23. (14分)综合与实践:折纸中的数学.
【问题提出】
(1)李明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中,通过如下的正方形折纸方式找到了符合要求的直线.
①如图1,在纸上画出一条直线BC,在BC外取一点P.过点P折叠纸片,使得点C的对应点C'落在直线BC上(如图2),记折痕DE与BC的交点为A,将纸片展开铺平,则∠PAB=°;
②再过点P将纸片进行折叠,使得点E的对应点E'落在直线DP上(如图3),再将纸片展开铺平(如图4).此时得到PF和BC的位置关系为;
【知识初探】
(2)刘伟同学在李明同学折纸的基础上,补充了条件:如图5,在线段AP上任取一点M,连接FM,BM,请你猜想∠ABM,∠PFM与∠BMF这三个角之间的数量关系,并说明理由;
【拓展延伸】
(3)王芳同学在刘伟同学补充条件的基础上(如图5),进一步补充条件:如图6,连接CG,若$\frac{∠FGC}{∠CGN}=\frac{∠BCG}{∠GCN}=\frac{∠KFG}{∠GFM}=\frac{∠HBC}{∠CBM}$,请求出此时∠BMF的度数.

23. 【点拨】本题考查折叠的性质,平行线的判定和性质,多边形内角和定理.
【解析】(1)①由题意可知,点$C,A,C',B$共线,
$\therefore ∠ PAC+∠ PAC'=180°$.
由折叠的性质可知,$∠ PAC=∠ PAC'$,
$\therefore ∠ PAC'=90°$,即$∠ PAB=90°$. 故答案为90.
②由①,得$∠ PAB=90°$,同理可得,$∠ FPA=90°$,
$\therefore ∠ PAB+∠ FPA=180°$,$\therefore PF// BC$. 故答案为$PF// BC$.
(2)$∠ BMF=∠ ABM+∠ PFM$.
理由:如图1,过点$M$作$MN// BC$,
$\therefore ∠ ABM=∠ BMN$.
$\because PF// BC$,$\therefore PF// MN$,
$\therefore ∠ PFM=∠ FMN$,
$\therefore ∠ BMF=∠ BMN+∠ FMN=∠ ABM+∠ PFM$.

(3)由(1)②,得$PF// BC$,
$\therefore ∠ FGC+∠ BCG=180°$,
$\therefore ∠ BCG=180°-∠ FGC$.
$\because ∠ N=90°$,$\therefore ∠ CGN+∠ GCN=90°$,
$\therefore ∠ GCN=90°-∠ CGN$.
$\because \frac{∠ FGC}{∠ CGN}=\frac{∠ BCG}{∠ GCN}$,$\therefore \frac{∠ FGC}{∠ CGN}=\frac{180°-∠ FGC}{90°-∠ CGN}$,
$\therefore ∠ FGC=2∠ CGN$,$\therefore \frac{∠ FGC}{∠ CGN}=\frac{∠ BCG}{∠ GCN}=\frac{∠ KFG}{∠ GFM}=\frac{∠ HBC}{∠ CBM}=2$,
$\therefore ∠ KFG=2∠ GFM$,$∠ HBC=2∠ CBM$,
由(2),得$∠ BMF=∠ PFM+∠ ABM$,
$\therefore ∠ BMF=\frac{1}{2}(∠ KFG+∠ HBC)$.
如图2,对于五边形$FQBAP$,由多边形内角和公式可得五边形$FQBAP$的内角和为$(5-2)×180°=540°$.
$\because PD⊥ PF,PD⊥ BC$,
$\therefore ∠ PAB=∠ FPA=90°$,
$\because ∠ Q=90°$,
$\therefore ∠ PFQ+∠ ABQ=540°-3×90°=270°$.
$\because ∠ KFG=180°-∠ PFQ$,$∠ HBC=180°-∠ ABQ$,
$\therefore ∠ KFG+∠ HBC=360°-(∠ PFQ+∠ ABQ)=90°$,
$\therefore ∠ BMF=\frac{1}{2}(∠ KFG+∠ HBC)=\frac{1}{2}×90°=45°$,
故$∠ BMF$的度数为$45°$.