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1. 「2025 山东临沂平邑期中」已知$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax + by = 6$的解，则代数式$4a + 6b - 5$的值是( )
A.13
B.11
C.7
D.9
A.13
B.11
C.7
D.9
答案
1. C 把$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3\end{array} $代入$ax+by=6$，得$2a+3b=6$，
所以$4a+6b-5=2(2a+3b)-5=2×6-5=7$。故选 C。
所以$4a+6b-5=2(2a+3b)-5=2×6-5=7$。故选 C。
2. 「2025 四川巴中平昌期中」已知$\begin{cases}x = 2, \\ y = 4\end{cases}$是关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}4x + ay = 7b, \\ ax - by = - 6\end{cases}$的解.
(1) 求$a$，$b$的值.
(2) 求$2ab - a$的值.
(1) 求$a$，$b$的值.
(2) 求$2ab - a$的值.
答案
2. 解析 （1）$\because \{\begin{array}{l} x=2,\\ y=4\end{array} $是关于 x，y 的方程组$\{\begin{array}{l} 4x+ay=7b,\\ ax-by=-6\end{array} $的解，$\therefore \{\begin{array}{l} 8+4a=7b,\\ 2a-4b=-6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=4.\end{array} $
（2）由（1）知$a=5$，$b=4$，$\therefore 2ab-a=2×5×4-5=35$。
解题策略 直接将方程（组）的解代入方程（组）中，得到以参数为未知数的新方程（组），解新方程（组）得参数的值或将新方程变形后利用整体代入求相关式子的值。
（2）由（1）知$a=5$，$b=4$，$\therefore 2ab-a=2×5×4-5=35$。
解题策略 直接将方程（组）的解代入方程（组）中，得到以参数为未知数的新方程（组），解新方程（组）得参数的值或将新方程变形后利用整体代入求相关式子的值。
3. 「2025 江西宜春期中」已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}ax + y = 5①, \\ 4x - by = 7②,\end{cases}$甲由于看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 5,\end{cases}$乙由于看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = - 1, \\ y = 7.\end{cases}$求原方程组的正确解.
答案
3. 解析 把$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=5\end{array} $代入②，得$12-5b=7$，解得$b=1$。
把$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=7\end{array} $代入①，得$-a+7=5$，解得$a=2$。
所以原方程组为$\{\begin{array}{l} 2x+y=5,\\ 4x-y=7,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1.\end{array} $
把$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=7\end{array} $代入①，得$-a+7=5$，解得$a=2$。
所以原方程组为$\{\begin{array}{l} 2x+y=5,\\ 4x-y=7,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1.\end{array} $
4. 「2025 山东聊城月考」方程组$\begin{cases}x + 2y = m, \\ x - y = 4m\end{cases}$的解也是二元一次方程$3x + 2y = 14$的解，求$m$的值.
答案
4. 解析 解方程组$\{\begin{array}{l} x+2y=m,\\ x-y=4m,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=3m,\\ y=-m,\end{array} $
把$\{\begin{array}{l} x=3m,\\ y=-m\end{array} $代入$3x+2y=14$，得$9m-2m=14$，
解得$m=2$。
把$\{\begin{array}{l} x=3m,\\ y=-m\end{array} $代入$3x+2y=14$，得$9m-2m=14$，
解得$m=2$。
5. 「2025 湖南衡阳祁东期中」已知方程组$\begin{cases}2x + 6y = y - 6, \\ ax - by = - 4\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x - 5y = 16, \\ bx + ay = - 8\end{cases}$的解相同，求$(2a + b)^{2025}$的值.
答案
5. 解析 由题意可得$\{\begin{array}{l} 2x+6y=y-6,\\ 3x-5y=16,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2.\end{array} $
把$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array} $代入$\{\begin{array}{l} ax-by=-4,\\ bx+ay=-8,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} 2a+2b=-4,\\ 2b-2a=-8,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-3,\end{array} $所以$(2a+b)^{2025}=(2-3)^{2025}=-1$。
把$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array} $代入$\{\begin{array}{l} ax-by=-4,\\ bx+ay=-8,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} 2a+2b=-4,\\ 2b-2a=-8,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-3,\end{array} $所以$(2a+b)^{2025}=(2-3)^{2025}=-1$。
6. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + ay = 6, \\ x - 2y = 0\end{cases}(a ≠ - 4)$有整数解，则整数$a$的值是多少？
答案
6. 解析 解方程组可得$\{\begin{array}{l} x=\frac {12}{a+4},\\ y=\frac {6}{a+4},\end{array} $
∵方程组有整数解，且 a 为整数，
$\therefore a+4=\pm 1$或$a+4=\pm 2$或$a+4=\pm 3$或$a+4=\pm 6$，
$\therefore a=-5$或$a=-3$或$a=-6$或$a=-2$或$a=-7$或$a=-1$或$a=2$或$a=-10$。
∵方程组有整数解，且 a 为整数，
$\therefore a+4=\pm 1$或$a+4=\pm 2$或$a+4=\pm 3$或$a+4=\pm 6$，
$\therefore a=-5$或$a=-3$或$a=-6$或$a=-2$或$a=-7$或$a=-1$或$a=2$或$a=-10$。
