登录
1. [2025 晋中榆次区期中] 化简:$[x^{2}+3y^{2}-(x-2y)· (x+2y)]÷y.$
解:$[x^{2}+3y^{2}-(x-2y)(x+2y)]÷y$
$=[x^{2}+3y^{2}-(x^{2}-4y^{2})]÷y$ ……… 第一步
$=(x^{2}+3y^{2}-x^{2}-4y^{2})÷y$ ………… 第二步
$=-y^{2}÷y$ ……………………………… 第三步
$=-y.$ …………………………………… 第四步
(1)第一步中用到的乘法公式是
(用含字母$a,b$的式子表示)
(2)以上解题过程从第
(3)写出正确的运算过程.
解:$[x^{2}+3y^{2}-(x-2y)(x+2y)]÷y$
$=[x^{2}+3y^{2}-(x^{2}-4y^{2})]÷y$ ……… 第一步
$=(x^{2}+3y^{2}-x^{2}-4y^{2})÷y$ ………… 第二步
$=-y^{2}÷y$ ……………………………… 第三步
$=-y.$ …………………………………… 第四步
(1)第一步中用到的乘法公式是
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
;(用含字母$a,b$的式子表示)
(2)以上解题过程从第
二
步开始出错,原因是去括号时,小括号内的第二项没有变号
;(3)写出正确的运算过程.
答案
(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2)二 去括号时,小括号内的第二项没有变号
(3)$[x^{2}+3y^{2}-(x-2y)(x+2y)] ÷ y = (x^2 + 3y^2 - x^2 + 4y^2) ÷ y =7y^2 ÷ y =7y.$
(2)二 去括号时,小括号内的第二项没有变号
(3)$[x^{2}+3y^{2}-(x-2y)(x+2y)] ÷ y = (x^2 + 3y^2 - x^2 + 4y^2) ÷ y =7y^2 ÷ y =7y.$
2. 教材P48 习题 T2 变式 计算：
(1)$(-2x^2)^3 + (-3x^9) ÷ (-x^3) - x^2 · x^4$；
(2)$(9a^3b -6a^2b^2 +3ab) ÷3ab +3ab$；
(3)$(3a -b)^2 + (a -2b +1)(a +2b +1)$。
(1)$(-2x^2)^3 + (-3x^9) ÷ (-x^3) - x^2 · x^4$；
(2)$(9a^3b -6a^2b^2 +3ab) ÷3ab +3ab$；
(3)$(3a -b)^2 + (a -2b +1)(a +2b +1)$。
答案
(1)$(-2x^2)^3 + (-3x^9) ÷ (-x^3) - x^2 · x^4 = -8x^6 + 3x^6 - x^6 = -6x^6.$
(2)$(9a^3b -6a^2b^2 +3ab) ÷3ab +3ab = 3a^2 -2ab +1 +3ab = 3a^2 +ab +1.$
(3)$(3a -b)^2 + (a -2b +1)(a +2b +1) = (9a^2 -6ab +b^2) + [(a +1) + 2b][(a +1) - 2b] = (9a^2 -6ab +b^2) + [(a +1)^2 - (2b)^2] = (9a^2 -6ab +b^2) + (a^2 + 2a + 1) - 4b^2 =9a^2 -6ab +b^2 +a^2 +2a +1 -4b^2 =10a^2 -6ab -3b^2 +2a +1.$
(2)$(9a^3b -6a^2b^2 +3ab) ÷3ab +3ab = 3a^2 -2ab +1 +3ab = 3a^2 +ab +1.$
(3)$(3a -b)^2 + (a -2b +1)(a +2b +1) = (9a^2 -6ab +b^2) + [(a +1) + 2b][(a +1) - 2b] = (9a^2 -6ab +b^2) + [(a +1)^2 - (2b)^2] = (9a^2 -6ab +b^2) + (a^2 + 2a + 1) - 4b^2 =9a^2 -6ab +b^2 +a^2 +2a +1 -4b^2 =10a^2 -6ab -3b^2 +2a +1.$
3. [2025 咸阳礼泉期末] 先化简,再求值:$4(x - y)^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy^2)$,其中 $x = 3, y = -\dfrac{1}{2}$.
答案
$4(x - y)^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy^2) =4(x^2 -2xy + y^2) + (-4x^2 -4y^2) =4x^2 -8xy +4y^2 -4x^2 -4y^2 = -8xy.$
当$x=3,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$= -8 ×3 ×(-\dfrac{1}{2}) =12.$
当$x=3,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$= -8 ×3 ×(-\dfrac{1}{2}) =12.$
4. 教材 P48 习题 T4 变式 [2026 北京二中开学考试] 先化简,再求值:$[(2x + y)(x - y) + y^2] · (2x)^2$,其中$x,y$满足$|x + 1| + (x - 2y)^2 = 0$.
答案
$[(2x + y)(x - y) + y^2] · (2x)^2 = (2x^2 - 2xy + xy - y^2 + y^2) · 4x^2 = (2x^2 - xy) · 4x^2 = 8x^4 - 4x^3y.$
$\because |x + 1| + (x - 2y)^2 = 0,$
$\therefore x + 1 = 0,x - 2y = 0,$解得$x = -1,y = -\dfrac{1}{2},$
$\therefore$ 原式$=8 × (-1)^4 -4 × (-1)^3 × (-\dfrac{1}{2}) =8 - 2 =6.$
$\because |x + 1| + (x - 2y)^2 = 0,$
$\therefore x + 1 = 0,x - 2y = 0,$解得$x = -1,y = -\dfrac{1}{2},$
$\therefore$ 原式$=8 × (-1)^4 -4 × (-1)^3 × (-\dfrac{1}{2}) =8 - 2 =6.$
5. [2025 驻马店期末] 已知 $2x + y = 4$，求整式 $[(x + y)^2 - (x - y)^2 - 2y(x - \frac{1}{2}y)] ÷ 4y$ 的值。
答案
$\because 2x + y = 4,$
$\therefore [(x + y)^2 - (x - y)^2 - 2y(x - \dfrac{1}{2}y)] ÷ 4y = (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 - 2xy + y^2) ÷ 4y = (2xy + y^2) ÷ 4y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}y = \dfrac{1}{4}(2x + y) = \dfrac{1}{4} × 4 = 1.$
$\therefore [(x + y)^2 - (x - y)^2 - 2y(x - \dfrac{1}{2}y)] ÷ 4y = (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 - 2xy + y^2) ÷ 4y = (2xy + y^2) ÷ 4y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}y = \dfrac{1}{4}(2x + y) = \dfrac{1}{4} × 4 = 1.$
