1. 已知点 $ P $ 在第三象限内,如果点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离是 $ 6 $,到 $ y $ 轴的距离是 $ 2 $,那么点 $ P $ 的坐标为()
A.$ (-6,2) $
B.$ (-2,-6) $
C.$ (-2,6) $
D.$ (2,-6) $

B

1. 点 $ P $ 在第三象限，因此其横坐标和纵坐标均为负数。
2. 点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 6 $，即 $ |y| = 6 $，所以 $ y = -6 $（第三象限）。
3. 点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 2 $，即 $ |x| = 2 $，所以 $ x = -2 $（第三象限）。
4. 因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, -6) $。

2. 在平面直角坐标系中,点 $ P(3,4) $ 到原点的距离是()
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ \pm 5 $

C

点 $P(3,4)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离可通过距离公式计算：
距离 $= \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

3. 已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,-2) $,点 $ B $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,当 $ A,B $ 两点间的距离最短时,点 $ B $ 的坐标为()
A.$ (0,-2) $
B.$ (-2,0) $
C.$ (0,-3) $
D.$ (-3,0) $

D

根据点 $ A(-3, -2)$ 和点 $ B$ 在 $ x$ 轴上的条件，设点 $ B$ 的坐标为 $ (x, 0)$。
使用两点间距离公式，$ AB = \sqrt{(x + 3)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 4}$。
要使 $ AB$ 最短，需要最小化 $ (x + 3)^2 + 4$，即最小化 $ (x + 3)^2$。
显然，当 $ x = -3$ 时，$ (x + 3)^2$ 达到最小值 0。
因此，当 $ x = -3$ 时，$ AB$ 最短，此时点 $ B$ 的坐标为 $ (-3, 0)$。

4. 若点 $ A(m - 3,m + 1) $ 在第二、四象限的角平分线上,则点 $ A $ 的坐标为()
A.$ (-1,1) $
B.$ (-2,-2) $
C.$ (-2,2) $
D.$ (2,2) $

C

在平面直角坐标系中，第二、四象限角平分线的方程为 $ y = -x $。
点 $ A(m - 3, m + 1) $ 在该直线上，因此满足：
$m + 1 = -(m - 3)$
解这个方程：
$m + 1 = -m + 3$
$2m = 2$
$m = 1$
将 $ m = 1 $ 代入点 $ A $ 的坐标表达式：
$A(1 - 3, 1 + 1) = A(-2, 2)$
所以点 $ A $ 的坐标为 $ (-2, 2) $。

5. 点 $ A(-6,8) $ 到 $ x $ 轴的距离为,到 $ y $ 轴的距离为,到原点的距离为.

$8$，$6$，$10$

点 $A(-6,8)$ 的纵坐标为 8，所以到 $x$ 轴的距离为 $|8| = 8$。
点 $A(-6,8)$ 的横坐标为 -6，所以到 $y$ 轴的距离为 $|-6| = 6$。
点 $A(-6,8)$ 到原点的距离利用勾股定理计算，即 $\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。

6. 点 $ P $ 的横坐标是 $ -3 $,且到 $ x $ 轴的距离为 $ 5 $,则点 $ P $ 的坐标是.

(-3,5)或(-3,-5)

∵点P的横坐标是-3，∴设点P的坐标是(-3,y)。
∵点P到x轴的距离为5，∴|y|=5，解得y=5或y=-5。
∴点P的坐标是(-3,5)或(-3,-5)。

7. 如图,在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上分别截取 $ OA,OB $,使 $ OA = OB $,再分别以点 $ A,B $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AB $ 长为半径画弧,两弧在第一象限内交于点 $ P $.若点 $ P $ 的坐标为 $ (a,2a - 3) $,则 $ a $ 的值为.

3

由题意，以OA=OB，A在x轴，B在y轴，设OA=OB=m，则A(m,0)，B(0,m)。分别以A、B为圆心画弧交于P，P为AB垂直平分线上的点。
∵OA=OB，△OAB为等腰直角三角形，AB的垂直平分线为第一象限角平分线y=x。
点P(a,2a-3)在该直线上，∴a=2a-3，解得a=3。

8. 已知点 $ P(2a - 2,a + 5) $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2025} + \sqrt[3]{a} $ 的值.

$-2$

因为点$ P(2a - 2,a + 5) $在第二象限，所以横坐标小于$ 0 $，纵坐标大于$ 0 $，即$\begin{cases}2a - 2 ＜ 0 \\ a + 5 ＞ 0\end{cases}$。
又因为点$ P $到$ x $轴、$ y $轴的距离相等，点到$ x $轴距离为$|a + 5|$，到$ y $轴距离为$|2a - 2|$，且第二象限内横坐标为负、纵坐标为正，所以$|2a - 2| = |a + 5|$可化为$-(2a - 2) = a + 5$。
解方程$-(2a - 2) = a + 5$：
$\begin{aligned}-2a + 2 &= a + 5 \\-2a - a &= 5 - 2 \\-3a &= 3 \\a &= -1\end{aligned}$
检验：当$ a = -1 $时，横坐标$ 2a - 2 = 2×(-1) - 2 = -4 ＜ 0 $，纵坐标$ a + 5 = -1 + 5 = 4 ＞ 0 $，符合第二象限条件。
计算$ a^{2025} + \sqrt[3]{a} $：$ a = -1 $，则$(-1)^{2025} + \sqrt[3]{-1} = -1 + (-1) = -2$。

9. 已知点 $ A(-2,0),B(4,0),C(-2,-3) $.
(1) 求 $ A,B $ 两点之间的距离;
(2) 求点 $ C $ 到 $ x $ 轴的距离;
(3) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

(1) ∵A(-2,0)，B(4,0)，
∴AB=|4 - (-2)|=6.
(2) ∵C(-2,-3)，
∴点C到x轴的距离为|-3|=3.
(3) ∵A(-2,0)，B(4,0)，C(-2,-3)，
∴AB=6，点C到AB的距离为3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×3=9.

10. 在平面直角坐标系中,有点 $ A(1,2a + 1),B(-a,a - 3) $.
(1) 当点 $ A $ 在第一象限的角平分线上时,求 $ a $ 的值;
(2) 当点 $ B $ 到 $ x $ 轴的距离是到 $ y $ 轴距离的 $ 2 $ 倍时,求点 $ B $ 所在的象限;
(3) 若线段 $ AB // x $ 轴,求 $ \triangle AOB $ 的面积.

(1) 0；(2) 第三象限或第四象限；(3) 21/2。

(1) 因为点A在第一象限的角平分线上，所以横纵坐标相等，即1=2a+1，解得2a=0，a=0。
(2) 点B到x轴距离为|a-3|，到y轴距离为|-a|=|a|，由题意得|a-3|=2|a|。
① 当a≥3时，a-3=2a，解得a=-3（舍去）；
② 当0≤a＜3时，3-a=2a，解得a=1，此时B(-1,-2)，在第三象限；
③ 当a＜0时，3-a=-2a，解得a=-3，此时B(3,-6)，在第四象限。
综上，点B在第三象限或第四象限。
(3) 因为AB//x轴，所以A、B纵坐标相等，即2a+1=a-3，解得a=-4。
则A(1,-7)，B(4,-7)，AB=|4-1|=3。
原点O到AB的距离为|-7|=7，
△AOB面积=3×7÷2=21/2。