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1. 化简$(\dfrac{a^{2}}{a - 7}+\dfrac{49}{7 - a})÷\dfrac{a + 7}{a}$的结果是()
A.$-a$
B.$a$
C.$\dfrac{(a + 7)^{2}}{a}$
D.$1$
A.$-a$
B.$a$
C.$\dfrac{(a + 7)^{2}}{a}$
D.$1$
答案
B
解析
原式$=(\frac{a^{2}}{a - 7}-\frac{49}{a - 7})÷\frac{a + 7}{a}$
$=\frac{a^{2}-49}{a - 7}÷\frac{a + 7}{a}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对$\frac{a^{2}-49}{a - 7}$化简，因为$a^{2}-49=a^{2}-7^{2}=(a + 7)(a - 7)$，所以$\frac{a^{2}-49}{a - 7}=\frac{(a + 7)(a - 7)}{a - 7}=a + 7$。
则原式变为$(a + 7)÷\frac{a + 7}{a}$，根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$(a + 7)×\frac{a}{a + 7}=a$。
$=\frac{a^{2}-49}{a - 7}÷\frac{a + 7}{a}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对$\frac{a^{2}-49}{a - 7}$化简，因为$a^{2}-49=a^{2}-7^{2}=(a + 7)(a - 7)$，所以$\frac{a^{2}-49}{a - 7}=\frac{(a + 7)(a - 7)}{a - 7}=a + 7$。
则原式变为$(a + 7)÷\frac{a + 7}{a}$，根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$(a + 7)×\frac{a}{a + 7}=a$。
2. 若$(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})÷\dfrac{2}{〇}$的运算结果为整式，则“$〇$”中的式子可能为()
A.$a - b$
B.$a + b$
C.$ab$
D.$a^{2}-b^{2}$
A.$a - b$
B.$a + b$
C.$ab$
D.$a^{2}-b^{2}$
答案
C
解析
先计算括号内：$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}=-\dfrac{a-b}{ab}$。原式变为$-\dfrac{a-b}{ab}÷\dfrac{2}{〇}=-\dfrac{a-b}{ab}×\dfrac{〇}{2}=-\dfrac{(a-b)〇}{2ab}$。要结果为整式，需$2ab$能被$(a-b)〇$约尽。
选项C中，〇=ab时，原式$=-\dfrac{(a-b)ab}{2ab}=-\dfrac{a-b}{2}$，为整式。
选项C中，〇=ab时，原式$=-\dfrac{(a-b)ab}{2ab}=-\dfrac{a-b}{2}$，为整式。
3. 计算：(1)$(1+\dfrac{a}{1 - a})÷\dfrac{1}{a^{2}-a}=$；
(2)$(1-\dfrac{1}{x - 1})÷\dfrac{x - 2}{x^{2}-1}=$.
(2)$(1-\dfrac{1}{x - 1})÷\dfrac{x - 2}{x^{2}-1}=$.
答案
(1)$-a$；(2)$x + 1$
解析
(1) 原式$=(1+\dfrac{a}{1 - a})÷\dfrac{1}{a^{2}-a}$
$=(\dfrac{1 - a}{1 - a}+\dfrac{a}{1 - a})×(a^{2}-a)$
$=\dfrac{1 - a + a}{1 - a}×a(a - 1)$
$=\dfrac{1}{1 - a}×[-a(1 - a)]$
$=-a$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{x - 1})÷\dfrac{x - 2}{x^{2}-1}$
$=(\dfrac{x - 1}{x - 1}-\dfrac{1}{x - 1})×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=\dfrac{x - 1 - 1}{x - 1}×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=\dfrac{x - 2}{x - 1}×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=x + 1$
$=(\dfrac{1 - a}{1 - a}+\dfrac{a}{1 - a})×(a^{2}-a)$
$=\dfrac{1 - a + a}{1 - a}×a(a - 1)$
$=\dfrac{1}{1 - a}×[-a(1 - a)]$
$=-a$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{x - 1})÷\dfrac{x - 2}{x^{2}-1}$
$=(\dfrac{x - 1}{x - 1}-\dfrac{1}{x - 1})×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=\dfrac{x - 1 - 1}{x - 1}×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=\dfrac{x - 2}{x - 1}×\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$=x + 1$
4. 计算：
(1)$(-\dfrac{b}{a})^{2}·\dfrac{3ac}{4b}÷\dfrac{2b^{2}}{3a}$；
(2)$1-\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}÷\dfrac{x - 1}{x}$.
(1)$(-\dfrac{b}{a})^{2}·\dfrac{3ac}{4b}÷\dfrac{2b^{2}}{3a}$；
(2)$1-\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}÷\dfrac{x - 1}{x}$.
答案
(1)
$(-\dfrac{b}{a})^{2} · \dfrac{3ac}{4b} ÷ \dfrac{2b^{2}}{3a}$
$=\dfrac{b^{2}}{a^{2} } · \dfrac{3ac}{4b} · \dfrac{3a}{2b^{2}}$
$=\dfrac{9c}{8a{/}{b}}$ （或 $\dfrac{9c}{8ab} · a^{2-1} =\dfrac{9c}{8ab}$，结果一样，不过此步可省略）
$=\dfrac{9c}{8ab}$
(2)
$1 - \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x}$
$=1 - \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^{2}} · \dfrac{x}{x - 1}$
$=1 - \dfrac{x}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1 - x}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x + 1}$
$(-\dfrac{b}{a})^{2} · \dfrac{3ac}{4b} ÷ \dfrac{2b^{2}}{3a}$
$=\dfrac{b^{2}}{a^{2} } · \dfrac{3ac}{4b} · \dfrac{3a}{2b^{2}}$
$=\dfrac{9c}{8a{/}{b}}$ （或 $\dfrac{9c}{8ab} · a^{2-1} =\dfrac{9c}{8ab}$，结果一样，不过此步可省略）
$=\dfrac{9c}{8ab}$
(2)
$1 - \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x}$
$=1 - \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^{2}} · \dfrac{x}{x - 1}$
$=1 - \dfrac{x}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1 - x}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x + 1}$
5. 先化简代数式$1-\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^{2}-4}{a^{2}+a}$，再从$-3 ＜ a ＜ 3$的范围内选取一个合适的整数作为$a$的值代入求值.
答案
化简过程：
1. 原式$=1-\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^{2}-4}{a^{2}+a}$
2. 除法转化为乘法：$=1-\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a^{2}+a}{a^{2}-4}$
3. 因式分解：$=1-\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a(a + 1)}{(a - 2)(a + 2)}$
4. 约分：$=1-\dfrac{a + 1}{a + 2}$
5. 通分计算：$=\dfrac{a + 2}{a + 2}-\dfrac{a + 1}{a + 2}=\dfrac{1}{a + 2}$
取值与求值：
由题意，$a$需满足：$a≠0$，$a² - 4≠0$（即$a≠±2$），$a² + a≠0$（即$a≠0$且$a≠-1$），且$-3 ＜ a ＜ 3$，$a$为整数。
符合条件的整数$a=1$。
代入$a=1$：$\dfrac{1}{1 + 2}=\dfrac{1}{3}$
最终结果：$\dfrac{1}{3}$
1. 原式$=1-\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^{2}-4}{a^{2}+a}$
2. 除法转化为乘法：$=1-\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a^{2}+a}{a^{2}-4}$
3. 因式分解：$=1-\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a(a + 1)}{(a - 2)(a + 2)}$
4. 约分：$=1-\dfrac{a + 1}{a + 2}$
5. 通分计算：$=\dfrac{a + 2}{a + 2}-\dfrac{a + 1}{a + 2}=\dfrac{1}{a + 2}$
取值与求值：
由题意，$a$需满足：$a≠0$，$a² - 4≠0$（即$a≠±2$），$a² + a≠0$（即$a≠0$且$a≠-1$），且$-3 ＜ a ＜ 3$，$a$为整数。
符合条件的整数$a=1$。
代入$a=1$：$\dfrac{1}{1 + 2}=\dfrac{1}{3}$
最终结果：$\dfrac{1}{3}$
