20 如图, A B 是 $\odot O$ 的弦, $O C ⊥ A B$, 垂足为 $C, O D / / A B$, 交 $\odot O$ 于点 $D, O D=2 O C$, 则 $∠ A B D$ 的度数为.

20. $105°$ 【解析】连接$OB$,取$OB$的中点$E$,连接$CE$.$\because OD=2OC$,$OB=OD$,$\therefore OC=\dfrac{1}{2}OB$.$\because OC⊥ AB$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OCB$中,$CE=\dfrac{1}{2}OB$,$\therefore CE=OC=OE$,$\therefore △ OCE$为等边三角形,$\therefore ∠ COB=60°$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OCB$中,$∠ CBO=30°$.$\because OD// AB$,$\therefore ∠ BOD=∠ CBO=30°$.$\because OB=OD$,$\therefore ∠ OBD=∠ ODB=75°$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBO+∠ OBD=105°$.

21 [2025 青岛] 如图,在扇形 $OAB$ 中, $∠ AOB=30°,OA=2\sqrt{3}$, 点 $C$ 在 $OB$ 上, 且 $OC=AC$, 延长$CB$ 到点 $D$, 使 $CD=CA$. 以 $CA,CD$ 为邻边作$□\ ACDE$, 则图中涂色部分的面积为.

21. $3\sqrt{3}-π$ 【解析】如图,过点$A$作$AH⊥ OD$于点$H$.$\because ∠ AOB=30°$,$OA=2\sqrt{3}$,$\therefore AH=\dfrac{1}{2}OA=\sqrt{3}$.$\because OC=AC$,$\therefore ∠ OAC=∠ AOB=30°$,$\therefore ∠ ACB=30°+30°=60°$,$\therefore ∠ CAH=30°$,$\therefore AC=2CH$.设$CH=x$,则$AC=2x$.在$△ ACH$中,由勾股定理,得$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得$x=1$(负值舍去),即$CH=1$,$AC=2$,$\therefore CD=CA=OC=2$,$\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=\dfrac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\dfrac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=3\sqrt{3}-π$.

22 [2025 泸州] 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$AB=CD=10$,$\odot O$ 与梯形 $ABCD$ 的各边都相切,且$\odot O$的面积为$16π$,则点$B$到$CD$的距离为.

22. $\dfrac{64}{5}$ 【解析】如图,过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$,过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$,连接$BD$,过点$B$作$BH⊥ DC$于点$H$,则易得四边形$AEFD$为矩形,$\therefore AD=EF$.$\because \odot O$的面积为$16π$,$\therefore \odot O$的半径为4,$\therefore AE=8$.在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,同理可求$CF=6$.$\because \odot O$与梯形$ABCD$的各边都相切,$AB=CD=10$,$\therefore AD+BC=AB+CD=20$,$\therefore AD=EF=\dfrac{1}{2}×(20-6×2)=4$,$\therefore BC=6+4+6=16$.$\because S_{△ BDC}=\dfrac{1}{2}BC· AE=\dfrac{1}{2}CD· BH$,$\therefore BH=\dfrac{BC· AE}{CD}=\dfrac{16×8}{10}=\dfrac{64}{5}$.

23 分类讨论思想 [2024 江西]如图,AB 是$\odot O$的直径,$AB=2$,点 C 在线段 AB 上运动,过点 C 的弦$DE ⊥ AB$,将$\overset{\frown}{DBE}$沿 DE 翻折交直线 AB 于点 F. 当 DE 的长为正整数时,线段 FB 的长为.

23. $2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或$2$ 【解析】$\because \odot O$的直径$AB=2$,弦$DE$的长为正整数,$\therefore DE=1$或$2$.① 当$DE=1$,且$DE$在点$O$的右侧时,如图①,连接$OD$,则$OD=OB=\dfrac{1}{2}AB=1$.$\because AB$是$\odot O$的直径,$DE⊥ AB$,$\therefore DC=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ DCO$中,$OC=\sqrt{1^2-(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$.$\because DE$是折痕,$\therefore FB=2BC=2×(1-\dfrac{1}{2}\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$.② 当$DE=1$,且$DE$在点$O$的左侧时,如图②,同理可求得$OC=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$.$\because DE$是折痕,$\therefore FB=2BC=2×(1+\dfrac{1}{2}\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$.③ 当$DE=2$,如图③,$DE$是$\odot O$的直径,此时点$A$与点$F$重合,$FB=AB=2$.综上所述,线段$FB$的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或$2$.

24 如图,$\odot O$ 的半径为 3 cm,B 为$\odot O$ 外一点,OB 交$\odot O$ 于点 $A,AB=OA$,动点 P 从点 A 出发,以$π \ \mathrm{cm/s}$ 的速度在$\odot O$ 上按逆时针方向运动一周回到点 A 后停止. 当点 P 运动的时间为s时,直线 BP 与$\odot O$ 相切.

24. $1$或$5$ 【解析】连接$OP$,则$OP=3\ \mathrm{cm}$.$\because AB=OA=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore OB=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore OP=\dfrac{1}{2}OB$.当直线$BP$与$\odot O$相切时,$OP⊥ BP$.$\therefore$易得$∠ BOP=60°$.分两种情况讨论:当点$P$在$OB$的上方时,运动的时间为$\dfrac{60π×3}{180}÷π=1(\mathrm{s})$;当点$P$在$OB$的下方时,运动的时间为$\dfrac{(360-60)π×3}{180}÷π=5(\mathrm{s})$.综上所述,点$P$运动的时间为$1\ \mathrm{s}$或$5\ \mathrm{s}$.

25 如图,$\odot O$ 的半径为 1,A,P,B,C 是$\odot O$ 上的四个点,$∠ APC=∠ CPB=60°.$
(1) $△ ABC$ 的形状是.
(2) 试探究线段 $PA,PB,PC$ 之间的数量关系,并证明你的结论.
(3) 当点 $P$ 位于 $\overset{\frown}{AB}$ 的什么位置时,四边形 $APBC$ 的面积最大? 请求出最大面积.

25. (1) 等边三角形 (2) $PC=PA+PB$ 如图①,在$PC$上截取$PD=PA$,连接$AD$.$\because ∠ APC=60°$,$\therefore △ APD$是等边三角形,$\therefore AD=AP=PD$,$∠ ADP=60°$,$\therefore ∠ ADC=120°$.$\because ∠ APC=∠ CPB=60°$,$\therefore ∠ APB=∠ APC+∠ CPB=120°$,$\therefore ∠ APB=∠ ADC$.在$△ APB$和$△ ADC$中,$\begin{cases} ∠ ABP=∠ ACD, \\ ∠ APB=∠ ADC, \\ AP=AD, \end{cases}$$\therefore △ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,$\therefore PB=DC$.又$\because PD=PA$,$\therefore PC=PD+DC=PA+PB$ (3) 当$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,四边形$APBC$的面积最大 如图②,过点$P$作$PE⊥ AB$,垂足为$E$,过点$C$作$CF⊥ AB$,垂足为$F$.$\because S_{△ APB}=\dfrac{1}{2}AB· PE$,$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CF$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}APBC}=\dfrac{1}{2}AB·(PE+CF)$.当$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,$AP=BP$,$\therefore E$为$AB$的中点.$\because △ ABC$是$\odot O$的内接正三角形,$\therefore CA=CB$,$\therefore F$为$AB$的中点.又$\because ∠ AEP+∠ AFC=180°$,$\therefore$点$E$与点$F$重合,点$P$,$E$,$C$共线,$\therefore PE+CF=PC$,且$PC$为$\odot O$的直径,$\therefore$此时四边形$APBC$的面积最大.又$\because \odot O$的半径为1,$\therefore$易得其内接正三角形的边长$AB=\sqrt{3}$,$\therefore$四边形$APBC$的最大面积为$\dfrac{1}{2}×\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$