问题 关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$. 求证：无论 $k$ 为何值,方程总有实数根.
名师指导
已知条件并没有明确指出此整式方程是几次方程,也未说明有几个实数根,因而必须分两种情况进行讨论. 该方程是一元一次方程或是一元二次方程,即 $k = 1$ 或 $k\neq1$.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

当 $k = 1$ 时：
原方程变为 $2x + 2 = 0$，
解得 $x = -1$，
此时方程有一个实数根。
当 $k \neq 1$ 时：
原方程为一元二次方程 $(k - 1)x^{2} + 2kx + 2 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = (2k)^{2} - 4(k - 1) × 2$
$= 4k^{2} - 8k + 8$
$= 4(k - 1)^{2} + 4$
由于 $(k - 1)^{2} \geq 0$，
所以 $\Delta = 4(k - 1)^{2} + 4 ＞ 0$，
因此，当 $k \neq 1$ 时，方程有两个不相等的实数根。
综上，无论 $k$ 为何值，方程总有实数根。

1. 下列一元二次方程没有实数根的是( )

A.$x^{2}+2x + 1 = 0$
B.$x^{2}+x + 2 = 0$
C.$x^{2}-1 = 0$
D.$x^{2}-2x - 1 = 0$

B

对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，根的判别式为$\Delta=b^{2}-4ac$。当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
A选项：$x^{2}+2x + 1 = 0$，$a = 1$，$b=2$，$c = 1$，$\Delta=2^{2}-4×1×1=4 - 4=0$，方程有两个相等的实数根。
B选项：$x^{2}+x + 2 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = 2$，$\Delta=1^{2}-4×1×2=1 - 8=-7＜0$，方程没有实数根。
C选项：$x^{2}-1 = 0$，$a = 1$，$b = 0$，$c=-1$，$\Delta=0^{2}-4×1×(-1)=0 + 4=4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
D选项：$x^{2}-2x - 1 = 0$，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根。
B

2. 若一元二次方程 $mx^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是( )

A.$m\lt1$
B.$m\lt1$ 且 $m\neq0$
C.$m\leqslant1$ 且 $m\neq0$
D.$m\gt1$

B

因为一元二次方程$mx^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 × m × 1 ＞ 0$且$m \neq 0$。
计算判别式：$\Delta = 4 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 1$且$m \neq 0$。
B

3. 对于实数 $a$,$b$ 定义运算“☆”如下：$a☆b = ab^{2}-ab$. 例如：$3☆2 = 3×2^{2}-3×2 = 6$,则方程 $1☆x = 2$ 的根的情况为( )

A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

D

由题意得，$1☆x=1× x^{2}-1× x=x^{2}-x$。
因为$1☆x=2$，所以$x^{2}-x=2$，即$x^{2}-x - 2=0$。
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8=9＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
D

4. 不解方程,判别下列方程的根的情况：
(1) $2x^{2}-4x - 3 = 0$；
(2) $2x^{2}+1 = -2\sqrt{2}x$；
(3) $4x^{2}-5x+\sqrt{3} = 0$；
(4) $x^{2}+2ax + a^{2}-1 = 0$($a$ 为任意实数).

（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（4）有两个不相等的实数根.

(1)在方程$2x^{2}-4x - 3 = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c=-3$，$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-3)=16 + 24=40$，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
(2)方程整理得$2x^{2}+2\sqrt{2}x + 1 = 0$，$a = 2$，$b=2\sqrt{2}$，$c = 1$，$\Delta=(2\sqrt{2})^{2}-4×2×1=8 - 8=0$，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
(3)在方程$4x^{2}-5x+\sqrt{3}=0$中，$a = 4$，$b=-5$，$c=\sqrt{3}$，$\Delta=(-5)^{2}-4×4×\sqrt{3}=25-16\sqrt{3}$，因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$16\sqrt{3}\approx27.712$，$25-27.712\approx-2.712＜0$，$\Delta＜0$，方程没有实数根；
(4)在方程$x^{2}+2ax + a^{2}-1=0$中，$a = 1$，$b=2a$，$c=a^{2}-1$，$\Delta=(2a)^{2}-4×1×(a^{2}-1)=4a^{2}-4a^{2}+4=4$，$\Delta=4＞0$，方程有两个不相等的实数根.