【典例1】根据下列条件，求$m$的值.
(1)关于$x$的方程$x-2m=3x+4$与方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$的解互为相反数；
(2)关于$x$的一元一次方程$4x+2m=3x+1$和$3x+2m=6x+1$的解相同.
[答案]解:(1)解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$,得$x=-1$.
因为两个方程的解互为相反数,所以关于$x$的方程$x-2m=3x+4$的解为$x=1$.
把$x=1$代入方程$x-2m=3x+4$,得$1-2m=3+4$,解得$m=-3$.
(2)解方程$4x+2m=3x+1$,得$x=1-2m$.解方程$3x+2m=6x+1$,得$x=\frac{2m-1}{3}$.
因为两个方程的解相同,所以$1-2m=\frac{2m-1}{3}$,解得$m=\frac{1}{2}$.

解：
(1) 解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$，
去分母得：$3(x+1)-2(2x-1)=6$，
去括号得：$3x+3-4x+2=6$，
移项合并同类项得：$-x=1$，
解得$x=-1$。
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$x-2m=3x+4$的解为$x=1$。
把$x=1$代入方程$x-2m=3x+4$，得$1-2m=3+4$，
解得$m=-3$。
(2) 解方程$4x+2m=3x+1$，
移项得：$x=1-2m$。
解方程$3x+2m=6x+1$，
移项合并同类项得：$-3x=1-2m$，
解得$x=\frac{2m-1}{3}$。
因为两个方程的解相同，所以$1-2m=\frac{2m-1}{3}$，
去分母得：$3-6m=2m-1$，
移项合并同类项得：$-8m=-4$，
解得$m=\frac{1}{2}$。

【分析】
这道题分为两小问，均是结合一元一次方程解的关系求待定字母m的值，解题思路清晰：
（1）先求解不含参数m的方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$得到它的解，再根据“两方程解互为相反数”的条件，得出含m的方程$x-2m=3x+4$的解，最后将该解代入含m的方程，即可得到只含m的一元一次方程，求解得到m；
（2）先分别将两个含m的一元一次方程的解用含m的代数式表示出来，再根据“两方程解相同”的条件，让两个代数式相等，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$，
去分母得：$3(x+1)-2(2x-1)=6$，
去括号得：$3x+3-4x+2=6$，
移项合并同类项得：$-x=1$，
解得$x=-1$。
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$x-2m=3x+4$的解为$x=1$。
把$x=1$代入方程$x-2m=3x+4$，得$1-2m=3+4$，
解得$m=-3$。
(2) 解方程$4x+2m=3x+1$，
移项得：$x=1-2m$。
解方程$3x+2m=6x+1$，
移项合并同类项得：$-3x=1-2m$，
解得$x=\frac{2m-1}{3}$。
因为两个方程的解相同，所以$1-2m=\frac{2m-1}{3}$，
去分母得：$3-6m=2m-1$，
移项合并同类项得：$-8m=-4$，
解得$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-3}$；(2) $\boldsymbol{m=\frac{1}{2}}$
【知识点】
一元一次方程求解、方程的解的应用、相反数的性质
【点评】
本题是利用一元一次方程解的性质求待定参数的典型基础题，重点考查一元一次方程的基础解法，以及对“解互为相反数”“解相同”这类条件的转化应用，解题时要注意去分母、移项变号等易错点，确保计算准确。
【难度系数】
0.7

【变式1】若关于x的一元一次方程−2m−3x=1和方程5x−4=2x−10的解互为倒数，求m的值。

解:解方程5x−4=2x−10,得x=−2.
因为这两个方程的解互为倒数,所以方程−2m−3x=1的解为x=−1/2.
将x=−1/2代入方程−2m−3x=1,得−2m+3/2=1,解得m=1/4.

【分析】
解题思路如下：第一步，先求解不含未知参数的方程5x−4=2x−10，得到它的解；第二步，根据“两个方程的解互为倒数”的条件，利用倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），算出方程−2m−3x=1的解；第三步，将算出的解代入含参数m的方程中，得到只含有m的一元一次方程，求解这个方程就能得到m的值。
【解析】
1. 解方程$5x-4=2x-10$：
移项（移项要变号），将含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得$5x-2x=-10+4$
合并同类项，得$3x=-6$
系数化为1，两边同时除以3，得$x=-2$
2. 因为两个方程的解互为倒数，互为倒数的两个数乘积为1，所以方程$-2m-3x=1$的解为$1÷(-2)=-\frac{1}{2}$
3. 将$x=-\frac{1}{2}$代入方程$-2m-3x=1$中：
得$-2m - 3×(-\frac{1}{2})=1$
计算得：$-2m+\frac{3}{2}=1$
移项得：$-2m=1-\frac{3}{2}$
计算右边得：$-2m=-\frac{1}{2}$
系数化为1，两边同时除以$-2$，得$m=\frac{1}{4}$
【答案】
$m=\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 倒数的概念
3. 方程解的应用
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础常考题，核心是利用已知条件找到含参方程的解，再代入求参数，解题过程需要熟练掌握一元一次方程的移项、合并同类项等求解步骤，同时牢记倒数的定义即可轻松解决。
【难度系数】
0.7

【典例2】在解关于$x$的一元一次方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x+m}{6}-1$时，小明在去分母的过程中，由于忘记将方程右边的“－1”乘6，因此求出方程的解为$x=-\frac{3}{2}$。请你回答下列问题。
(1)求$m$的值；
(2)写出正确的求解过程。
[答案]解:(1)由题意可知,小明去分母得到的方程为$4x-2=2x+m-1$,
所以把$x=-\frac{3}{2}$代入方程$4x-2=2x+m-1$,得$-6-2=-3+m-1$,解得$m=-4$.
(2)把$m=-4$代入方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x+m}{6}-1$,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x-4}{6}-1$.去分母,得$4x-2=2x-4-6$.
移项,得$4x-2x=-4-6+2$.合并同类项,得$2x=-8$,解得$x=-4$.

解：(1) 由题意可知，小明去分母得到的方程为$4x - 2 = 2x + m - 1$，
把$x=-\frac{3}{2}$代入方程$4x - 2 = 2x + m - 1$，得
$-6 - 2 = -3 + m - 1$，
解得$m=-4$。
(2) 把$m=-4$代入原方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x+m}{6}-1$，得
$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x-4}{6}-1$，
去分母，得$4x - 2 = 2x - 4 - 6$，
移项，得$4x - 2x = -4 - 6 + 2$，
合并同类项，得$2x = -8$，
解得$x=-4$。

【分析】
(1) 首先根据小明的错误操作还原他计算时使用的错误方程：去分母时仅给等号左右两边的分式项乘6，忘记给右边的“-1”乘6，因此得到错误方程$4x-2=2x+m-1$。已知$x=-\frac{3}{2}$是这个错误方程的解，把解代入错误方程，就能求出m的值。
(2) 把算出的m代入原一元一次方程，按照“去分母（所有项都乘公分母6）、移项、合并同类项、系数化为1”的正确步骤求解，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 由题意可得，小明去分母得到的错误方程为：
$4x - 2 = 2x + m - 1$
把$x=-\frac{3}{2}$代入上述错误方程：
$4×(-\frac{3}{2}) - 2 = 2×(-\frac{3}{2}) + m - 1$
计算得：$-6 - 2 = -3 + m - 1$
整理得：$-8 = m - 4$，解得$m=-4$。
(2) 把$m=-4$代入原方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x+m}{6}-1$，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{2x-4}{6}-1$
去分母，方程两边所有项同时乘6：
$4x - 2 = 2x - 4 - 6$
移项（移项要变号）：
$4x - 2x = -4 - 6 + 2$
合并同类项：
$2x = -8$
系数化为1，两边同时除以2：
$x = -4$
【答案】
(1) $m=-4$；(2) 原方程的正确解为$x=-4$
【知识点】
方程的解；解一元一次方程；含参方程求参数
【点评】
本题是一元一次方程的常考题型，既考查了解方程时去分母的运算规则（需注意不能漏乘常数项），也考查了利用方程的解求未知参数的方法，能有效帮助学生规避解方程的常见易错点。
【难度系数】
0.7