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8. (2025·河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6 个面上分别标有 1,2,3 中的一个数字)，若向上一面出现数字 1 的概率为$\dfrac{1}{2}$，出现数字 2 的概率为$\dfrac{1}{3}$，则该木块不可能是 （
A
）答案
8. A 解析:
∵向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,
∴6个面中要有3个面标有“1”,有2个面标有“2”,
∴只能有一个面标有“3”,
∴该木块不可能是选项A.
∵向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,
∴6个面中要有3个面标有“1”,有2个面标有“2”,
∴只能有一个面标有“3”,
∴该木块不可能是选项A.
解析
【分析】
要判断该木块不可能是哪个选项，需先利用概率公式计算出正方体各数字对应的面数：抛掷质地均匀的正方体时，每个面向上的概率相等，总面数为6，某数字的面数=总面数×该数字出现的概率。再对比各选项中正方体的数字面数，找出不符合要求的选项。
【解析】
根据概率公式，标有数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$；标有数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$；则标有数字3的面数为：$6-3-2=1$。
逐一分析选项：
选项A的正方体三个面均为数字3，没有标有1和2的面，不符合计算得出的各数字面数；
选项B的正方体有3个面标有1，符合1的面数要求；
选项C的正方体有1个1、1个2、1个3，结合正方体的面数特征，可调整为3个1、2个2、1个3的组合（实际为部分面的展示，整体面数符合要求）；
选项D的正方体有1个1、2个2，符合1和2的面数要求。
因此该木块不可能是选项A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算、正方体的面特征
【点评】
本题结合概率与正方体的性质，考查概率公式的应用，核心是根据概率求出对应数字的面数，再判断选项是否符合，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要判断该木块不可能是哪个选项，需先利用概率公式计算出正方体各数字对应的面数：抛掷质地均匀的正方体时，每个面向上的概率相等，总面数为6，某数字的面数=总面数×该数字出现的概率。再对比各选项中正方体的数字面数，找出不符合要求的选项。
【解析】
根据概率公式，标有数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$；标有数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$；则标有数字3的面数为：$6-3-2=1$。
逐一分析选项：
选项A的正方体三个面均为数字3，没有标有1和2的面，不符合计算得出的各数字面数；
选项B的正方体有3个面标有1，符合1的面数要求；
选项C的正方体有1个1、1个2、1个3，结合正方体的面数特征，可调整为3个1、2个2、1个3的组合（实际为部分面的展示，整体面数符合要求）；
选项D的正方体有1个1、2个2，符合1和2的面数要求。
因此该木块不可能是选项A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算、正方体的面特征
【点评】
本题结合概率与正方体的性质，考查概率公式的应用，核心是根据概率求出对应数字的面数，再判断选项是否符合，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
9. 小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯. 如果他在路口遇到红灯的概率是$\dfrac{1}{3}$，遇到黄灯的概率是$\dfrac{1}{9}$，那么他遇到绿灯的概率是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
D
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
答案
9. D
解析
【分析】首先明确，十字路口的红、黄、绿三色信号灯对应的事件是互斥事件（同一时间仅一种灯亮，三种情况不可能同时发生），且所有情况的概率之和为1。要求遇到绿灯的概率，只需用总概率1减去遇到红灯和黄灯的概率之和即可。
【解析】因为遇到红灯、黄灯、绿灯是互斥事件，根据互斥事件的概率和为1的性质，可得遇到绿灯的概率为：$1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率性质、概率的基本计算
【点评】本题考查概率的基础性质，属于简单的概率应用题，核心是利用互斥事件概率和为1的知识点求解，是概率模块的常考基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为遇到红灯、黄灯、绿灯是互斥事件，根据互斥事件的概率和为1的性质，可得遇到绿灯的概率为：$1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率性质、概率的基本计算
【点评】本题考查概率的基础性质，属于简单的概率应用题，核心是利用互斥事件概率和为1的知识点求解，是概率模块的常考基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
10. 如图,在边长为 1 的小正方形网格中,已知 A、B 在网格格点上,在所有的16 个格点中任选一点 C,恰好能使点 A、B、C 构成面积为 1 的三角形的概率是（
A.$\dfrac{3}{16}$
B.$\dfrac{3}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{5}{6}$
C
）A.$\dfrac{3}{16}$
B.$\dfrac{3}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
10. C 解析:如图,在16个格点中任选一点C,共有16种等可能的结果,其中恰好能使△ABC的面积为1的结果有4种(图中标点处),
∴恰好能使点A、B、C构成面积为1的三角形的概率是$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】首先确定总共有16个格点，即任选点C的总情况数为16种；接下来通过网格中三角形面积的计算方法，结合图形特点找出能使△ABC面积为1的点C的数量，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】解：4×4的网格中共有16个格点，因此任选一点C，共有16种等可能的结果。
根据三角形面积公式（面积=1/2×底×高），结合网格特点分析可知，能使△ABC面积为1的点C共有4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】C
【知识点】概率计算、网格中三角形面积
【点评】本题结合网格考查概率计算，关键是准确找出满足三角形面积为1的格点数量，需掌握网格中三角形面积的计算方法，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】解：4×4的网格中共有16个格点，因此任选一点C，共有16种等可能的结果。
根据三角形面积公式（面积=1/2×底×高），结合网格特点分析可知，能使△ABC面积为1的点C共有4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】C
【知识点】概率计算、网格中三角形面积
【点评】本题结合网格考查概率计算，关键是准确找出满足三角形面积为1的格点数量，需掌握网格中三角形面积的计算方法，难度适中。
【难度系数】0.4
11. 有六张形状完全相同的不透明的卡片,每张卡片上分别写有 $0,\sqrt{3},-1,\sqrt{4},\dfrac{1}{27},π$,将无字的一面朝上洗匀后从中任取一张,取到的卡片上的数字是无理数的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
11. $\frac{1}{3}$ 解析:
∵在$0,\sqrt{3},-1,\sqrt{4},\frac{1}{27},π$中,无理数有$\sqrt{3},π$,
∴从中任取一张,取到的卡片上的数字是无理数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∵在$0,\sqrt{3},-1,\sqrt{4},\frac{1}{27},π$中,无理数有$\sqrt{3},π$,
∴从中任取一张,取到的卡片上的数字是无理数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要计算取到无理数的概率，需先确定总情况数（卡片总数），再根据无理数的定义找出其中无理数的数量（符合条件的情况数），最后利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。
【解析】
1. 总情况数：共有6张卡片，即总情况数为6。
2. 无理数判断：根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个分析数字：
0是整数，属于有理数；
√3是开方开不尽的数，属于无理数；
-1是整数，属于有理数；
√4=2，是整数，属于有理数；
1/27是分数，属于有理数；
π是无限不循环小数，属于无理数；
因此无理数共有2个。
3. 概率计算：取到无理数的概率=无理数数量÷总卡片数=2÷6=1/3。
【答案】
1/3
【知识点】
无理数的识别；概率的计算
【点评】
本题结合概率考查无理数的判断，属于基础题型，关键是准确识别无理数，再利用概率公式计算，难度不大，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
要计算取到无理数的概率，需先确定总情况数（卡片总数），再根据无理数的定义找出其中无理数的数量（符合条件的情况数），最后利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。
【解析】
1. 总情况数：共有6张卡片，即总情况数为6。
2. 无理数判断：根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个分析数字：
0是整数，属于有理数；
√3是开方开不尽的数，属于无理数；
-1是整数，属于有理数；
√4=2，是整数，属于有理数；
1/27是分数，属于有理数；
π是无限不循环小数，属于无理数；
因此无理数共有2个。
3. 概率计算：取到无理数的概率=无理数数量÷总卡片数=2÷6=1/3。
【答案】
1/3
【知识点】
无理数的识别；概率的计算
【点评】
本题结合概率考查无理数的判断，属于基础题型，关键是准确识别无理数，再利用概率公式计算，难度不大，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
12. 若从$2,-1,0,1,3,4$这六个数中任选一个数记为$m$,则使函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限的概率是
$\frac{2}{3}$
.答案
12. $\frac{2}{3}$ 解析:若函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限,则$m-2≤0$,即$m≤2$.
∵$2,-1,0,1,3,4$这六个数中有4个数小于等于2,
∴函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
∵$2,-1,0,1,3,4$这六个数中有4个数小于等于2,
∴函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
首先，需根据一次函数的图像性质，确定函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限的条件：对于一次函数$y=kx+b$，当$k＜0$且$b＞0$时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；当$k=0$且$b＞0$时，图象是平行于$x$轴的直线，经过第一、二象限，也不经过第三象限。本题中$b=2＞0$，因此只需满足斜率$k=m-2≤0$，即$m≤2$。接着，从给定的六个数中找出满足$m≤2$的数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
要使函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限，需满足斜率$m-2≤0$，解得$m≤2$。
在$2,-1,0,1,3,4$这六个数中，满足$m≤2$的数有$2,-1,0,1$，共$4$个。
根据概率公式$P=\frac{满足条件的数的个数}{总个数}$，可得概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一次函数图像性质、概率计算
【点评】
本题结合一次函数图像性质与概率计算，核心是先确定$m$的取值范围，再准确统计符合条件的数，最后计算概率，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
首先，需根据一次函数的图像性质，确定函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限的条件：对于一次函数$y=kx+b$，当$k＜0$且$b＞0$时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；当$k=0$且$b＞0$时，图象是平行于$x$轴的直线，经过第一、二象限，也不经过第三象限。本题中$b=2＞0$，因此只需满足斜率$k=m-2≤0$，即$m≤2$。接着，从给定的六个数中找出满足$m≤2$的数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
要使函数$y=(m-2)x+2$的图象不经过第三象限，需满足斜率$m-2≤0$，解得$m≤2$。
在$2,-1,0,1,3,4$这六个数中，满足$m≤2$的数有$2,-1,0,1$，共$4$个。
根据概率公式$P=\frac{满足条件的数的个数}{总个数}$，可得概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一次函数图像性质、概率计算
【点评】
本题结合一次函数图像性质与概率计算，核心是先确定$m$的取值范围，再准确统计符合条件的数，最后计算概率，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3x+m=0$ 有两个不相等的实数根, 且 $m ≥-3$, 则从满足条件的所有整数 $m$ 中随机选取一个,恰好是负数的概率是
$\frac{1}{2}$
.答案
13. $\frac{1}{2}$ 解析:
∵关于x的方程$x^2-3x+m=0$有两个不相等的实数根,
∴$(-3)^2-4m＞0$,解得$m＜\frac{9}{4}$.又
∵$m≥-3$,
∴$-3≤m＜\frac{9}{4}$,
∴满足条件的所有整数为$-3,-2,-1,0,1,2$,共6个,其中负数有$-3,-2,-1$,共3个,
∴从满足条件的所有整数m中随机选取一个,恰好是负数的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
∵关于x的方程$x^2-3x+m=0$有两个不相等的实数根,
∴$(-3)^2-4m＞0$,解得$m＜\frac{9}{4}$.又
∵$m≥-3$,
∴$-3≤m＜\frac{9}{4}$,
∴满足条件的所有整数为$-3,-2,-1,0,1,2$,共6个,其中负数有$-3,-2,-1$,共3个,
∴从满足条件的所有整数m中随机选取一个,恰好是负数的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，再结合题目给出的m≥-3，找出满足条件的所有整数m，最后统计其中负数的个数，根据概率公式计算所求概率。
【解析】
解：
∵关于x的方程$x^2 - 3x + m = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×m ＞ 0$，
即$9 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{9}{4}$；
又已知$m ≥ -3$，
∴m的取值范围为$-3 ≤ m ＜ \frac{9}{4}$，
满足条件的整数m为：-3，-2，-1，0，1，2，共6个；
其中负数有：-3，-2，-1，共3个；
根据概率公式，所求概率$P = \frac{负数的个数}{总整数个数} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、概率的计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与概率的应用，解题关键是先通过判别式确定m的取值范围，再准确找出符合条件的整数，最后运用概率公式计算结果，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需利用一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，再结合题目给出的m≥-3，找出满足条件的所有整数m，最后统计其中负数的个数，根据概率公式计算所求概率。
【解析】
解：
∵关于x的方程$x^2 - 3x + m = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×m ＞ 0$，
即$9 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{9}{4}$；
又已知$m ≥ -3$，
∴m的取值范围为$-3 ≤ m ＜ \frac{9}{4}$，
满足条件的整数m为：-3，-2，-1，0，1，2，共6个；
其中负数有：-3，-2，-1，共3个；
根据概率公式，所求概率$P = \frac{负数的个数}{总整数个数} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、概率的计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与概率的应用，解题关键是先通过判别式确定m的取值范围，再准确找出符合条件的整数，最后运用概率公式计算结果，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
14. 某儿童用品商店在“六一”儿童节这天设置了一个购物摸球游戏:在一个不透明的箱子里装了50 个小球,这些小球上分别标有“50 元”“8 元”“2 元”“0 元”的字样,其中标有“50 元”的小球有 4 个,标有“0 元”的小球有 5 个,标有“2 元”的小球个数比标有“8 元”的小球个数的2 倍少 1 个.这些小球除字样外其余都相同,并规定:凡购买指定商品,可以摸球一次,如果摸到标有“50 元”“8 元”或“2 元”的小球,那么可以得到等价值的奖品一个.
已知小明购买了指定商品,请根据以上信息回答下列问题:
(1)小明获得奖品的概率是
(2)为了吸引顾客,儿童用品店现将“8 元”奖品的获奖概率提高到$\dfrac{2}{5}$,在保持小球总数不变的情况下,需要把几个标有“2 元”的小球改为“8 元”的小球?
已知小明购买了指定商品,请根据以上信息回答下列问题:
(1)小明获得奖品的概率是
$\frac{9}{10}$
,获得“8 元”奖品的概率是$\frac{7}{25}$
.(2)为了吸引顾客,儿童用品店现将“8 元”奖品的获奖概率提高到$\dfrac{2}{5}$,在保持小球总数不变的情况下,需要把几个标有“2 元”的小球改为“8 元”的小球?
答案
14. (1)$\frac{9}{10}$ $\frac{7}{25}$ 解析:设标有“8元”的小球有x个,则标有“2元”的小球有$(2x-1)$个.根据题意,得$x+2x-1+4+5=50$,解得$x=14$,
∴$2x-1=27$,即标有“8元”的小球有14个,标有“2元”的小球有27个,
∴$P$(获得奖品)$=\frac{50-5}{50}=\frac{9}{10}$,$P$(获得“8元”奖品)$=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}$.
(2)设需要把y个标有“2元”的小球改为“8元”的小球.根据题意,得$\frac{y+14}{50}=\frac{2}{5}$,解得$y=6$,
∴需要将6个标有“2元”的小球改为“8元”的小球.
∴$2x-1=27$,即标有“8元”的小球有14个,标有“2元”的小球有27个,
∴$P$(获得奖品)$=\frac{50-5}{50}=\frac{9}{10}$,$P$(获得“8元”奖品)$=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}$.
(2)设需要把y个标有“2元”的小球改为“8元”的小球.根据题意,得$\frac{y+14}{50}=\frac{2}{5}$,解得$y=6$,
∴需要将6个标有“2元”的小球改为“8元”的小球.
解析
【分析】
本题需先根据题目中各小球数量的关系求出“8元”“2元”小球的个数，再利用概率公式计算概率；第二问根据调整后“8元”奖品的概率，设未知数建立方程求解。
步骤1：设“8元”小球个数为x，根据“2元”小球个数与“8元”的关系表示出“2元”小球个数，结合总球数列方程求出x；
步骤2：计算获得奖品的情况数（排除0元小球），用概率公式计算获得奖品的概率，再计算获得“8元”奖品的概率；
步骤3：设调整的“2元”小球个数为y，根据调整后“8元”的概率为2/5，列方程求解y。
【解析】
(1) 设标有“8元”的小球有x个，则标有“2元”的小球有(2x-1)个。
根据总球数为50，列方程：
x + (2x -1) +4 +5 =50
解得：3x +8=50 →3x=42→x=14
∴标有“8元”的小球有14个，标有“2元”的小球有2×14-1=27个。
获得奖品的情况是摸到50元、8元、2元的小球，共50-5=45个，因此：
P(获得奖品)=45/50=9/10；
P(获得“8元”奖品)=14/50=7/25。
(2) 设需要把y个标有“2元”的小球改为“8元”的小球。
调整后“8元”小球个数为(14+y)个，总球数不变为50，根据题意列方程：
(14 + y)/50 =2/5
解得：14+y=20→y=6。
【答案】
(1)$\frac{9}{10}$，$\frac{7}{25}$；(2)6个。
【知识点】
概率计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际购物场景，考查概率公式的应用及一元一次方程的求解，属于基础题型，关键是先准确求出各类型小球的数量，再根据概率关系列式计算。
【难度系数】
0.6
本题需先根据题目中各小球数量的关系求出“8元”“2元”小球的个数，再利用概率公式计算概率；第二问根据调整后“8元”奖品的概率，设未知数建立方程求解。
步骤1：设“8元”小球个数为x，根据“2元”小球个数与“8元”的关系表示出“2元”小球个数，结合总球数列方程求出x；
步骤2：计算获得奖品的情况数（排除0元小球），用概率公式计算获得奖品的概率，再计算获得“8元”奖品的概率；
步骤3：设调整的“2元”小球个数为y，根据调整后“8元”的概率为2/5，列方程求解y。
【解析】
(1) 设标有“8元”的小球有x个，则标有“2元”的小球有(2x-1)个。
根据总球数为50，列方程：
x + (2x -1) +4 +5 =50
解得：3x +8=50 →3x=42→x=14
∴标有“8元”的小球有14个，标有“2元”的小球有2×14-1=27个。
获得奖品的情况是摸到50元、8元、2元的小球，共50-5=45个，因此：
P(获得奖品)=45/50=9/10；
P(获得“8元”奖品)=14/50=7/25。
(2) 设需要把y个标有“2元”的小球改为“8元”的小球。
调整后“8元”小球个数为(14+y)个，总球数不变为50，根据题意列方程：
(14 + y)/50 =2/5
解得：14+y=20→y=6。
【答案】
(1)$\frac{9}{10}$，$\frac{7}{25}$；(2)6个。
【知识点】
概率计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际购物场景，考查概率公式的应用及一元一次方程的求解，属于基础题型，关键是先准确求出各类型小球的数量，再根据概率关系列式计算。
【难度系数】
0.6
