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1. 在直角三角形中,若勾为 9,股为 12,则弦为 (
A.9
B.12
C.15
D.21
C
)A.9
B.12
C.15
D.21
答案
C
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，弦（斜边）的平方等于勾和股的平方和。
即 $弦 = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
即 $弦 = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
2. 如图,为了测得湖两岸 A,B 两点之间的距离,一个观测者在点 C 设桩,使∠ABC = 90°,并测得 AC = 20 米,BC = 16 米,则点 A,B 之间的距离为 (
A.12 米
B.13 米
C.15 米
D.25 米
A
)A.12 米
B.13 米
C.15 米
D.25 米
答案
A
解析
由题可知，在$Rt\bigtriangleup ABC$中$\angle ABC=90°$，$AC=20$米，$BC=16$米。
根据勾股定理，得$AC^2=AB^2+BC^2$，
所以$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{20^2 - 16^2}=\sqrt{400 - 256}=\sqrt{144}=12$（米）
根据勾股定理，得$AC^2=AB^2+BC^2$，
所以$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{20^2 - 16^2}=\sqrt{400 - 256}=\sqrt{144}=12$（米）
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一. 下列选项中,不能证明勾股定理的是 (
D
)答案
D
解析
选项A，利用三角形面积和两个小直角三角形面积来证明，大三角形面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)÷2$相关的两种面积表达相等可以推导出勾股定理；
选项B，大正方形边长为$a + b$，利用大正方形面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积，
即$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$，化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
选项C，大正方形面积为$c^{2}$，也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$，展开化简能得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
选项D，仅是图形分割，通过面积的不同计算方式无法推导出勾股定理。
选项B，大正方形边长为$a + b$，利用大正方形面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积，
即$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$，化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
选项C，大正方形面积为$c^{2}$，也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$，展开化简能得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
选项D，仅是图形分割，通过面积的不同计算方式无法推导出勾股定理。
4. 已知一个直角三角形的两边长分别为 4 和 3,则它的斜边长为
5或4
.答案
5或4
解析
当4和3为直角边时，斜边长为$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$；当4为斜边，3为直角边时，斜边长为4。综上，斜边长为5或4。
5. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺. 问折高者几何? 意思是:一根竹子,原高 1 丈(1 丈 = 10 尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部 6 尺远,问折断处离地面的高度是多少? 设折断处离地面的高度为 x 尺,则可列方程为
$ x^2 + 6^2 = (10 - x)^2 $
.答案
$ x^2 + 6^2 = (10 - x)^2 $
解析
设折断处离地面的高度为 $ x $ 尺，则折断部分的长度为 $ (10 - x) $ 尺。根据勾股定理，折断处离地面高度、抵地处离底部距离与折断部分构成直角三角形，可得方程 $ x^2 + 6^2 = (10 - x)^2 $。
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 12,边 BC 上的中线 AD 长为 13,求边 BC 的长.
答案
在$Rt \bigtriangleup ADC$中，
根据勾股定理，$AC^{2} + DC^{2} = AD^{2}$，
已知$AC = 12$，$AD = 13$，
则$DC = \sqrt{AD^{2} - AC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$，
因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$BC = 2DC = 2 × 5 = 10$。
故答案为：$10$。
根据勾股定理，$AC^{2} + DC^{2} = AD^{2}$，
已知$AC = 12$，$AD = 13$，
则$DC = \sqrt{AD^{2} - AC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$，
因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$BC = 2DC = 2 × 5 = 10$。
故答案为：$10$。
7. 如图是中国最早的一部数学著作——《周髀》中记载的赵爽弦图,是由四个全等的直角三角形拼成的图形. 我国古代数学家用它来证明勾股定理,请根据该图提供的信息证明勾股定理.
答案
设大正方形的边长为$c$，四个全等的直角三角形的两条直角边分别为$a$和$b$，且$c$为斜边。
大正方形的面积为$c^{2}$。
中间小正方形的边长为$(b - a)$，所以小正方形的面积为$(b - a)^{2}$。
四个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$。
因为大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即$c^{2}=2ab+(b - a)^{2}$。
将$(b - a)^{2}$展开得$b^{2}-2ab + a^{2}$，代入上式可得：
$c^{2}=2ab + b^{2}-2ab + a^{2}$。
化简得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
综上，证明了勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
大正方形的面积为$c^{2}$。
中间小正方形的边长为$(b - a)$，所以小正方形的面积为$(b - a)^{2}$。
四个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$。
因为大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即$c^{2}=2ab+(b - a)^{2}$。
将$(b - a)^{2}$展开得$b^{2}-2ab + a^{2}$，代入上式可得：
$c^{2}=2ab + b^{2}-2ab + a^{2}$。
化简得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
综上，证明了勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
