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9. 已知方程组 $\begin{cases}x + 2y = k \\ 2x + y = 1\end{cases} $ 的解满足 $x + y = 3$,求 $k$ 的值。
答案
由方程组
$\begin{cases}x + 2y = k, (1) \\2x + y = 1. (2)\end{cases}$
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$3x + 3y = k + 1$，
从上式，可以得到：
$x + y = \frac{k + 1}{3}$，
根据题意，有：
$x + y = 3$，
将上述两式结合，得：
$\frac{k + 1}{3} = 3$，
解这个方程，得到：
$k = 8$。
$\begin{cases}x + 2y = k, (1) \\2x + y = 1. (2)\end{cases}$
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$3x + 3y = k + 1$，
从上式，可以得到：
$x + y = \frac{k + 1}{3}$，
根据题意，有：
$x + y = 3$，
将上述两式结合，得：
$\frac{k + 1}{3} = 3$，
解这个方程，得到：
$k = 8$。
10. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 5 - m \\ x - 2y = m + 1\end{cases} $,则 $4x^2 - 4xy + y^2$ 的值为
36
。答案
$36$
解析
首先，有方程组$\begin{cases}x + y = 5 - m, \quad (1) \\x - 2y = m + 1. \quad (2)\end{cases}$
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$2x - y = 6$，
接下来，考虑表达式$4x^2 - 4xy + y^2$，
这个表达式可以写成$(2x - y)^2$的形式，
即$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$，
由于已经得出$2x - y = 6$，
所以可以直接代入这个值，得到：
$(2x - y)^2 = 6^2 = 36$。
故答案为$36$。
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$2x - y = 6$，
接下来，考虑表达式$4x^2 - 4xy + y^2$，
这个表达式可以写成$(2x - y)^2$的形式，
即$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$，
由于已经得出$2x - y = 6$，
所以可以直接代入这个值，得到：
$(2x - y)^2 = 6^2 = 36$。
故答案为$36$。
11. 方程组 $\begin{cases}x + 2y = 10 \\ ax + by = 1\end{cases} $ 与 $\begin{cases}2x - y = 5 \\ bx + ay = 6\end{cases} $ 有相同的解,则 $a = $
-2
,$b = $3
。答案
$a = -2$，$b = 3$
解析
先求两个方程组相同的解，即解联立方程$\begin{cases}x + 2y = 10, \\2x - y = 5.\end{cases}$
将第二个方程变形为 $y = 2x - 5$，代入第一个方程，得：
$x + 2(2x - 5) = 10$，
$x + 4x - 10 = 10$，
$5x = 20$，
$x = 4$，
代入 $y = 2x - 5$，得：
$y = 2×4 - 5 = 3$，
所以相同的解为$\begin{cases}x = 4, \\y = 3.\end{cases}$
代入含 $a$，$b$ 的方程，得新方程组：
$\begin{cases}4a + 3b = 1, \\4b + 3a = 6.\end{cases}$
消元求解，由 $4a + 3b = 1$ 可得 $3b=1-4a$，即$b=\frac{1-4a}{3}$，
代入$4b + 3a = 6$，得：
$4×\frac{1-4a}{3} + 3a = 6$，
$4-16a + 9a = 18$，
$-7a = 14$，
$a = -2$，
代入 $b=\frac{1-4a}{3}$，得：
$b=\frac{1-4×(-2)}{3}=\frac{9}{3}=3$，
所以$a$，$b$ 的值为$a = -2$，$b = 3$。
将第二个方程变形为 $y = 2x - 5$，代入第一个方程，得：
$x + 2(2x - 5) = 10$，
$x + 4x - 10 = 10$，
$5x = 20$，
$x = 4$，
代入 $y = 2x - 5$，得：
$y = 2×4 - 5 = 3$，
所以相同的解为$\begin{cases}x = 4, \\y = 3.\end{cases}$
代入含 $a$，$b$ 的方程，得新方程组：
$\begin{cases}4a + 3b = 1, \\4b + 3a = 6.\end{cases}$
消元求解，由 $4a + 3b = 1$ 可得 $3b=1-4a$，即$b=\frac{1-4a}{3}$，
代入$4b + 3a = 6$，得：
$4×\frac{1-4a}{3} + 3a = 6$，
$4-16a + 9a = 18$，
$-7a = 14$，
$a = -2$，
代入 $b=\frac{1-4a}{3}$，得：
$b=\frac{1-4×(-2)}{3}=\frac{9}{3}=3$，
所以$a$，$b$ 的值为$a = -2$，$b = 3$。
12. 用加减消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}x + 4y = 14 \\ \dfrac{x - 3}{4} - \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{1}{12}\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}3(x + y) + 2(x - y) = 10 \\ \dfrac{x + y}{4} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{7}{2}\end{cases} $。
(1) $\begin{cases}x + 4y = 14 \\ \dfrac{x - 3}{4} - \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{1}{12}\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}3(x + y) + 2(x - y) = 10 \\ \dfrac{x + y}{4} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{7}{2}\end{cases} $。
答案
(1)
$\begin{cases}x + 4y = 14 \quad (1) \\\dfrac{x - 3}{4} - \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{1}{12} \quad (2)\end{cases}$
方程(2)两边同乘12去分母：$3(x - 3) - 4(y - 3) = 1$
展开化简：$3x - 9 - 4y + 12 = 1$，即$3x - 4y = -2$ (3)
联立(1)和(3)：
$\begin{cases}x + 4y = 14 \quad (1) \\3x - 4y = -2 \quad (3)\end{cases}$
(1)+(3)：$4x = 12$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入(1)：$3 + 4y = 14$，解得$y = \dfrac{11}{4}$
解： $\begin{cases} x = 3 \\ y = \dfrac{11}{4} \end{cases}$
(2)
$\begin{cases}3(x + y) + 2(x - y) = 10 \quad (1) \\\dfrac{x + y}{4} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{7}{2} \quad (2)\end{cases}$
方程(1)展开化简：$3x + 3y + 2x - 2y = 10$，即$5x + y = 10$ (3)
方程(2)两边同乘4去分母：$(x + y) + 2(x - y) = 14$，即$3x - y = 14$ (4)
联立(3)和(4)：
$\begin{cases}5x + y = 10 \quad (3) \\3x - y = 14 \quad (4)\end{cases}$
(3)+(4)：$8x = 24$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入(3)：$5×3 + y = 10$，解得$y = -5$
解： $\begin{cases} x = 3 \\ y = -5 \end{cases}$
$\begin{cases}x + 4y = 14 \quad (1) \\\dfrac{x - 3}{4} - \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{1}{12} \quad (2)\end{cases}$
方程(2)两边同乘12去分母：$3(x - 3) - 4(y - 3) = 1$
展开化简：$3x - 9 - 4y + 12 = 1$，即$3x - 4y = -2$ (3)
联立(1)和(3)：
$\begin{cases}x + 4y = 14 \quad (1) \\3x - 4y = -2 \quad (3)\end{cases}$
(1)+(3)：$4x = 12$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入(1)：$3 + 4y = 14$，解得$y = \dfrac{11}{4}$
解： $\begin{cases} x = 3 \\ y = \dfrac{11}{4} \end{cases}$
(2)
$\begin{cases}3(x + y) + 2(x - y) = 10 \quad (1) \\\dfrac{x + y}{4} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{7}{2} \quad (2)\end{cases}$
方程(1)展开化简：$3x + 3y + 2x - 2y = 10$，即$5x + y = 10$ (3)
方程(2)两边同乘4去分母：$(x + y) + 2(x - y) = 14$，即$3x - y = 14$ (4)
联立(3)和(4)：
$\begin{cases}5x + y = 10 \quad (3) \\3x - y = 14 \quad (4)\end{cases}$
(3)+(4)：$8x = 24$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入(3)：$5×3 + y = 10$，解得$y = -5$
解： $\begin{cases} x = 3 \\ y = -5 \end{cases}$
