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21.(10分)如图，$△ ABC$的顶点$C$在$△ ADE$的边$AD$上，$∠ BCD=∠ AED$，$AB// DE$，现以点$A$为圆心，$AE$的长为半径画弧，交$DE$于点$F$。
(1)求证：$△ ABC∽△ DAF$；
(2)若$BC:AE=9:10$，$DF=1.2$，求边$AC$的长。
(1)求证：$△ ABC∽△ DAF$；
(2)若$BC:AE=9:10$，$DF=1.2$，求边$AC$的长。
答案
21.(1)证明:由作图可知 $AF=AE,\therefore ∠ AEF=∠ AFE.$
$\because ∠ BCD=∠ AED,\therefore ∠ BCD=∠ AFE,$
$\therefore ∠ BCA=∠ AFD.$
又 $\because AB// DE,\therefore ∠ BAC=∠ ADF,$
$\therefore △ ABC∽ △ DAF.$
(2)解:$\because AE=AF,BC:AE=9:10,$
$\therefore BC:AF=9:10.$
$\because △ ABC∽ △ DAF,\therefore BC:AF=AC:DF.$
$\because DF=1.2,\therefore 9:10=AC:1.2,\therefore AC=1.08.$
$\because ∠ BCD=∠ AED,\therefore ∠ BCD=∠ AFE,$
$\therefore ∠ BCA=∠ AFD.$
又 $\because AB// DE,\therefore ∠ BAC=∠ ADF,$
$\therefore △ ABC∽ △ DAF.$
(2)解:$\because AE=AF,BC:AE=9:10,$
$\therefore BC:AF=9:10.$
$\because △ ABC∽ △ DAF,\therefore BC:AF=AC:DF.$
$\because DF=1.2,\therefore 9:10=AC:1.2,\therefore AC=1.08.$
解析
【分析】
(1)要证明△ABC∽△DAF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由作图得AF=AE，利用等腰三角形等边对等角得∠AEF=∠AFE，结合已知∠BCD=∠AED可推得∠BCA=∠AFD；再由AB//DE，根据平行线内错角相等得∠BAC=∠ADF，两组角对应相等即可证得相似。
(2)已知△ABC∽△DAF，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合AE=AF将BC:AE转化为BC:AF，代入已知的比例关系和DF的长度，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明：由作图可知 $AF=AE$，$\therefore ∠AEF=∠AFE$。
$\because ∠BCD=∠AED$，$\therefore ∠BCD=∠AFE$，
$\because ∠ACB+∠BCD=180°$，$∠AFD+∠AFE=180°$，$\therefore ∠BCA=∠AFD$。
又$\because AB// DE$，$\therefore ∠BAC=∠ADF$，
$\therefore △ ABC∽ △ DAF$。
(2)解：$\because AE=AF$，$BC:AE=9:10$，
$\therefore BC:AF=9:10$。
$\because △ ABC∽ △ DAF$，$\therefore BC:AF=AC:DF$。
将$DF=1.2$代入得：$9:10=AC:1.2$，
解得$AC=\frac{9×1.2}{10}=1.08$。
【答案】
(1) $△ ABC∽△ DAF$，证明成立；
(2) $AC=1.08$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题时需注意准确识别相似三角形的对应角和对应边，避免混淆。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC∽△DAF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由作图得AF=AE，利用等腰三角形等边对等角得∠AEF=∠AFE，结合已知∠BCD=∠AED可推得∠BCA=∠AFD；再由AB//DE，根据平行线内错角相等得∠BAC=∠ADF，两组角对应相等即可证得相似。
(2)已知△ABC∽△DAF，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合AE=AF将BC:AE转化为BC:AF，代入已知的比例关系和DF的长度，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明：由作图可知 $AF=AE$，$\therefore ∠AEF=∠AFE$。
$\because ∠BCD=∠AED$，$\therefore ∠BCD=∠AFE$，
$\because ∠ACB+∠BCD=180°$，$∠AFD+∠AFE=180°$，$\therefore ∠BCA=∠AFD$。
又$\because AB// DE$，$\therefore ∠BAC=∠ADF$，
$\therefore △ ABC∽ △ DAF$。
(2)解：$\because AE=AF$，$BC:AE=9:10$，
$\therefore BC:AF=9:10$。
$\because △ ABC∽ △ DAF$，$\therefore BC:AF=AC:DF$。
将$DF=1.2$代入得：$9:10=AC:1.2$，
解得$AC=\frac{9×1.2}{10}=1.08$。
【答案】
(1) $△ ABC∽△ DAF$，证明成立；
(2) $AC=1.08$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题时需注意准确识别相似三角形的对应角和对应边，避免混淆。
【难度系数】
0.7
22. (10分)如图,在$7×4$的方格纸中,点A、B、C都在格点上,按要求用无刻度直尺作图.
(1)在图1中作一个$△ CDE$,使$△ CDE$与$△ ABC$相似;(相似比不为1,只需作一个即可)
(2)在图2中的线段AC上找一点P,使$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{1}{3}$.
(1)在图1中作一个$△ CDE$,使$△ CDE$与$△ ABC$相似;(相似比不为1,只需作一个即可)
(2)在图2中的线段AC上找一点P,使$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{1}{3}$.
答案
22.解:(1)如图1,$△ CDE$ 即为所求.(答案不唯一)
(2)如图2,点 $P$ 即为所求.
解析
【分析】
(1) 要作与△ABC相似且相似比不为1的△CDE，首先可计算△ABC的边长特征：设小方格边长为1，求得BC=√5，AC=2√5，AB=5，可知△ABC是直角在C的直角三角形，且两直角边比为1:2。只需以C为直角顶点，作两直角边比为1:2、大小与△ABC不同的直角三角形，即可满足相似要求。
(2) △ABP和△BCP共顶点B，底边均在AC上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比，即AP:PC=1:3，只需利用格点构造平行线，通过平行线分线段成比例的性质，将AC按1:3分割即可得到点P。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1：
计算得$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=5$，
由$(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=5^2$，得$∠ ACB=90°$，且$BC:AC=1:2$。
在C点右侧取水平2格的点D，在D点上方取垂直4格的点E，连接CD、DE、CE：
此时$CD=2$，$DE=4$，$∠ CDE=90°$，$CD:DE=1:2=BC:AC$，$∠ CDE=∠ ACB=90°$，根据SAS判定可得$△ CDE ∽ △ ABC$，相似比不为1，符合要求（作法不唯一）。
(2) 因为$△ ABP$和$△ BCP$同高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，面积比等于底边长的比：
由$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{1}{3}$，得$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{3}$。
过A作竖直方向1格长的线段AD，过C作平行于AD的竖直方向3格长的线段CE，连接DE，DE与AC的交点即为P，此时由$△ APD ∽ △ CPE$可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{CE}=\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) 如图1,$△ CDE$ 即为所求.(答案不唯一)
(2) 如图2,点 $P$ 即为所求.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形面积计算
【点评】
本题属于格点作图类题型，综合考查了相似三角形、三角形面积性质的应用，需要结合网格特征灵活构造几何图形，对学生的作图能力和性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要作与△ABC相似且相似比不为1的△CDE，首先可计算△ABC的边长特征：设小方格边长为1，求得BC=√5，AC=2√5，AB=5，可知△ABC是直角在C的直角三角形，且两直角边比为1:2。只需以C为直角顶点，作两直角边比为1:2、大小与△ABC不同的直角三角形，即可满足相似要求。
(2) △ABP和△BCP共顶点B，底边均在AC上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比，即AP:PC=1:3，只需利用格点构造平行线，通过平行线分线段成比例的性质，将AC按1:3分割即可得到点P。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1：
计算得$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=5$，
由$(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=5^2$，得$∠ ACB=90°$，且$BC:AC=1:2$。
在C点右侧取水平2格的点D，在D点上方取垂直4格的点E，连接CD、DE、CE：
此时$CD=2$，$DE=4$，$∠ CDE=90°$，$CD:DE=1:2=BC:AC$，$∠ CDE=∠ ACB=90°$，根据SAS判定可得$△ CDE ∽ △ ABC$，相似比不为1，符合要求（作法不唯一）。
(2) 因为$△ ABP$和$△ BCP$同高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，面积比等于底边长的比：
由$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{1}{3}$，得$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{3}$。
过A作竖直方向1格长的线段AD，过C作平行于AD的竖直方向3格长的线段CE，连接DE，DE与AC的交点即为P，此时由$△ APD ∽ △ CPE$可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{CE}=\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) 如图1,$△ CDE$ 即为所求.(答案不唯一)
(2) 如图2,点 $P$ 即为所求.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形面积计算
【点评】
本题属于格点作图类题型，综合考查了相似三角形、三角形面积性质的应用，需要结合网格特征灵活构造几何图形，对学生的作图能力和性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
23.(12分)如图，△DAB和△EBC都是等腰三角形，A、B、C三点在一条直线上，DA=DB，EB=EC，∠ABD=∠CBE.
(1)求证：△DAB∽△EBC；
(2)连接AE交DB于点M，连接CD交EB于点N，连接MN，求证：△EMN∽△EAB.
(1)求证：△DAB∽△EBC；
(2)连接AE交DB于点M，连接CD交EB于点N，连接MN，求证：△EMN∽△EAB.
答案
23.证明:(1)$\because DA=DB,EB=EC,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA,∠ EBC=∠ ECB.$
$\because ∠ ABD=∠ CBE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA=∠ EBC=∠ ECB,$
$\therefore △ DAB∽ △ EBC.$
(2)由(1)知$∠ EBC=∠ DAB,\therefore BE// AD,$
$\therefore △ BEM∽ △ DAM,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{BE}{AD},\mathrm{同理}\frac{EN}{NB}=\frac{EC}{DB}.$
$\because BE=EC,AD=BD,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{EN}{NB},\therefore \frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}.$
$\because ∠ MEN=∠ AEB,\therefore △ EMN∽ △ EAB.$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA,∠ EBC=∠ ECB.$
$\because ∠ ABD=∠ CBE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA=∠ EBC=∠ ECB,$
$\therefore △ DAB∽ △ EBC.$
(2)由(1)知$∠ EBC=∠ DAB,\therefore BE// AD,$
$\therefore △ BEM∽ △ DAM,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{BE}{AD},\mathrm{同理}\frac{EN}{NB}=\frac{EC}{DB}.$
$\because BE=EC,AD=BD,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{EN}{NB},\therefore \frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}.$
$\because ∠ MEN=∠ AEB,\therefore △ EMN∽ △ EAB.$
解析
【分析】
(1)要证明△DAB∽△EBC，先利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两个三角形的底角分别与对应顶角相等，结合已知∠ABD=∠CBE，可推出两个三角形三组角对应相等，即可依据两角分别相等的判定定理证明相似。
(2)要证明△EMN∽△EAB，首先借助第一问的结论得到等角，推出BE//AD，可得△BEM∽△DAM，得到对应边的比例关系；同理得到另一组比例，结合等腰三角形等边的条件转化比例，得到$\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}$，再结合公共角∠MEN=∠AEB，即可依据两边成比例且夹角相等的判定定理证明相似。
【解析】
(1)证明：
$\because DA=DB,EB=EC,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA,∠ EBC=∠ ECB.$
$\because ∠ ABD=∠ CBE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA=∠ EBC=∠ ECB,$
$\therefore △ DAB∽ △ EBC.$
(2)证明：
由(1)知$∠ EBC=∠ DAB,\therefore BE// AD,$
$\therefore △ BEM∽ △ DAM,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{BE}{AD},\mathrm{同理}\frac{EN}{NB}=\frac{EC}{DB}.$
$\because BE=EC,AD=BD,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{EN}{NB},\therefore \frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}.$
$\because ∠ MEN=∠ AEB,\therefore △ EMN∽ △ EAB.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)证明见解析。
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.相似三角形的判定
3.平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形相似的常规综合证明题，第一问侧重基础，结合等腰三角形性质即可快速求证；第二问需要借助前一问结论推导平行线，再通过相似转化比例关系，对逻辑推理和知识迁移能力有一定考查，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△DAB∽△EBC，先利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两个三角形的底角分别与对应顶角相等，结合已知∠ABD=∠CBE，可推出两个三角形三组角对应相等，即可依据两角分别相等的判定定理证明相似。
(2)要证明△EMN∽△EAB，首先借助第一问的结论得到等角，推出BE//AD，可得△BEM∽△DAM，得到对应边的比例关系；同理得到另一组比例，结合等腰三角形等边的条件转化比例，得到$\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}$，再结合公共角∠MEN=∠AEB，即可依据两边成比例且夹角相等的判定定理证明相似。
【解析】
(1)证明：
$\because DA=DB,EB=EC,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA,∠ EBC=∠ ECB.$
$\because ∠ ABD=∠ CBE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA=∠ EBC=∠ ECB,$
$\therefore △ DAB∽ △ EBC.$
(2)证明：
由(1)知$∠ EBC=∠ DAB,\therefore BE// AD,$
$\therefore △ BEM∽ △ DAM,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{BE}{AD},\mathrm{同理}\frac{EN}{NB}=\frac{EC}{DB}.$
$\because BE=EC,AD=BD,$
$\therefore \frac{EM}{AM}=\frac{EN}{NB},\therefore \frac{EM}{EA}=\frac{EN}{EB}.$
$\because ∠ MEN=∠ AEB,\therefore △ EMN∽ △ EAB.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)证明见解析。
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.相似三角形的判定
3.平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形相似的常规综合证明题，第一问侧重基础，结合等腰三角形性质即可快速求证；第二问需要借助前一问结论推导平行线，再通过相似转化比例关系，对逻辑推理和知识迁移能力有一定考查，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
