1. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$为$BC$上的一点，$∠ BAD = 20°$，在$AD$的右侧作$△ ADE$，使得$AE = AD$，$∠ DAE = ∠ BAC$，连结$CE$，$DE$交$AC$于点$O$，若$CE // AB$，则$∠ COE$的度数为（）

A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
（第1题）

1. C 解析:$\because ∠ DAE=∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ ACE.\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ ACB,\therefore ∠ B=∠ ACE=∠ ACB$.$\because CE// AB,\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACE=180°,\therefore ∠ B=60°$,$\therefore △ ABC,△ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ ADO=∠ BAC=60°$.$\because ∠ BAD=20°,\therefore ∠ DAO=40°,\therefore ∠ COE=∠ AOD=180°-60°-40°= 80°$.故选 C.

2. (2026·舟山期末)如图,在锐角$△ ABC$中,点D是BC边上一点,$DE ⊥ AB$于点E,若$AD=CD$,$AC=2AE$,则$∠ ADE$和$∠ B$的数量关系是 ()

A.$∠ ADE=∠ B$
B.$∠ ADE+2∠ B=180°$
C.$2∠ ADE-∠ B=90°$
D.$3∠ ADE-∠ B=90°$

2. D 解析:如图所示,过点 D 作 $DF⊥ AC$ 于F,则 $∠ AFD = 90°, \because AD = CD, \therefore ∠ ACD = ∠ CAD,AF=CF=\frac{1}{2}AC.\because AC=2AE,\therefore AF=AE$.$\because DE ⊥ AB, \therefore ∠ AED = 90°$. 在 $\mathrm{Rt} △ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD,\\ AF=AE, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt} △ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL}),\therefore ∠ CAD=∠ EAD=∠ ACD,\therefore ∠ CAB=2∠ ACD$.在$△ ABC$中,$∠ ACD+∠ CAB+∠ B = 180°, \therefore ∠ ACD+2∠ ACD+∠ B=180°$, 即 $3 ∠ ACD + ∠ B = 180°$. 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ EAD+∠ ADE=90°, \therefore ∠ ACD + ∠ ADE = 90°$,$\therefore ∠ ACD=90°-∠ ADE,\therefore 3(90°-∠ ADE)+∠ B=180°$,整理可得$3∠ ADE-∠ B=90°$.故选 D.

3. （2026·金华期末）如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=40°$，点$D$是$BC$边上一动点，将$△ ABD$沿$AD$折叠得到$△ AED$，当$△ AED$与$△ ABC$的重叠部分是直角三角形时，$∠ BAD$的度数为________。

3. $25°$或$50°$或$75°$ 解析:如图①,当$∠ ADC=90°$时,$\because ∠ B=40°,\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=90°-40°=50°$;

如图②,当$∠ AFD=90°$时,由折叠的性质可得,$△ ABD≌△ AED,∠ BAD=∠ EAD.\because ∠ B=40°,\therefore ∠ BAF=90°-∠ B=50°$,$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAF=25°$;

如图③,当$∠ AHD=90°$时,由折叠的性质可得,$∠ B=∠ E=40°,∠ ADB=∠ ADE,\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°$.
$\therefore ∠ HDC = 90° - ∠ C = 50°$,
$\therefore ∠ ADB= ∠ ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠ HDC)=65°,\therefore ∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=75°$.综上所述,$∠ BAD$的度数为$25°$或$50°$或$75°$.

4. (2026·金华月考)如图,在$△ AOB$中,$OA=OB$,$∠ AOB=120°$,点$C$是平面内一点,连结$AC$,$BC$,$OC$,$OA=OC$,直线$BC$与直线$AO$相交于点$D$,如果$△ COD$是以$DO$为腰的等腰三角形,则$∠ OCB$的度数为.
(第4题)

4. $20°$或$40°$ 解析:$\because$ 直线 $BC$ 与直线 $AO$ 相交于点 $D,\therefore$ 有以下两种情况:①当点 $D$ 在线段 $OA$ 上时,如图①所示:设$∠ OCB=α.\because △ COD$是以 $DO$ 为腰的等腰三角形,$\therefore DO=DC$,$\therefore ∠ DOC=∠ OCB=α.\because ∠ AOB=120°,\therefore ∠ BOC=∠ BOA+∠ COA=120°+α$.又$\because OA=OB,OA=OC,\therefore OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=α$,在$△ OBC$中,$∠ BOC+∠ OCB+∠ OBC=180°,\therefore 120°+α+α+α=180°$,解得 $α=20°,\therefore ∠ OCB=α=20°$.
②当点 $D$ 在 $AO$ 的延长线上时,如图②所示,设 $∠ OCB=α$,$\because △ COD$ 是以 $DO$ 为腰的等腰三角形,$\therefore DO=DC,\therefore ∠ DOC=∠ OCB=α.\because ∠ AOB=120°,\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOB=60°$,$\therefore ∠ BOC=∠ BOD+∠ DOC=60°+α$.又$\because OA=OB,OA=OC$,$\therefore OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=α$.在$△ OBC$中,$∠ BOC+∠ OCB+∠ OBC=180°,\therefore 60°+α+α+α=180°$,解得 $α=40°,\therefore ∠ OCB=α=40°$.综上所述,$∠ OCB$ 的度数为 $20°$或 $40°$.

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=52°$，$BD$，$CD$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，$M$，$N$，$Q$分别在$DB$，$DC$，$BC$的延长线上，$BE$，$CE$分别平分$∠ MBC$，$∠ BCN$，$BF$，$CF$分别平分$∠ EBC$，$∠ ECQ$，则$∠ F=$.

5. $16°$ 解析:$\because BD,CD$分别平分$∠ ABC,∠ ACB,∠ A=52°$,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB,\therefore ∠ DBC+∠ DCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-52°)=64°$,
$\therefore ∠ MBC+∠ NCB=360°-64°=296°.\because BE,CE$分别平分$∠ MBC,∠ BCN,\therefore ∠ 5+∠ 6=\frac{1}{2}∠ MBC,∠ 1=\frac{1}{2}∠ NCB$,
$\therefore ∠ 5+∠ 6+∠ 1=\frac{1}{2}(∠ MBC+∠ NCB)=148°,\therefore ∠ E=180°-(∠ 5+∠ 6+∠ 1)=180°-148°=32°.\because BF,CF$分别平分$∠ EBC,∠ ECQ,\therefore ∠ 5=∠ 6,∠ 2=∠ 3+∠ 4.\because ∠ 3+∠ 4=∠ 5+∠ F$,
$\therefore ∠ 2=∠ 5+∠ F.\because ∠ 2+∠ 3+∠ 4=∠ 5+∠ 6+∠ E,\therefore 2∠ 2=2∠ 5+∠ E,\therefore 2∠ F=∠ E,\therefore ∠ F=\frac{1}{2}∠ E=\frac{1}{2}×32°=16°$.

6. (2026·杭州月考)如图,AE是∠CAM的平分线,点B在射线AM上,DE是线段BC的中垂线,交AE于点E,EF⊥AM,F是垂足.若∠ACB=26°,∠CBE=24°,则∠AED=.

6. $40°$ 解析:如图,连结 $CE$,过点 $E$ 作 $EG⊥ AC$ 于点 $G$,交 $CD$ 于点 $H$,$AE$ 交 $BC$ 于点 $O$,$\because DE$ 是线段 $BC$ 的中垂线,$\therefore ∠ EDC=90°$,$CE=BE$,$\therefore ∠ ECB=∠ CBE.\because ∠ CBE=24°,\therefore ∠ ECB=24°$,
$\therefore ∠ DEB=∠ CED=90°-24°=66°.\because EG⊥ AC,ED⊥ BC$,
$\therefore ∠ HGC=∠ HDE=90°,\therefore ∠ ACB+∠ CHG=90°,∠ EHD+∠ HED=90°.\because ∠ CHG=∠ EHD,\therefore ∠ ACB=∠ HED.\because ∠ ACB=26°,\therefore ∠ HED=26°.\because AE$ 平分$∠ CAM$,$EG⊥ AC$,$EF⊥ AM$,$\therefore EG=EF$.
在 $\mathrm{Rt} △ EGC$ 和 $\mathrm{Rt} △ EFB$ 中, $\begin{cases} CE=BE,\\ EG=EF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt} △ EGC ≌ \mathrm{Rt}△ EFB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ EBF=∠ ACE=∠ ACB+∠ ECD=26°+24°=50°$.
$\because ∠ EFB=90°,\therefore ∠ BEF=90°-∠ EBF=90°-50°=40°$,
$\therefore ∠ GEF=∠ GED+∠ BED+∠ BEF=26°+66°+40°=132°$.
$\because ∠ AGE=∠ AFE=90°,\therefore ∠ CAM=360°-90°-90°-132°=48°$.
$\because AE$ 平分 $∠ CAM,\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ CAM=24°,\therefore ∠ DOE=∠ CAE+∠ ACB=24°+26°=50°.\because ED⊥ BC$ 于 $D,\therefore ∠ EDB=90°,\therefore ∠ AED=90°-∠ DOE=40°$,故答案为 $40°$.