10.如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$.若$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的总面积为.

10. 6

【分析】
首先观察题目条件：△ABC是等腰三角形（AB=AC），且AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是△ABC的对称轴，直线AD两侧的图形关于AD对称，对称图形的面积相等。因此我们可以利用轴对称的性质，将分散的阴影部分面积转化为整体三角形面积的一半，不需要分别计算每个阴影的面积，即可简化求解过程。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴AD是等腰△ABC的对称轴（等腰三角形底边上的高与对称轴重合），
∴点B与点C关于直线AD对称，AD两侧对称的三角形面积相等，
由此可得阴影部分的总面积等于△ABC面积的一半，
∵$S_{△ ABC}=12$，
∴阴影部分总面积=$12×\frac{1}{2}=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形三线合一；轴对称的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用等腰三角形的轴对称性，将分散的阴影面积进行转化，避免了分别计算各阴影面积的复杂过程，体现了数学中的转化思想，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AB$上且$AD=DC=BC$.
(1)$∠ A=$$°;$
(2)若$AB=m$,$BD=n$,$DE⊥ BC$则$BE=$.(用含$m,n$的式子表示)

11. (1)36 (2)$\frac{1}{2}m-n$

【分析】
(1) 题目中存在多个等腰三角形，可通过设未知角，结合等边对等角、三角形外角性质和内角和定理求解。先设∠A=x，根据AD=DC得到∠ACD=x，由外角性质得∠BDC=2x，再结合DC=BC、AB=AC，用x表示出△ABC的三个内角，根据内角和列方程即可求出∠A的度数。
(2) 求BE的表达式时，可利用垂直平分线的性质构造等腰三角形转化线段：在EC上取F使EF=BE，由DE⊥BC得DF=BD=n，再结合角度关系推出FC=DF=n，最后结合BC=AD=m-n，根据BC=BF+FC列等式整理即可得到BE的表达式。
【解析】
(1) 设$∠ A=x$，
$\because AD=DC$，$\therefore ∠ ACD=∠ A=x$，
根据三角形外角性质，$∠ BDC=∠ A+∠ ACD=2x$，
又$\because DC=BC$，$\therefore ∠ B=∠ BDC=2x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ACB=∠ B=2x$，
在$△ ABC$中，内角和为$180°$，则：
$x+2x+2x=180°$，解得$x=36°$，即$∠ A=36°$。
(2) 在$EC$上取点$F$，使$EF=BE$，连接$DF$，
$\because DE⊥ BC$，$EF=BE$，$\therefore DE$是$BF$的垂直平分线，
$\therefore DF=BD=n$，$\therefore ∠ DFB=∠ B=72°$，
由(1)得$∠ DCB=∠ ACB-∠ ACD=72°-36°=36°$，
根据三角形外角性质，$∠ FDC=∠ DFB-∠ DCB=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ FDC=∠ DCB$，$\therefore FC=DF=n$，
$\because AD=BC$，$AD=AB-BD=m-n$，$\therefore BC=m-n$，
又$\because BC=BF+FC=2BE+n$，
$\therefore m-n=2BE+n$，整理得$BE=\frac{1}{2}m-n$。
【答案】
(1) $\boxed{36}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}m-n}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题目，第一问用设未知数列方程的方法求角度是等腰三角形角度计算的常用技巧，第二问通过构造垂直平分线转化线段，解题关键是理清各角度、各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.65

12.如图,点C在线段AB上,AD//EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE,求证:
(1)△ACD≌△BEC;
(2)∠DFC=∠CFE.

12. 证明:(1) $\because AD // BE, \therefore ∠ A=∠ B.$ 在$△ ACD$ 和 $△ BEC$ 中, $\because \begin{cases} AD=BC, \\ ∠ A=∠ B, \therefore △ ACD ≌ △ BEC. \\ AC=BE, \end{cases}$(SAS) (2) $\because △ ACD≌ △ BEC,\therefore CD=CE. \because CF$ 平分$∠ DCE. \therefore CF⊥ DE,\therefore ∠ DFC=∠ CFE=90°.$

【分析】
（1）要证明△ACD≌△BEC，首先根据AD//EB的平行线性质，可得到内错角∠A=∠B，结合题目给出的AD=BC、AC=BE的条件，刚好符合SAS全等判定的要求，即可完成第一问的证明。
（2）要证明∠DFC=∠CFE，可先由第一问的全等结论得到对应边CD=CE，即△DCE为等腰三角形，再结合CF平分∠DCE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知CF是△DCE的高，因此∠DFC和∠CFE均为90°，即可证明二者相等。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//EB，
∴∠A=∠B（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ACD$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}AD=BC（已知）, \\∠A=∠B（已证）, \\AC=BE（已知）\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ BEC$（SAS）。
(2) 证明：
∵$△ ACD≌△ BEC$，
∴CD=CE（全等三角形对应边相等），即$△ DCE$是等腰三角形。
∵CF平分∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF⊥DE，
∴∠DFC=∠CFE=90°，即∠DFC=∠CFE。
【答案】
(1) $\because AD // BE, \therefore ∠ A=∠ B.$ 在$△ ACD$ 和 $△ BEC$ 中, $\because \begin{cases} AD=BC, \\ ∠ A=∠ B, \therefore △ ACD ≌ △ BEC. \\ AC=BE, \end{cases}$(SAS)
(2) $\because △ ACD≌ △ BEC,\therefore CD=CE. \because CF$ 平分$∠ DCE. \therefore CF⊥ DE,\therefore ∠ DFC=∠ CFE=90°.$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、全等三角形、等腰三角形的相关知识点，解题时需遵循从已知到结论的推导逻辑，先利用平行线性质得到全等判定的角相等条件，证明全等后推导得到等腰三角形，结合角平分线的条件即可完成证明，有助于锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

13.如图，$△ ABC$和$△ BDE$都是等边三角形，点$C$关于$AD$的对称点$F$在$BD$边上.
(1)求证:$AE=CD$；
(2)用等式写出线段$AD,BD,DF$的数量关系，并说明理由；

13. (1)证明: $\because △ ABC$ 和 $△ BDE$ 都是等边三角形, $\therefore AB=BC, BE=BD, ∠ ABC=∠ EBD=60°, \therefore ∠ ABC - ∠ CBE = ∠ EBD - ∠ CBE, \therefore ∠ ABE = ∠ CBD, \therefore △ ABE≌ △ CBD.$ (SAS), $\therefore AE=CD.$ (2)解:$AD=DF+BD.$ 理由如下: $\because DF$ 和 $DC$ 关于 $AD$ 对称, $\therefore DF=DC. \because AE=CD, \therefore AE=DF. \therefore AD=AE+DE=DF+BD.$

【分析】
(1)要证明$AE=CD$，可通过证明$AE$和$CD$所在的三角形全等得到。已知两个等边三角形，可得到两组对应边相等，再通过角的和差推导得到两组对应边的夹角相等，用SAS判定全等即可得到对应边相等。
(2)要推导$AD、BD、DF$的数量关系，首先根据轴对称的性质可得$DF=DC$，结合(1)的结论可推出$AE=DF$；再根据等边三角形的性质得$DE=BD$，观察$AD$可拆分为$AE+DE$，对线段做等量代换即可得到三者的关系。
【解析】
(1)证明：$\because △ ABC$ 和 $△ BDE$ 都是等边三角形,
$\therefore AB=BC, BE=BD, ∠ ABC=∠ EBD=60°$,
$\therefore ∠ ABC - ∠ CBE = ∠ EBD - ∠ CBE$, 即$∠ ABE = ∠ CBD$,
在$△ ABE$和$△ CBD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CB\\ ∠ABE=∠CBD\\ BE=BD\end{array} $
$\therefore △ ABE≌ △ CBD$ (SAS),
$\therefore AE=CD.$
(2)线段数量关系为$AD=DF+BD$，理由如下：
$\because$ 点$C$关于$AD$的对称点是$F$,
$\therefore DF=DC.$
$\because$ 由(1)得$AE=CD$,
$\therefore AE=DF.$
又$\because △ BDE$是等边三角形，$\therefore DE=BD$,
$\because AD=AE+DE$,
$\therefore AD=DF+BD.$
【答案】
(1) 已证$AE=CD$；
(2) $AD=DF+BD$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题是等边三角形背景下的几何基础综合题，第一问属于常见的手拉手全等模型，第二问需要结合轴对称性质和前一问的结论做线段等量代换，解题时注意关联前后问题的结论，梳理线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.65

14.【核心素养·推理能力】如图，$△ ABC$是等边三角形，在直线$BC$的下方有一点$D$，且$DB=DC$，连接$AD$交$BC$于点$E$。
(1)判断$AD$与$BC$的位置关系，并说明理由；
(2)过点$D$作$DF// AB$，$AC=5$，$FC=2$，求$DF$的长。

14. 解:(1)$AD⊥ BC$ 且 $AD$ 平分 $BC$, 理由如下: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=AC. \because DB=DC, \therefore$ 点$A,D$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上, 即 $AD⊥ BC$ 且 $AD$ 平分 $BC.$
(2) $\because △ ABC$ 是等边三角形, 又由(1)知 $AD$ 垂直平分 $BC, \therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}× 60°=30°. \because DF // AB, \therefore ∠ CFD=∠ BAC=60°, \therefore ∠ ADF=∠ CFD-∠ CAD=60°-30°=30°, \therefore ∠ ADF=∠ CAD=30°, \therefore AF=DF, \because AF=AC-FC=5-2=3, \therefore DF=3.$

【分析】
(1)判断AD与BC的位置关系时，可依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。由等边三角形性质得AB=AC，结合已知DB=DC，可知A、D两点都在BC的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可推出AD和BC的位置关系。
(2)求DF的长时，先结合等边三角形性质和(1)的结论算出∠CAD的度数，再根据平行线的性质得到∠CFD的度数，利用三角形外角的性质推导角的等量关系，得到AF=DF，最后结合已知线段长度计算即可。
【解析】
(1) $AD⊥ BC$且$AD$平分$BC$，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC$，
又$\because DB=DC$，
$\therefore$点$A$、点$D$都在线段$BC$的垂直平分线上，
$\therefore$直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线，即$AD⊥ BC$且$AD$平分$BC$。
(2) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC=60°$，$AC=5$，
由(1)知$AD$垂直平分$BC$，根据等边三角形三线合一的性质，
$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$\because DF// AB$，$\therefore ∠ CFD=∠ BAC=60°$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ CFD$是$△ ADF$的外角，$\therefore ∠ CFD=∠ CAD+∠ ADF$，
$\therefore ∠ ADF=∠ CFD-∠ CAD=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ ADF=∠ CAD=30°$，
$\therefore AF=DF$（等角对等边），
又$\because AF=AC-FC=5-2=3$，
$\therefore DF=3$。
【答案】
(1) $AD⊥ BC$且$AD$平分$BC$，理由见解析；
(2) $DF=3$
【知识点】
线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线判定、等边三角形性质和平行线性质的应用，解题关键是熟练掌握相关定理，通过角的等量关系推导得到边的等量关系，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.7