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8. 已知不等式组$\begin{cases}3x + 4 ＞ x, \quad ① \\ \dfrac{4}{3}x ≤ x + \dfrac{2}{3}。 \quad ②\end{cases}$
(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解;
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率。
(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解;
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率。
答案
8. 解:(1)由①得$x＞-2$,由②得$x≤2$,
∴不等式组的解集为$-2＜x≤2$,
∴它的所有整数解为$-1,0,1,2$。
(2)列答表6-1-7：
答表6-1-7
| | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $0$ | $0$ | | $0$ | $0$ |
| $1$ | $-1$ | $0$ | | $2$ |
| $2$ | $-2$ | $0$ | $2$ | |
∵共有 12 种等可能的结果,积为正数的有 2 种结果,
∴积为正数的概率为$\frac{1}{6}$。
∴不等式组的解集为$-2＜x≤2$,
∴它的所有整数解为$-1,0,1,2$。
(2)列答表6-1-7：
答表6-1-7
| | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $0$ | $0$ | | $0$ | $0$ |
| $1$ | $-1$ | $0$ | | $2$ |
| $2$ | $-2$ | $0$ | $2$ | |
∵共有 12 种等可能的结果,积为正数的有 2 种结果,
∴积为正数的概率为$\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1)求解不等式组需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集，最后在解集范围内找出所有整数即可；
(2)先明确不等式组的所有整数解，任取两个不同整数属于不放回试验，用列表法列举出所有等可能的结果，再根据“两数相乘同号得正，0乘任何数都为0”找出积为正数的结果数，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
【解析】
(1)解不等式①：$3x + 4 ＞ x$
移项得：$3x - x ＞ -4$
合并同类项得：$2x ＞ -4$
系数化为1得：$x ＞ -2$
解不等式②：$\dfrac{4}{3}x ≤ x + \dfrac{2}{3}$
移项得：$\dfrac{4}{3}x - x ≤ \dfrac{2}{3}$
合并同类项得：$\dfrac{1}{3}x ≤ \dfrac{2}{3}$
两边同时乘3得：$x ≤ 2$
∴不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 2$
其中的整数解为：$-1,0,1,2$
(2)在4个整数解中任取两个不同的整数，列表如下：
| | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | / | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $0$ | $0$ | / | $0$ | $0$ |
| $1$ | $-1$ | $0$ | / | $2$ |
| $2$ | $-2$ | $0$ | $2$ | / |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有2种
∴$P(\mathrm{积为正数})=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ 2}$，所有整数解为$\boldsymbol{-1,0,1,2}$；
(2)积为正数的概率为$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 列表法求概率
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题是基础综合题，兼顾了不等式与概率两个模块的核心基础考点，解题时需注意确定不等式组解集要遵循解集确定规则，求概率时要明确是放回还是不放回试验，同时牢记有理数乘积正负的判断规则，避免因漏数、错数结果导致失分。
【难度系数】
0.7
(1)求解不等式组需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集，最后在解集范围内找出所有整数即可；
(2)先明确不等式组的所有整数解，任取两个不同整数属于不放回试验，用列表法列举出所有等可能的结果，再根据“两数相乘同号得正，0乘任何数都为0”找出积为正数的结果数，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
【解析】
(1)解不等式①：$3x + 4 ＞ x$
移项得：$3x - x ＞ -4$
合并同类项得：$2x ＞ -4$
系数化为1得：$x ＞ -2$
解不等式②：$\dfrac{4}{3}x ≤ x + \dfrac{2}{3}$
移项得：$\dfrac{4}{3}x - x ≤ \dfrac{2}{3}$
合并同类项得：$\dfrac{1}{3}x ≤ \dfrac{2}{3}$
两边同时乘3得：$x ≤ 2$
∴不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 2$
其中的整数解为：$-1,0,1,2$
(2)在4个整数解中任取两个不同的整数，列表如下：
| | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | / | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $0$ | $0$ | / | $0$ | $0$ |
| $1$ | $-1$ | $0$ | / | $2$ |
| $2$ | $-2$ | $0$ | $2$ | / |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有2种
∴$P(\mathrm{积为正数})=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ 2}$，所有整数解为$\boldsymbol{-1,0,1,2}$；
(2)积为正数的概率为$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 列表法求概率
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题是基础综合题，兼顾了不等式与概率两个模块的核心基础考点，解题时需注意确定不等式组解集要遵循解集确定规则，求概率时要明确是放回还是不放回试验，同时牢记有理数乘积正负的判断规则，避免因漏数、错数结果导致失分。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序。
(1)求甲第一个演讲的概率；
(2)用画树状图或列表的方法求丙比甲先演讲的概率。
9. 现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序。
(1)求甲第一个演讲的概率；
(2)用画树状图或列表的方法求丙比甲先演讲的概率。
答案
9. 解:(1)共有3种等可能的结果,甲第一个演讲的结果只有一种,
∴甲第一个演讲的概率为$\frac{1}{3}$。
(2)画树状图如答图6-1-2：
共有6种等可能的结果,丙比甲先演讲的结果有3种,
∴丙比甲先演讲的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 第一问中，三人抽签确定首个演讲者，共有甲、乙、丙3种等可能的结果，其中“甲第一个演讲”的结果仅1种，直接代入概率公式即可求解。
(2) 第二问需先枚举三人演讲顺序的所有等可能结果，可通过树状图按层级排列避免重复或遗漏；再统计满足“丙比甲先演讲”的结果数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 确定第一个演讲者时，共有3种等可能的结果，甲第一个演讲的结果只有1种，
因此甲第一个演讲的概率为 $\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的演讲顺序共有6种，其中丙比甲先演讲的结果有3种，
因此丙比甲先演讲的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如答图6-1-2：
$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算、树状图法求概率、等可能事件判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问重点考查用树状图法列举所有等可能结果的能力，学生只要掌握枚举的方法不出现漏算、错算，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问中，三人抽签确定首个演讲者，共有甲、乙、丙3种等可能的结果，其中“甲第一个演讲”的结果仅1种，直接代入概率公式即可求解。
(2) 第二问需先枚举三人演讲顺序的所有等可能结果，可通过树状图按层级排列避免重复或遗漏；再统计满足“丙比甲先演讲”的结果数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 确定第一个演讲者时，共有3种等可能的结果，甲第一个演讲的结果只有1种，
因此甲第一个演讲的概率为 $\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的演讲顺序共有6种，其中丙比甲先演讲的结果有3种，
因此丙比甲先演讲的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如答图6-1-2：
$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算、树状图法求概率、等可能事件判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问重点考查用树状图法列举所有等可能结果的能力，学生只要掌握枚举的方法不出现漏算、错算，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如下：
1. 抽奖方案有以下两种：
方案 A，从装有 1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 15 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中。
方案 B，从装有 2 个红球、1 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 10 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。
2. 抽奖条件：
顾客购买商品的金额每满 100 元，可根据方案 A 抽奖一次；每满 150 元，可根据方案 B 抽奖一次（例如：若某顾客购买商品的金额为 310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种：方案 A 抽三次、方案 B 抽两次、方案 A，B 各抽一次）。
已知某顾客在该商场购买商品的金额为 250 元。
(1) 若该顾客只根据方案 A 抽奖，求所获奖金为 15 元的概率。
(2) 以顾客所获得的奖金的平均值为依据，选择哪种方式抽奖最合算？并说明理由。
1. 抽奖方案有以下两种：
方案 A，从装有 1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 15 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中。
方案 B，从装有 2 个红球、1 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 10 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。
2. 抽奖条件：
顾客购买商品的金额每满 100 元，可根据方案 A 抽奖一次；每满 150 元，可根据方案 B 抽奖一次（例如：若某顾客购买商品的金额为 310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种：方案 A 抽三次、方案 B 抽两次、方案 A，B 各抽一次）。
已知某顾客在该商场购买商品的金额为 250 元。
(1) 若该顾客只根据方案 A 抽奖，求所获奖金为 15 元的概率。
(2) 以顾客所获得的奖金的平均值为依据，选择哪种方式抽奖最合算？并说明理由。
答案
10. 解:(1)由于该顾客在该商场购买商品的金额为 250 元，只根据方案 A 抽奖，因此可以抽 2 次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金 15 元，从 1 个红球、2 个白球中有放回地抽 2 次，所有可能出现的结果如答表6-1-8：
答表6-1-8
| 第1次 | 第2次 | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| | 红 | 白1 | 白2 |
| 红 | (红,红) | (红,白1) | (红,白2) |
| 白1 | (白1,红) | (白1,白1) | (白1,白2) |
| 白2 | (白2,红) | (白2,白1) | (白2,白2) |
共有9种等可能出现的结果,其中一红一白,即可获奖金15元的有4种,
所以该顾客只根据方案A抽奖,所获奖金为15元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2)选择方案A、方案B各抽一次最合算。理由如下：
①由(1)可得,只选择方案A,抽奖2次,获得15元的概率为$\frac{4}{9}$,获得30元(2次都是红球)的概率为$\frac{1}{9}$,两次都不获奖的概率为$\frac{4}{9}$,
所以只选择方案A抽奖获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}=10$(元)。
②只选择方案B,则只能抽奖1次,摸到红球的概率为$\frac{2}{3}$,因此获得奖金的平均值为$10×\frac{2}{3}≈6.7$(元)。
③选择方案A、方案B各抽一次,所获奖金的平均值为$15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}≈11.7$(元)。
因此选择方案A、方案B各抽一次最合算。
答表6-1-8
| 第1次 | 第2次 | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| | 红 | 白1 | 白2 |
| 红 | (红,红) | (红,白1) | (红,白2) |
| 白1 | (白1,红) | (白1,白1) | (白1,白2) |
| 白2 | (白2,红) | (白2,白1) | (白2,白2) |
共有9种等可能出现的结果,其中一红一白,即可获奖金15元的有4种,
所以该顾客只根据方案A抽奖,所获奖金为15元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2)选择方案A、方案B各抽一次最合算。理由如下：
①由(1)可得,只选择方案A,抽奖2次,获得15元的概率为$\frac{4}{9}$,获得30元(2次都是红球)的概率为$\frac{1}{9}$,两次都不获奖的概率为$\frac{4}{9}$,
所以只选择方案A抽奖获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}=10$(元)。
②只选择方案B,则只能抽奖1次,摸到红球的概率为$\frac{2}{3}$,因此获得奖金的平均值为$10×\frac{2}{3}≈6.7$(元)。
③选择方案A、方案B各抽一次,所获奖金的平均值为$15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}≈11.7$(元)。
因此选择方案A、方案B各抽一次最合算。
解析
【分析】
(1) 首先确定抽奖次数：顾客消费250元，方案A每满100元可抽1次，因此可抽2次。要获得15元奖金，说明2次摸球恰好摸到1次红球、1次白球。因为是有放回摸球，所有结果等可能，可通过列表法列举所有可能结果，再用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
(2) 先梳理250元对应的所有合法抽奖方案：①只选方案A抽2次；②只选方案B抽1次（方案B每满150元抽1次，250元仅够抽1次）；③方案A、B各抽1次（100元+150元刚好符合消费金额）。接下来分别计算三种方案的奖金平均值（即各奖金金额乘以对应概率后求和），比较平均值大小，平均值最高的方案就是最合算的方案。
【解析】
(1) 顾客消费250元，只选择方案A抽奖时，可抽奖2次。
甲袋有1红2白共3个球，有放回摸2次，所有等可能结果如下表：
| 第1次\第2次 | 红 | 白1 | 白2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白1) | (红,白2) |
| 白1 | (白1,红) | (白1,白1) | (白1,白2) |
| 白2 | (白2,红) | (白2,白1) | (白2,白2) |
共有9种等可能的结果，其中获得15元奖金（恰好1次红球、1次白球）的结果有4种，因此所求概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 分别计算三种抽奖方案的奖金平均值：
① 只选方案A抽2次：
获得0元的概率为$\frac{4}{9}$，获得15元的概率为$\frac{4}{9}$，获得30元（2次均为红球）的概率为$\frac{1}{9}$，
奖金平均值为：$0×\frac{4}{9}+15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}=10$（元）。
② 只选方案B抽1次：
乙袋有2红1白，摸到红球得10元的概率为$\frac{2}{3}$，得0元的概率为$\frac{1}{3}$，
奖金平均值为：$10×\frac{2}{3}+0×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}≈6.7$（元）。
③ 方案A、B各抽1次：
方案A得15元的概率为$\frac{1}{3}$，方案B得10元的概率为$\frac{2}{3}$，
奖金平均值为：$15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}=\frac{35}{3}≈11.7$（元）。
对比三个平均值：$\frac{35}{3}＞10＞\frac{20}{3}$，因此选择方案A、B各抽一次最合算。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$
(2) 选择方案A、方案B各抽一次最合算，理由见解析。
【知识点】
概率计算，加权平均数，方案优化
【点评】
本题结合生活中的抽奖促销场景，将概率计算和平均数的实际应用相结合，既考查了古典概型的基础计算，也要求学生能通过量化分析做出合理决策，贴近生活实际，能有效锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先确定抽奖次数：顾客消费250元，方案A每满100元可抽1次，因此可抽2次。要获得15元奖金，说明2次摸球恰好摸到1次红球、1次白球。因为是有放回摸球，所有结果等可能，可通过列表法列举所有可能结果，再用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
(2) 先梳理250元对应的所有合法抽奖方案：①只选方案A抽2次；②只选方案B抽1次（方案B每满150元抽1次，250元仅够抽1次）；③方案A、B各抽1次（100元+150元刚好符合消费金额）。接下来分别计算三种方案的奖金平均值（即各奖金金额乘以对应概率后求和），比较平均值大小，平均值最高的方案就是最合算的方案。
【解析】
(1) 顾客消费250元，只选择方案A抽奖时，可抽奖2次。
甲袋有1红2白共3个球，有放回摸2次，所有等可能结果如下表：
| 第1次\第2次 | 红 | 白1 | 白2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白1) | (红,白2) |
| 白1 | (白1,红) | (白1,白1) | (白1,白2) |
| 白2 | (白2,红) | (白2,白1) | (白2,白2) |
共有9种等可能的结果，其中获得15元奖金（恰好1次红球、1次白球）的结果有4种，因此所求概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 分别计算三种抽奖方案的奖金平均值：
① 只选方案A抽2次：
获得0元的概率为$\frac{4}{9}$，获得15元的概率为$\frac{4}{9}$，获得30元（2次均为红球）的概率为$\frac{1}{9}$，
奖金平均值为：$0×\frac{4}{9}+15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}=10$（元）。
② 只选方案B抽1次：
乙袋有2红1白，摸到红球得10元的概率为$\frac{2}{3}$，得0元的概率为$\frac{1}{3}$，
奖金平均值为：$10×\frac{2}{3}+0×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}≈6.7$（元）。
③ 方案A、B各抽1次：
方案A得15元的概率为$\frac{1}{3}$，方案B得10元的概率为$\frac{2}{3}$，
奖金平均值为：$15×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{3}=\frac{35}{3}≈11.7$（元）。
对比三个平均值：$\frac{35}{3}＞10＞\frac{20}{3}$，因此选择方案A、B各抽一次最合算。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$
(2) 选择方案A、方案B各抽一次最合算，理由见解析。
【知识点】
概率计算，加权平均数，方案优化
【点评】
本题结合生活中的抽奖促销场景，将概率计算和平均数的实际应用相结合，既考查了古典概型的基础计算，也要求学生能通过量化分析做出合理决策，贴近生活实际，能有效锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
