数的和为0，据此列出关于x的方程；再通过整理、因式分解的方法解一元二次方程，得到x的取值，最后对应选项选出正确答案。
【解析】根据题意，两个代数式互为相反数，因此它们的和为0，可列方程：
$x(x-1) + 3(1-x) = 0$
对式子变形整理：
$x(x-1) - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$得：
$(x-1)(x - 3) = 0$
则有$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】相反数的性质、一元二次方程的解法
【点评】本题结合相反数的性质考查一元二次方程的求解，属于基础题型，解题关键是利用互为相反数的两数和为0列出方程，再通过因式分解法解一元二次方程，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7

4. 下列解方程变形正确的是（）

A.若$x^{2}=3x$,则$x=3$
B.若$(3x-1)^{2}=(5x+6)^{2}$,则$3x-1=5x+6$
C.若$x^{2}+4x+1=0$,则$(x+2)^{2}=3$
D.若$x(x+2)=6x(x+2)$,则$x=2$或$x+2=3$

4. C 解析:若$x^2=3x$,则$x^2-3x=0$,$\therefore x(x-3)=0$,解得$x=0$或$x=3$,故A选项错误;若$(3x-1)^2=(5x+6)^2$,则$3x-1=\pm(5x+6)$,故B选项错误;若$x^2+4x+1=0$,则$x^2+4x=-1$,配方,得$x^2+4x+4=-1+4$,即$(x+2)^2=3$,故C选项正确;若$x(x+2)=6x(x+2)$,则$(x+2)(x-6x)=0$,解得$x=-2$或$x=0$,故D选项错误.

【分析】
要判断各选项的方程变形是否正确，需依据一元二次方程的解法、平方的性质逐一分析：A选项需移项因式分解，不能直接约去x（忽略x可能为0）；B选项平方相等时，两式相等或互为相反数，不能只取一种情况；C选项用配方法变形，需正确移项后加一次项系数一半的平方；D选项移项因式分解，不能直接约去公因式（公因式可能为0），需考虑所有解。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：若$x^2=3x$，移项得$x^2-3x=0$，因式分解为$x(x-3)=0$，解得$x=0$或$x=3$，原变形漏解，错误。
选项B：若$(3x-1)^2=(5x+6)^2$，根据平方相等的性质，得$3x-1=5x+6$或$3x-1=-(5x+6)$，原变形只取一种情况，错误。
选项C：若$x^2+4x+1=0$，移项得$x^2+4x=-1$，配方时两边加$2^2=4$，得$x^2+4x+4=-1+4$，即$(x+2)^2=3$，变形正确。
选项D：若$x(x+2)=6x(x+2)$，移项得$x(x+2)-6x(x+2)=0$，因式分解为$(x+2)(-5x)=0$，解得$x=-2$或$x=0$，原变形漏解，错误。
综上，变形正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；平方的等式性质
【点评】
本题考查一元二次方程的常见变形，易错点为忽略因式分解时公因式可能为0、平方相等时的两种情况，需熟练掌握一元二次方程的解法，避免漏解。
【难度系数】
0.7

5. (1)方程 $x^{2}=2x$ 的根为.
(2)一元二次方程 $x(x-5)=0$ 的根为.
(3)方程 $x^{2}-\sqrt{3}x=0$ 的解为.
(4)一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是.

5. (1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=0,x_2=5$ (3)$x_1=0,x_2=\sqrt{3}$ (4)$x_1=2,x_2=-7$

【分析】
本题考查一元二次方程的求根，对于这类方程，优先使用因式分解法：将方程整理为两个因式乘积等于0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对$x^2=2x$移项得：$x^2 - 2x = 0$，因式分解为$x(x-2)=0$，则$x=0$或$x-2=0$，解得$x_1=0, x_2=2$；
(2) 方程$x(x-5)=0$，根据因式分解的性质，得$x=0$或$x-5=0$，解得$x_1=0, x_2=5$；
(3) 对$x^2 - \sqrt{3}x=0$因式分解为$x(x-\sqrt{3})=0$，则$x=0$或$x-\sqrt{3}=0$，解得$x_1=0, x_2=\sqrt{3}$；
(4) 方程$(x-2)(x+7)=0$，根据因式分解的性质，得$x-2=0$或$x+7=0$，解得$x_1=2, x_2=-7$；
【答案】
5. (1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=0,x_2=5$ (3)$x_1=0,x_2=\sqrt{3}$ (4)$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为一元二次方程求根的基础题型，均可用因式分解法快速求解，考查对一元二次方程基本解法的掌握，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9

6. 当$x=$时，代数式$(x+1)(x-5)$与$(3x-1)(x+1)$的值相等.

6. $-1$或$-2$

【分析】首先根据题意，两个代数式的值相等，列出一元二次方程；然后通过移项、提取公因式的方法将方程因式分解，转化为两个一元一次方程，进而求解得到x的值，注意不能直接两边除以含未知数的因式，避免漏解。
【解析】根据题意，得：
$(x+1)(x-5) = (3x-1)(x+1)$
移项，得：
$(x+1)(x-5) - (3x-1)(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)[(x-5) - (3x - 1)] = 0$
化简括号内的式子：
$(x+1)(x -5 -3x +1) = 0$
即：
$(x+1)(-2x -4) = 0$
进一步整理为：
$-2(x+1)(x+2) = 0$
则有：
$x+1 = 0$ 或 $x+2 = 0$
解得：$x = -1$ 或 $x = -2$
【答案】$-1$或$-2$
【知识点】一元二次方程解法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的求解，核心是利用因式分解法将二次方程转化为一次方程，解题时需注意移项提取公因式，避免直接约去含未知数的因式导致漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.7

7. 解下列方程：
(1)$x(x-12)=0$；
(2)$3x^{2}-5x=0$；
(3)$9y^{2}-6y+1=0$；
(4)$(x-3)^{2}+4x(x-3)=0$；
(5)$2(x-3)=3x(3-x)$；
(6)$(2x-1)^{2}-x^{2}=0.$

7. (1)$x_1=0,x_2=12$. (2)$x_1=0,x_2=\frac{5}{3}$. (3)$y_1=y_2=\frac{1}{3}$. (4)$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$. (5)$x_1=3,x_2=-\frac{2}{3}$. (6)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$.

【分析】
本题为一元二次方程的求解问题，核心思路是利用因式分解法将一元二次方程转化为几个一次因式乘积等于0的形式，根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将二次方程转化为一元一次方程求解，该方法比直接用求根公式更简便，需根据方程特点选择合适的因式分解方式（提取公因式、运用乘法公式等）。
【解析】
(1) 方程$x(x-12)=0$，根据因式分解法，可得$x=0$或$x-12=0$，解得$x_1=0$，$x_2=12$；
(2) 方程$3x^2 -5x=0$，提取公因式$x$得$x(3x-5)=0$，则$x=0$或$3x-5=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{5}{3}$；
(3) 方程$9y^2 -6y +1=0$，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，变形为$(3y-1)^2=0$，则$3y-1=0$，解得$y_1=y_2=\frac{1}{3}$；
(4) 方程$(x-3)^2 +4x(x-3)=0$，提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(x-3 +4x)=0$，即$(x-3)(5x-3)=0$，则$x-3=0$或$5x-3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{5}$；
(5) 方程$2(x-3)=3x(3-x)$，移项得$2(x-3)+3x(x-3)=0$（利用$3-x=-(x-3)$变形），提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(2+3x)=0$，则$x-3=0$或$2+3x=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{2}{3}$；
(6) 方程$(2x-1)^2 -x^2=0$，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，变形为$(2x-1 -x)(2x-1 +x)=0$，即$(x-1)(3x-1)=0$，则$x-1=0$或$3x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$；
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=12$；(2)$x_1=0,x_2=\frac{5}{3}$；(3)$y_1=y_2=\frac{1}{3}$；(4)$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$；(5)$x_1=3,x_2=-\frac{2}{3}$；(6)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，核心是运用因式分解法（提取公因式、乘法公式）将二次方程转化为一次方程求解，题型常规，是一元二次方程解法的典型基础题，需掌握因式分解的基本技巧。
【难度系数】
0.2