1.计算$(a+2)(a-3)$的结果是 （）

A.$a^2 -a -6$
B.$a^2 +a -6$
C.$a^2 +6$
D.$a^2 -a +6$

1.A

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先明确题目是两个二项式相乘，需运用多项式乘多项式法则计算：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，计算时注意每一项的符号，再将所得的积合并同类项得到最简结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，对$(a+2)(a-3)$展开计算：
第一步：分别相乘：$a· a + a· (-3) + 2· a + 2× (-3)$
第二步：计算各项乘积：$a^2 -3a + 2a -6$
第三步：合并同类项：$a^2 + (-3a+2a) -6 = a^2 -a -6$
对比选项，结果和A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是多项式乘法的基础题型，核心是掌握多项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘项，同时要准确判断每一项的符号，合并同类项时注意系数的加减运算。
【难度系数】
0.8

2.若$(x+4)(x-2)=x^2+mx+n$，则$m,n$的值分别是（）

A.$2,8$
B.$-2,-8$
C.$2,-8$
D.$-2,8$

2.C

【分析】
要解决本题，核心思路是先利用多项式乘多项式的运算法则计算出等式左侧的展开式，再将展开结果与等式右侧的多项式对比，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的规则，就能求出m、n的值。运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号。
【解析】
首先计算等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x+4)(x-2)&=x· x + x·(-2) + 4· x + 4×(-2)\\&=x^2 - 2x + 4x - 8\\&=x^2 + 2x - 8\end{aligned}$
已知$(x+4)(x-2)=x^2+mx+n$，因此可得$x^2 + 2x - 8 = x^2 + mx + n$。
对比等式两边同类项的系数，一次项系数$m=2$，常数项$n=-8$。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式恒等条件
【点评】
本题是多项式乘法的基础应用题型，核心考查多项式的乘法运算规则，解题的易错点是运算时漏乘项或符号计算错误，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.计算：
(1)$(2m+3)(m-1)$；
(2)$(3m-2n)^2$；
(3)$(南京中考)(x+y)(x^2-xy+y^2)$。

3. 解:(1)原式$=2m^2 -2m +3m -3=2m^2 +m -3$.
(2)原式$=(3m-2n)(3m-2n)$
$=9m^2 -6mn -6mn +4n^2$
$=9m^2 -12mn +4n^2$.
(3)原式$=x^3 -x^2 y +x y^2 +x^2 y -x y^2 +y^3$
$=x^3 +y^3$.

【分析】
这三道题均属于整式乘法的基础运算题，解题核心是运用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加，最后合并同类项得到最简结果。第(1)题直接按法则展开即可，注意每一项的符号不要出错；第(2)题可以先把平方改写为两个相同多项式相乘的形式，再按法则计算，也可直接用完全平方公式简化运算；第(3)题按法则展开后会出现互为相反数的同类项，合并时注意抵消即可。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=2m· m + 2m×(-1) + 3· m + 3×(-1)$
$=2m^2 -2m +3m -3$
合并同类项得：$2m^2 +m -3$
(2) 先将平方转化为两个相同多项式相乘：
原式$=(3m-2n)(3m-2n)$
$=3m·3m + 3m×(-2n) + (-2n)·3m + (-2n)×(-2n)$
$=9m^2 -6mn -6mn +4n^2$
合并同类项得：$9m^2 -12mn +4n^2$
(3) 按多项式乘多项式法则展开：
原式$=x· x^2 + x×(-xy) + x· y^2 + y· x^2 + y×(-xy) + y· y^2$
$=x^3 -x^2 y +xy^2 +x^2 y -xy^2 +y^3$
合并同类项抵消中间项得：$x^3 +y^3$
【答案】
(1)$2m^2 +m -3$；(2)$9m^2 -12mn +4n^2$；(3)$x^3 +y^3$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、整式化简
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查多项式乘多项式的运算法则，计算时要注意不要漏乘项，展开过程中需格外关注各项的符号，熟练掌握常见的乘法公式可有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85

4. 先化简,再求值:$(x-y)(x-2y)-\frac{1}{2}(2x-3y)(x+2y)$,其中$x=2,y=\frac{2}{5}$.

4. 解:原式$=x^2 -2xy -xy +2y^2 -\frac{1}{2}(2x^2 +4xy -3xy -6y^2)$
$=x^2 -2xy -xy +2y^2 -x^2 -2xy +\frac{3}{2}xy +3y^2$
$=5y^2 -\frac{7}{2}xy$.
当$x=2,y=\frac{2}{5}$时，
原式$=5× (\frac{2}{5})^2 -\frac{7}{2}× 2× \frac{2}{5}=-2$.

【分析】
本题属于整式的化简求值问题，解题思路分为三步：① 按照多项式乘多项式的运算法则，分别计算两个乘法式子$(x-y)(x-2y)$和$(2x-3y)(x+2y)$；② 去掉原式中的括号，注意带系数的括号要将系数乘到括号内每一项，同时关注符号变化，再合并同类项将原式化为最简形式；③ 将已知的$x$、$y$的值代入最简式计算得到结果，先化简再代入可以减少计算量，避免出错。
【解析】
解：先利用多项式乘多项式法则展开各项：
原式$=x^2 -2xy -xy +2y^2 -\frac{1}{2}(2x^2 +4xy -3xy -6y^2)$
将$-\frac{1}{2}$乘到括号内的每一项，去括号得：
$=x^2 -2xy -xy +2y^2 -x^2 -2xy +\frac{3}{2}xy +3y^2$
合并同类项：$x^2$与$-x^2$抵消，再合并含$xy$的项、含$y^2$的项：
$=5y^2 -\frac{7}{2}xy$
将$x=2,y=\frac{2}{5}$代入最简式：
原式$=5× (\frac{2}{5})^2 -\frac{7}{2}× 2× \frac{2}{5}$
$=5×\frac{4}{25} - \frac{14}{5}$
$=\frac{4}{5} - \frac{14}{5}$
$=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
多项式乘多项式，整式的加减，化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法法则的运用、去括号的符号规则及合并同类项的计算能力，计算时注意系数和符号的处理，先化简后代入的思路能大幅降低计算错误率。
【难度系数】
0.8

5. 三个连续的奇数，若中间一个数为$ n $，则它们的积是（）

A.$ 6n^3 - 6n $
B.$ 4n^3 - n $
C.$ n^3 - 4n $
D.$ n^3 - n $

5.C

【分析】
要解决这道题，首先要明确连续奇数的特点：相邻两个奇数的差是2，已知中间的奇数为n，那么较小的奇数比n小2，较大的奇数比n大2。接下来计算三个数的积，计算时可以先利用平方差公式计算两个一次式的乘积简化运算，再和n相乘，最后对应选项选出结果即可。
【解析】
∵ 三个连续奇数中间的数为$n$，
∴ 较小的奇数为$n-2$，较大的奇数为$n+2$，
则三个数的积为：
$\begin{aligned}&(n-2) × n × (n+2)\\=&n × [(n-2)(n+2)]\\=&n × (n^2 - 4)\\=&n^3 - 4n\end{aligned}$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
代数式表示、平方差公式、整式乘法
【点评】
本题侧重考察整式乘法相关知识的应用，解题的关键是正确表示出三个连续奇数，计算时合理运用平方差公式可有效降低运算出错的概率，是整式运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7

6.将一块边长为$x$的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后.制成的长方形铁皮(阴影部分)的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案,其中正确的是（）
①$(x-5)(x-6)$；②$x^2 -5x -6(x-5)$；
③$x^2 -6x -5x$；④$x^2 -6x -5(x-6)$

A.①②④
B.①②③④
C.①
D.②④

6.A

【分析】
解题可从两个思路入手：①直接法：先确定阴影长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列式；②间接法：用大正方形的面积减去所有空白部分的面积得到阴影面积。得到阴影面积的表达式后，可通过整式的化简验证四个式子是否正确，也可以将四个式子分别化简，和正确结果对比判断正误。
【解析】
1. 直接计算阴影面积
阴影部分为长方形，由图可知：它的长为$x-5$，宽为$x-6$，根据长方形面积公式得：
$S=(x-5)(x-6)$，故①正确；
将上式展开得：$S=x^2-11x+30$。
2. 验证式子②
对②化简：
$x^2-5x-6(x-5)=x^2-5x-6x+30=x^2-11x+30$，和阴影面积结果一致，故②正确。
3. 验证式子③
对③化简：
$x^2-6x-5x=x^2-11x$，和阴影面积结果$x^2-11x+30$不一致，故③错误。
4. 验证式子④
对④化简：
$x^2-6x-5(x-6)=x^2-6x-5x+30=x^2-11x+30$，和阴影面积结果一致，故④正确。
综上，①②④正确，选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，列代数式，整式化简
【点评】
本题考查面积的不同表示方法，既可以直接计算目标图形面积，也可以用总面积减空白面积求解，解题时要注意空白部分的尺寸，避免出现重叠区域多减、漏减的问题，同时要熟练掌握整式的运算法则验证代数式是否相等。
【难度系数】
0.7

7.如图,在某一学校花园的建设中,准备在一个长为$(6a+5b)\mathrm{m}$,宽为$(5b-a)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$a\mathrm{m}$的通道.
(1)剩余草坪的面积是多少平方米?
(2)若$a=1,b=3$,剩余草坪的面积是多少平方米?

7. 解:(1)$(6a+5b-a)(5b-a-a)=(5a+5b)(5b-2a)=25ab-10a^2 +25b^2 -10ab=-10a^2 +15ab +25b^2$.
答:剩余草坪的面积是$(-10a^2 +15ab +25b^2)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=1,b=3$时，
$-10a^2 +15ab +25b^2 =-10× 1^2 +15× 1× 3 +25× 3^2 =260$.
答:当$a=1,b=3$时,剩余草坪的面积是$260\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
解决这道题可以用平移法简化计算：首先将四块分散的剩余草坪向中间平移，可拼接成一个完整的长方形，先求出拼接后长方形的长和宽，再用长乘宽得到剩余草坪的面积表达式；第二问只需将a、b的数值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
第一步求拼接后长方形的尺寸：原长方形长为$(6a+5b)\mathrm{m}$，减去横向通道的宽度$a\ \mathrm{m}$，得到新长方形的长；原长方形宽为$(5b-a)\mathrm{m}$，减去纵向通道的宽度$a\ \mathrm{m}$，得到新长方形的宽。
第二步计算面积：将新长方形的长和宽相乘，按多项式乘多项式的法则展开化简，得到第一问结果。
第三步代入求值：把$a=1$、$b=3$代入化简后的代数式，依次计算乘方、乘法、加减运算，得到第二问结果。
【解析】
(1) 把剩余草坪平移拼接后，得到的长方形的长为：
$6a+5b - a = 5a+5b$（m）
宽为：
$5b - a - a = 5b - 2a$（m）
剩余草坪的面积为长乘宽：
$\begin{aligned}&(5a+5b)(5b-2a)\\=&25ab -10a^2 +25b^2 -10ab\\=&-10a^2 +15ab +25b^2\end{aligned}$
答：剩余草坪的面积是$(-10a^2 +15ab +25b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=1,b=3$时，代入上述表达式：
$\begin{aligned}&-10a^2 +15ab +25b^2\\=&-10×1^2 +15×1×3 +25×3^2\\=&-10 +45 +225\\=&260\end{aligned}$
答：当$a=1,b=3$时，剩余草坪的面积是$260\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(-10a^2 +15ab +25b^2)\mathrm{m}^2$
(2) $260\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简求值，列代数式求面积
【点评】
本题通过平移法将不规则的剩余草坪转化为规则长方形，降低了面积计算的难度，核心考查多项式乘法的运算规则和代入求值的运算能力，解题时要注意多项式相乘时不要漏乘项，代入求值时要注意运算顺序。
【难度系数】
0.7