1. 若一元二次方程 $ ax^{2}+b = 0(a\neq0) $ 有解,则必须有 ( )

A.$ b = 0 $
B.$ a $,$ b $ 同号
C.$ b = 0 $ 或 $ a $,$ b $ 异号
D.$ a $,$ b $ 异号

C

对于一元二次方程 $ax^{2}+b = 0(a\neq0)$，移项得 $ax^{2}=-b$，两边同时除以 $a$（$a\neq0$），得 $x^{2}=-\dfrac{b}{a}$。
因为一个数的平方是非负数，所以方程有解时，必须满足 $x^{2}=-\dfrac{b}{a}\geq0$，即 $-\dfrac{b}{a}\geq0$，也就是 $\dfrac{b}{a}\leq0$。
当 $\dfrac{b}{a}=0$ 时，$b = 0$；当 $\dfrac{b}{a}＜0$ 时，$a$，$b$ 异号。
综上，方程有解的条件是 $b = 0$ 或 $a$，$b$ 异号。
C

2. 方程 $ x^{2}-9 = 0 $ 的根是______。

x₁=3, x₂=-3

$x_{1}=3$，$x_{2}=-3$

3. 在 $ (1 + x)^{2}= 4 $ 中,$ 1 + x $ 是______的平方根,而 $ 4 $ 的平方根有______个,分别是______和______,所以 $ 1 + x = $______,则 $ x = $______或______。

4; 2; 2; -2; ±2; 1; -3

4. 若 $ (2x + 3)^{2}= 16 $,则 $ 2x + 3 = $______,得 $ x = $______或______。

±4; $\frac{1}{2}$; $-\frac{7}{2}$

问题 解下列方程：
(1) $ x^{2}-4x + 4 = 5 $；
(2) $ 4(3x - 1)^{2}-9(3x + 1)^{2}= 0 $。
名师指导
第(1)题先将方程左边化为含有未知数的完全平方式,右边化为非负数的形式,然后用直接开平方的方法求解。第(2)题中可以把 $ \pm3(3x + 1) $ 看成 $ 4(3x - 1)^{2} $ 的平方根。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
]

(1)
解：
由 $x^{2} - 4x + 4 = 5$，
完全平方得 $(x - 2)^{2} = 5$，
开方得 $x - 2 = \pm \sqrt{5}$，
解得 $x_{1} = 2 + \sqrt{5}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{5}$。
(2)
解：
由 $4(3x - 1)^{2} - 9(3x + 1)^{2} = 0$，
移项得 $4(3x - 1)^{2} = 9(3x + 1)^{2}$，
开方得 $2(3x - 1) = \pm 3(3x + 1)$，
分两种情况：
当 $2(3x - 1) = 3(3x + 1)$ 时，
解得 $x = -\frac{5}{3}$；
当 $2(3x - 1) = -3(3x + 1)$ 时，
解得 $x = -\frac{1}{15}$。
所以 $x_{1} = -\frac{5}{3}$，$x_{2} = -\frac{1}{15}$。

1. 把方程 $ x^{2}-10x = -3 $ 左边化成含有 $ x $ 的完全平方式,其中正确的是 ( )

A.$ x^{2}-10x + (-5)^{2}= 28 $
B.$ x^{2}-10x + (-5)^{2}= 22 $
C.$ x^{2}+10x + 5^{2}= 22 $
D.$ x^{2}-10x + 5 = 2 $

B

方程$x^{2}-10x=-3$，配方得$x^{2}-10x+(-5)^{2}=-3+(-5)^{2}$，即$x^{2}-10x+(-5)^{2}=22$。
B

2. 用 $ 10m $ 长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为 $ 6m^{2} $。若设它的一条边长为 $ xm $,则根据题意,可列出关于 $ x $ 的方程为 ( )

A.$ x(5 + x)= 6 $
B.$ x(5 - x)= 6 $
C.$ x(10 - x)= 6 $
D.$ x(10 - 2x)= 6 $

B

设矩形窗框的一条边长为 $ x \, m $，因为铝材总长为 $ 10 \, m $，矩形周长为 $ 2 × (长 + 宽) $，所以与这条边相邻的边长为 $ \frac{10 - 2x}{2} = (5 - x) \, m $。根据矩形面积公式，面积为 $ x(5 - x) \, m^2 $，已知面积为 $ 6 \, m^2 $，则方程为 $ x(5 - x) = 6 $。
B