12. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形, $∠ B=58°, ∠ ACD=40°$. 若$\odot O$的半径为5,则$\overset{\frown}{DC}$的长为 （）

A.$\frac{13}{3}π$
B.$\frac{10}{9}π$
C.$π$
D.$\frac{1}{2}π$

12.C

13.(河南省中考)如图，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC的外接圆，点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BD，CD。以点D为圆心，BD的长为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为（）

A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$

13.C

14. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，$AB = 8$，以点 $C$ 为圆心，$CA$ 的长为半径画弧，交 $AB$ 于点 $D$，求$\overset{\frown}{AD}$的长。

14. 解:连接 $CD,\because ∠ ACB=90°,∠ B=30°,\therefore ∠ A=60°,AC=\frac{1}{2}AB=4. \because AC=CD,\therefore △ ACD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ ACD = 60°. \therefore l_{\overset{\frown}{AD}} = \frac{60π × 4}{180}=\frac{4}{3}π.$

15.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为$\frac{1}{3}π$，求图中阴影部分的面积。

15. 解:连接 $CD,OC,OD. \because C,D$ 是以AB 为直径的半圆的三等分点,$\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=60°$.
又 $\because OA=OC=OD,\therefore △ OAC$,$△ OCD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ AOC=∠ OCD=60°. \therefore CD// AB. \therefore S_{△ ACD}=S_{△ OCD}. \because$ 弧 CD 的长为 $\frac{1}{3}π,\therefore \frac{60π · r}{180}=\frac{1}{3}π.$ 解得 $r=1. \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}.$

16.(核心素养·运算能力)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交$\overset{\frown}{AB}$于点E,以点O为圆心,OC的长为半径作$\overset{\frown}{CD}$交OB于点D.若OA=2,求阴影部分的面积.

16. 解:连接 $OE,AE. \because$ 点 C 为 OA 的中点,$CE⊥ OA,\therefore AE=OE$. 又 $\because OA=OE,\therefore △ AEO$ 为等边三角形,$\therefore ∠ AOE = 60°,\therefore ∠ BOE = 30°. \because OA=2,\therefore CO=1,EC=\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OBE} + S_{△ COE} - S_{\mathrm{扇形}OCD}$
$=\frac{30π × 2^2}{360}+\frac{1}{2}× 1× \sqrt{3}-\frac{90π × 1^2}{360}$
$=\frac{π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$