7. 如图，∠A = ∠B，AE = BE，点D在AC边上，∠1 = ∠2，AE和BD相交于点O. 若∠C = 71°，则∠BDE的度数为 （）

A.65°
B.71°
C.75°
D.78°

第7题图 第8题图

∵ AE和BD相交于点O,
∴ ∠AOD = ∠BOE. 在△AOD和△BOE中,∠A = ∠B,∠AOD = ∠BOE,
∴ ∠BEO = ∠2.
又
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = ∠BEO,
∴ ∠1 + ∠AED = ∠BEO + ∠AED,即∠AEC = ∠BED. 在△AEC和△BED中,
∵ ∠A = ∠B,AE = BE,∠AEC = ∠BED,
∴ △AEC≌△BED (ASA),
∴ ∠BDE = ∠C = 71°.

8. 跨学科·物理 [2026邵阳洞口期末] 如图，乐乐用手电筒进行物理光学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，经过木板的边缘点F落在墙上的点E处. 已知$FC ⊥ AD$于点C，$GA ⊥ AD$于点A，点F到地面的距离$CF = 1.5$ m，点A，C到平面镜B的距离相等，点A，B，C，D在同一条直线上，则手电筒到地面的距离AG为 m.（注：法线与地面垂直，反射角$r = $入射角$i$）

∵ ∠r = ∠i,
∴ 90° - ∠r = 90° - ∠i,
∴ ∠CBF = ∠ABG.
∵ FC ⊥ AD,GA ⊥ AD,
∴ ∠FCB = ∠GAB = 90°. 在△GAB和△FCB中,∠ABG = ∠CBF,AB = CB,∠GAB = ∠FCB = 90°,
∴ △GAB≌△FCB(ASA),
∴ AG = CF = 1.5 m.

9. 如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,$DE ⊥ GF$于点D,且交AB于点E,连接EG,EF.
(1)求证:$BG = CF$.
(2)请你猜想$BE + CF$与$EF$的大小关系,并说明理由.

(1)证明:
∵ BG//AC,
∴ ∠C = ∠GBD.
∵ D是BC的中点,
∴ BD = DC.
在△CFD和△BGD中,
∠C = ∠GBD,CD = BD,∠CDF = ∠BDG,
∴ △CFD≌△BGD(ASA),
∴ BG = CF.
(2)解:BE + CF ＞ EF. 理由如下:
在△BGE中,
∵ BE + BG ＞ EG,
∴ BE + CF ＞ EG.
∵ DE ⊥ GF,
∴ ∠EDF = ∠EDG.
由(1)知△CFD≌△BGD,
∴ GD = FD.
在△EDF和△EDG中,ED = ED,∠EDF = ∠EDG,FD = GD,
∴ △EDF≌△EDG(SAS),
∴ EF = EG,
∴ BE + CF ＞ EF.

10. 教材P72例2变式|模型观念 某学校为开展数学实践活动,成立了户外测量小组.测量小组带有测量工具:绳子、拉尺、小红旗、测角器等.在学习完数学华东师大版教材八年级上册第72页例2的题目后,小明小组的同学们准备尝试用不同于例2的方法测量某池塘(如图1)两端A,B的距离.经过思考、讨论,小明小组的同学们最后确定了如下一个测量方法:如图2,先过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使$BC = CD$,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即该池塘两端A,B的距离.在小明小组的同学们测量方法的基础上,若池塘南面(即点D,E附近区域)没有足够空地,点B的右侧区域有足够空地并可用于测量.
(1)请你设计一个可行的测量方法,在图1中画出图形,并进行简单的语言描述.
(2)请对你设计的测量方法进行证明.

(1)解:测量方法如下:如图,先过点B作AB的垂线BM,在BM上取点D,再由点D观测,在AB的延长线上取一点C,使∠BDC = ∠BDA,此时测出BC的长即该池塘两端A,B的距离.
(2)证明:
∵ BD ⊥ AB,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 90°.
在△ABD和△CBD中,
∠ABD = ∠CBD,BD = BD,∠BDA = ∠BDC,
∴ △ABD≌△CBD(ASA),
∴ BC = AB.