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1.如图,点A是$\odot O$外一点,AB,AC分别与$\odot O$相切于点B,C,点D在优弧$\widehat{BDC}$上,已知$∠ A=50°$,则$∠ D=$.
答案
$\boldsymbol{65°}$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是结合切线性质与圆周角定理求解：首先遇到圆的切线，优先连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径构造直角；其次通过四边形内角和求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵AB、AC分别与$\odot O$相切于点B、C，
∴$OB⊥ AB$，$OC⊥ AC$，即$∠ ABO=∠ ACO=90°$，
∵四边形ABOC的内角和为$360°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ A-∠ ABO-∠ ACO=360°-50°-90°-90°=130°$，
∵$∠ D$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是掌握切线的性质，正确构造辅助线求出圆心角度数，再结合圆周角定理即可完成求解，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心思路是结合切线性质与圆周角定理求解：首先遇到圆的切线，优先连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径构造直角；其次通过四边形内角和求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵AB、AC分别与$\odot O$相切于点B、C，
∴$OB⊥ AB$，$OC⊥ AC$，即$∠ ABO=∠ ACO=90°$，
∵四边形ABOC的内角和为$360°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ A-∠ ABO-∠ ACO=360°-50°-90°-90°=130°$，
∵$∠ D$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是掌握切线的性质，正确构造辅助线求出圆心角度数，再结合圆周角定理即可完成求解，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.75
2.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，连接AB.已知$∠ APB=60°$，$AB=6\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径长为.
答案
解：
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB。
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠OAP=∠OBP=90°，
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ OA=OB，OC⊥AB，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 6\sqrt{3}$ = $3\sqrt{3}$，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°。
设⊙O的半径为r，则OA=r，
在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∠OAC=30°，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{r}{2}$。
由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，
即 $(\frac{r}{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = r^2$，
整理得：$\frac{r^2}{4} + 27 = r^2$，
解得r=6（负值舍去）。
$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{6}$。
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB。
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠OAP=∠OBP=90°，
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ OA=OB，OC⊥AB，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 6\sqrt{3}$ = $3\sqrt{3}$，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°。
设⊙O的半径为r，则OA=r，
在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∠OAC=30°，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{r}{2}$。
由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，
即 $(\frac{r}{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = r^2$，
整理得：$\frac{r^2}{4} + 27 = r^2$，
解得r=6（负值舍去）。
$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
遇到切线相关的问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系。本题中PA、PB是圆的切线，先连接OA、OB，可得OA⊥PA、OB⊥PB，再结合切线长定理得PA=PB，结合已知∠APB=60°可求出圆心角∠AOB的度数。要求圆的半径，已知AB的长度，过O作AB的垂线，利用垂径定理得到AB的一半长度，同时把∠AOB平分，构造出含特殊角的直角三角形，再利用勾股定理即可求出半径。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°。
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ OA=OB，OC⊥AB，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 6\sqrt{3}$ = $3\sqrt{3}$，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°。
设⊙O的半径为r，则OA=r，
在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∠OAC=30°，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{r}{2}$。
由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，
即 $(\frac{r}{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = r^2$，
整理得：$\frac{r^2}{4} + 27 = r^2$，
解得r=6（负值不符合实际，舍去）。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质的常规应用题，解题的核心是正确作出辅助线，构造直角三角形将已知线段长和半径关联起来，属于圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系。本题中PA、PB是圆的切线，先连接OA、OB，可得OA⊥PA、OB⊥PB，再结合切线长定理得PA=PB，结合已知∠APB=60°可求出圆心角∠AOB的度数。要求圆的半径，已知AB的长度，过O作AB的垂线，利用垂径定理得到AB的一半长度，同时把∠AOB平分，构造出含特殊角的直角三角形，再利用勾股定理即可求出半径。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°。
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ OA=OB，OC⊥AB，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 6\sqrt{3}$ = $3\sqrt{3}$，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°。
设⊙O的半径为r，则OA=r，
在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∠OAC=30°，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{r}{2}$。
由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，
即 $(\frac{r}{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = r^2$，
整理得：$\frac{r^2}{4} + 27 = r^2$，
解得r=6（负值不符合实际，舍去）。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质的常规应用题，解题的核心是正确作出辅助线，构造直角三角形将已知线段长和半径关联起来，属于圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，并分别与$\odot O$的切线DC相交于点D，C.
已知$△ PCD$的周长为14 cm，则$PA=$cm.
已知$△ PCD$的周长为14 cm，则$PA=$cm.
答案
7
解析
【分析】
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先我们需要把△PCD的周长线段用和PA、PB相关的线段替换：①点P是圆外一点，引的两条切线PA=PB；②点D是圆外一点，引的两条切线DA与DC上对应段长度相等；③点C是圆外一点，引的两条切线CB与DC上对应段长度相等。将△PCD的周长拆解后替换，就能得到周长与PA的等量关系，进而求出PA的值。
【解析】
根据切线长定理：
1. 点P向⊙O引两条切线PA、PB，故$\boldsymbol{PA=PB}$；
2. 点D向⊙O引两条切线DA和DC（E为DC与⊙O的切点），故$\boldsymbol{DA=DE}$；
3. 点C向⊙O引两条切线CB和CE，故$\boldsymbol{CB=CE}$。
△PCD的周长为：
$C_{△ PCD}=PD + DC + PC$
因为$DC=DE+CE$，代入得：
$C_{△ PCD}=PD + DE + CE + PC$
将DE替换为DA，CE替换为CB，可得：
$C_{△ PCD}=PD + DA + PC + CB=(PD+DA)+(PC+CB)=PA+PB$
又因为PA=PB，所以$C_{△ PCD}=2PA$。
已知$C_{△ PCD}=14\mathrm{cm}$，因此$2PA=14$，解得$PA=7\mathrm{cm}$。
【答案】
7
【知识点】
切线长定理；线段等量代换；三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，核心是利用切线长定理对三角形周长的线段进行等量转化，建立未知线段与已知周长的关系即可求解，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先我们需要把△PCD的周长线段用和PA、PB相关的线段替换：①点P是圆外一点，引的两条切线PA=PB；②点D是圆外一点，引的两条切线DA与DC上对应段长度相等；③点C是圆外一点，引的两条切线CB与DC上对应段长度相等。将△PCD的周长拆解后替换，就能得到周长与PA的等量关系，进而求出PA的值。
【解析】
根据切线长定理：
1. 点P向⊙O引两条切线PA、PB，故$\boldsymbol{PA=PB}$；
2. 点D向⊙O引两条切线DA和DC（E为DC与⊙O的切点），故$\boldsymbol{DA=DE}$；
3. 点C向⊙O引两条切线CB和CE，故$\boldsymbol{CB=CE}$。
△PCD的周长为：
$C_{△ PCD}=PD + DC + PC$
因为$DC=DE+CE$，代入得：
$C_{△ PCD}=PD + DE + CE + PC$
将DE替换为DA，CE替换为CB，可得：
$C_{△ PCD}=PD + DA + PC + CB=(PD+DA)+(PC+CB)=PA+PB$
又因为PA=PB，所以$C_{△ PCD}=2PA$。
已知$C_{△ PCD}=14\mathrm{cm}$，因此$2PA=14$，解得$PA=7\mathrm{cm}$。
【答案】
7
【知识点】
切线长定理；线段等量代换；三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，核心是利用切线长定理对三角形周长的线段进行等量转化，建立未知线段与已知周长的关系即可求解，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4.如图，四边形ABCD外切于$\odot O$，$AB=16$，$CD=10$，则四边形ABCD的周长为。
答案
$\boldsymbol{52}$
解析
【分析】
首先观察题目条件，四边形ABCD外切于$\odot O$，属于圆外切四边形，此时应优先回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等。我们要求四边形的周长，周长公式为$C=AB+BC+CD+DA$，借助上述性质可知$AD+BC=AB+CD$，因此只需将已知的AB、CD长度代入，即可快速求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD外切于$\odot O$，
∴根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$，
已知$AB=16$，$CD=10$，
∴$AB+CD=16+10=26$，即$AD+BC=26$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(AD+BC)=26+26=52$。
【答案】
$\boldsymbol{52}$
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是对圆外切四边形相关性质的基础考察，只要熟记圆外切四边形对边和相等的性质，即可快速计算出结果，解题时无需复杂推导，直接套用性质即可。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，四边形ABCD外切于$\odot O$，属于圆外切四边形，此时应优先回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等。我们要求四边形的周长，周长公式为$C=AB+BC+CD+DA$，借助上述性质可知$AD+BC=AB+CD$，因此只需将已知的AB、CD长度代入，即可快速求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD外切于$\odot O$，
∴根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$，
已知$AB=16$，$CD=10$，
∴$AB+CD=16+10=26$，即$AD+BC=26$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(AD+BC)=26+26=52$。
【答案】
$\boldsymbol{52}$
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是对圆外切四边形相关性质的基础考察，只要熟记圆外切四边形对边和相等的性质，即可快速计算出结果，解题时无需复杂推导，直接套用性质即可。
【难度系数】
0.8
5.为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为$30°$的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法进行测量，进而通过计算求得铁环的半径。若测得$PA=5\ \mathrm{cm}$，则铁环的半径是cm。
答案
解：连接OP、OA，设三角板的斜边与圆O的切点为Q，连接OQ。
∵ 圆O与水平桌面相切于点P，
∴ OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵ AP、AQ都是圆O的切线，
∴ OA平分∠PAQ。
由三角板的锐角为30°，可得∠PAQ=180°-60°=120°，
∴ ∠OAP = $\frac{1}{2}$∠PAQ = 60°。
在Rt△OPA中，PA=5 cm，
∴ $OP = PA · \tan60° = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
即铁环的半径是$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$ cm。
∵ 圆O与水平桌面相切于点P，
∴ OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵ AP、AQ都是圆O的切线，
∴ OA平分∠PAQ。
由三角板的锐角为30°，可得∠PAQ=180°-60°=120°，
∴ ∠OAP = $\frac{1}{2}$∠PAQ = 60°。
在Rt△OPA中，PA=5 cm，
∴ $OP = PA · \tan60° = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
即铁环的半径是$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$ cm。
解析
【分析】
要计算铁环的半径，也就是求圆O的半径OP，我们可以结合圆的切线相关性质构造直角三角形求解。首先连接圆心O到两个切点P、Q，以及点O和点A，根据切线性质可知OP垂直于PA；再由切线长定理可得OA平分∠PAQ，结合三角板的角度可求出∠OAP的度数，最后在Rt△OPA中利用锐角三角函数即可求出半径OP的长度。
【解析】
连接OP、OA，设三角板的斜边与圆O的切点为Q，连接OQ。
∵ 圆O与水平桌面相切于点P，
∴ OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵ AP、AQ都是圆O的切线，A为圆外一点，
∴ OA平分∠PAQ。
由三角板的锐角为30°，可知三角板与刻度尺接触的锐角为60°，因此∠PAQ=180°-60°=120°，
∴ ∠OAP = $\frac{1}{2}$∠PAQ = 60°。
在Rt△OPA中，已知PA=5 cm，
∴ $OP = PA · \tan∠OAP = 5 × \tan60° = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了圆的切线相关性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线性质和切线长定理得到直角三角形与角度关系，进而通过三角函数计算未知线段长度。
【难度系数】
0.6
要计算铁环的半径，也就是求圆O的半径OP，我们可以结合圆的切线相关性质构造直角三角形求解。首先连接圆心O到两个切点P、Q，以及点O和点A，根据切线性质可知OP垂直于PA；再由切线长定理可得OA平分∠PAQ，结合三角板的角度可求出∠OAP的度数，最后在Rt△OPA中利用锐角三角函数即可求出半径OP的长度。
【解析】
连接OP、OA，设三角板的斜边与圆O的切点为Q，连接OQ。
∵ 圆O与水平桌面相切于点P，
∴ OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵ AP、AQ都是圆O的切线，A为圆外一点，
∴ OA平分∠PAQ。
由三角板的锐角为30°，可知三角板与刻度尺接触的锐角为60°，因此∠PAQ=180°-60°=120°，
∴ ∠OAP = $\frac{1}{2}$∠PAQ = 60°。
在Rt△OPA中，已知PA=5 cm，
∴ $OP = PA · \tan∠OAP = 5 × \tan60° = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了圆的切线相关性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线性质和切线长定理得到直角三角形与角度关系，进而通过三角函数计算未知线段长度。
【难度系数】
0.6
6.如图，PO平分∠APD，PA与$\odot O$相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
(1)求证：PB是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为4，OC=5，求PA的长.
(1)求证：PB是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为4，OC=5，求PA的长.
答案
(1) 证明：
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA ⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵ PO平分$∠ APD$，$OB ⊥ PD$，$OA ⊥ PA$，
∴ $OB=OA$。
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ OB是$\odot O$的半径，
又∵ $OB ⊥ PD$，
∴ PB是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为4，
∴ $OA=OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$OB ⊥ PC$，$OC=5$，$OB=4$，
∴ $BC=\sqrt{OC^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
设$PA=x$，
∵ PA、PB都是$\odot O$的切线，
∴ $PB=PA=x$。
∵ $AC=OA+OC=4+5=9$，$∠ PAC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即 $x^2 + 9^2 = (x+3)^2$，
展开得 $x^2 + 81 = x^2 + 6x + 9$，
解得 $x=12$。
∴ PA的长为$\boldsymbol{12}$。
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA ⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵ PO平分$∠ APD$，$OB ⊥ PD$，$OA ⊥ PA$，
∴ $OB=OA$。
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ OB是$\odot O$的半径，
又∵ $OB ⊥ PD$，
∴ PB是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为4，
∴ $OA=OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$OB ⊥ PC$，$OC=5$，$OB=4$，
∴ $BC=\sqrt{OC^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
设$PA=x$，
∵ PA、PB都是$\odot O$的切线，
∴ $PB=PA=x$。
∵ $AC=OA+OC=4+5=9$，$∠ PAC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即 $x^2 + 9^2 = (x+3)^2$，
展开得 $x^2 + 81 = x^2 + 6x + 9$，
解得 $x=12$。
∴ PA的长为$\boldsymbol{12}$。
解析
【分析】
(1) 要证明PB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需满足两个条件：OB是$\odot O$的半径，且OB⊥PD。已知OB⊥PD，因此只需证OB等于$\odot O$的半径即可：由PA是切线可得OA⊥PA，结合PO是∠APD的角平分线，根据角平分线的性质可得OB=OA，OA是半径，因此OB也是半径，即可得证。
(2) 先在$\mathrm{Rt}△OBC$中利用勾股定理求出BC的长度；再根据切线长定理得PA=PB，设PA的长为x，可得PC=x+3、AC=9，最后在$\mathrm{Rt}△PAC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA ⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵ PO平分$∠ APD$，$OB ⊥ PD$，$OA ⊥ PA$，
∴ $OB=OA$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ OB是$\odot O$的半径，
又
∵ $OB ⊥ PD$，
∴ PB是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为4，
∴ $OA=OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$OB ⊥ PC$，$OC=5$，$OB=4$，
由勾股定理得 $BC=\sqrt{OC^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
设$PA=x$，
∵ PA、PB都是$\odot O$的切线，
∴ 根据切线长定理得$PB=PA=x$。
∵ $AC=OA+OC=4+5=9$，$∠ PAC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即 $x^2 + 9^2 = (x+3)^2$，
展开得 $x^2 + 81 = x^2 + 6x + 9$，
移项化简得$6x=72$，
解得 $x=12$。
【答案】
(1) PB是$\odot O$的切线，证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础综合题，既考查了切线判定的逻辑推导能力，又结合了方程思想求解线段长度，是该知识点板块的典型考查题型，解题的核心是熟练掌握切线的判定方法及相关几何性质。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明PB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需满足两个条件：OB是$\odot O$的半径，且OB⊥PD。已知OB⊥PD，因此只需证OB等于$\odot O$的半径即可：由PA是切线可得OA⊥PA，结合PO是∠APD的角平分线，根据角平分线的性质可得OB=OA，OA是半径，因此OB也是半径，即可得证。
(2) 先在$\mathrm{Rt}△OBC$中利用勾股定理求出BC的长度；再根据切线长定理得PA=PB，设PA的长为x，可得PC=x+3、AC=9，最后在$\mathrm{Rt}△PAC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA ⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵ PO平分$∠ APD$，$OB ⊥ PD$，$OA ⊥ PA$，
∴ $OB=OA$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ OB是$\odot O$的半径，
又
∵ $OB ⊥ PD$，
∴ PB是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为4，
∴ $OA=OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$OB ⊥ PC$，$OC=5$，$OB=4$，
由勾股定理得 $BC=\sqrt{OC^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
设$PA=x$，
∵ PA、PB都是$\odot O$的切线，
∴ 根据切线长定理得$PB=PA=x$。
∵ $AC=OA+OC=4+5=9$，$∠ PAC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即 $x^2 + 9^2 = (x+3)^2$，
展开得 $x^2 + 81 = x^2 + 6x + 9$，
移项化简得$6x=72$，
解得 $x=12$。
【答案】
(1) PB是$\odot O$的切线，证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础综合题，既考查了切线判定的逻辑推导能力，又结合了方程思想求解线段长度，是该知识点板块的典型考查题型，解题的核心是熟练掌握切线的判定方法及相关几何性质。
【难度系数】
0.7
