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14.若$|2026 - a| + \sqrt{a - 2027} = a$，则$a - 2027^2$的值为
$-2026$
。答案
因为$|2026-a|+\sqrt{a-2027}=a$,所以$a-2027\ge0$,所以$a\ge2027$,所以$2026-a＜0$,所以$a-2026+\sqrt{a-2027}=a$,所以$\sqrt{a-2027}=2026$,所以$a-2027=2026^2$,即$a=2026^2+2027$.
所以$a-2027^2=2026^2+2027-2027^2=(2026+2027)×(2026-2027)+2027=-2026$.
所以$a-2027^2=2026^2+2027-2027^2=(2026+2027)×(2026-2027)+2027=-2026$.
15. 已知正实数$a,b,c,d$满足关系式$a+b+c+d=1$，设$s=\sqrt{3a^2 +1}+\sqrt{3b^2 +1}+\sqrt{3c^2 +1}+\sqrt{3d^2 +1}$，那么$s$与5的大小关系是
$s＜5$
。答案
$\because$正实数$a,b,c,d$满足关系式$a+b+c+d=1$,$\therefore 0＜a＜1$,$\therefore a^2＜a$,$\therefore \sqrt{3a^2+1}＜\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}=a+1$,同理$\sqrt{3b^2+1}＜b+1$,$\sqrt{3c^2+1}＜c+1$,$\sqrt{3d^2+1}＜d+1$,$\therefore s=\sqrt{3a^2+1}+\sqrt{3b^2+1}+\sqrt{3c^2+1}+\sqrt{3d^2+1}＜a+1+b+1+c+1+d+1=a+b+c+d+4=5$,即$s＜5$.
16. [杭州上城区期末] (1)【问题情境】请认真阅读下列这道例题的解法,并完成填空.
例:已知 $y=\sqrt{2025-x}+\sqrt{x-2025}+2026$, 求 $\frac{y}{x}$ 的值.
解:由 $\begin{cases}2025-x≥0, \\x-2025≥0,\end{cases}$ 得 $x=\_\_\_\_\_\_$,
$\therefore y=\_\_\_\_\_\_,\therefore \frac{y}{x}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【尝试应用】已知 $n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$, 求 $m-n$ 的值.
(3)【拓展创新】若等式 $\sqrt{a(x-a)}+\sqrt{a(y-a)}=\sqrt{x-a}-\sqrt{a-y}$ 在实数范围内成立,其中 $a,x,y$ 是两两不同的实数,求 $\frac{3x^2+xy-y^2}{x^2-xy+y^2}$ 的值.
例:已知 $y=\sqrt{2025-x}+\sqrt{x-2025}+2026$, 求 $\frac{y}{x}$ 的值.
解:由 $\begin{cases}2025-x≥0, \\x-2025≥0,\end{cases}$ 得 $x=\_\_\_\_\_\_$,
$\therefore y=\_\_\_\_\_\_,\therefore \frac{y}{x}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【尝试应用】已知 $n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$, 求 $m-n$ 的值.
(3)【拓展创新】若等式 $\sqrt{a(x-a)}+\sqrt{a(y-a)}=\sqrt{x-a}-\sqrt{a-y}$ 在实数范围内成立,其中 $a,x,y$ 是两两不同的实数,求 $\frac{3x^2+xy-y^2}{x^2-xy+y^2}$ 的值.
答案
(1)2025;2026;$\frac{2026}{2025}$
(2)由$n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$得$\begin{cases}mn-10\ge0,\\20-2mn\ge0,\end{cases}$解得$mn=10$,$\therefore n=-m+7$,即$m+n=7$,$\therefore (m-n)^2=(m+n)^2-4mn=49-40=9$,$\therefore m-n=\pm3$.
(3)由二次根式的性质可得,$a(x-a)\ge0,a(y-a)\ge0,x-a\ge0,a-y\ge0$.
由$a(x-a)\ge0$和$x-a\ge0$可以得到$a\ge0$.
由$a(y-a)\ge0$和$a-y\ge0$可以得到$a\le0$,
$\therefore a=0$,$\therefore \sqrt{x}-\sqrt{-y}=0$,$\therefore x=-y$,即$y=-x$.
由于$x,y,a$是两两不同的实数,$\therefore x＞0,y＜0$.
将$y=-x$代入原式得,原式$=\frac{3x^2+x(-x)-(-x)^2}{x^2-x(-x)+(-x)^2}=\frac{1}{3}$.
(2)由$n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$得$\begin{cases}mn-10\ge0,\\20-2mn\ge0,\end{cases}$解得$mn=10$,$\therefore n=-m+7$,即$m+n=7$,$\therefore (m-n)^2=(m+n)^2-4mn=49-40=9$,$\therefore m-n=\pm3$.
(3)由二次根式的性质可得,$a(x-a)\ge0,a(y-a)\ge0,x-a\ge0,a-y\ge0$.
由$a(x-a)\ge0$和$x-a\ge0$可以得到$a\ge0$.
由$a(y-a)\ge0$和$a-y\ge0$可以得到$a\le0$,
$\therefore a=0$,$\therefore \sqrt{x}-\sqrt{-y}=0$,$\therefore x=-y$,即$y=-x$.
由于$x,y,a$是两两不同的实数,$\therefore x＞0,y＜0$.
将$y=-x$代入原式得,原式$=\frac{3x^2+x(-x)-(-x)^2}{x^2-x(-x)+(-x)^2}=\frac{1}{3}$.
17. 新考法 阅读类比法 阅读下列解题过程.
例:若代数式$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-3)^2}$的值是2,求a的取值范围.
解:$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-3)^2}=|a-1|+|a-3|$,
当$a＜1$时,原式=$(1-a)+(3-a)=4-2a$,令$4-2a=2$,解得$a=1$(舍去);
当$1≤a≤3$时,原式=$(a-1)+(3-a)=2$,符合条件;
当$a＞3$时,原式=$(a-1)+(a-3)=2a-4$,令$2a-4=2$,解得$a=3$(舍去).
综上所述,a的取值范围是$1≤a≤3$.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述解法,解答问题.
(1)当$2≤a≤5$时,化简:$\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=$
(2)若等式$\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-7)^2}=4$成立,则a的取值范围是
(3)若$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=8$,求a的值.
例:若代数式$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-3)^2}$的值是2,求a的取值范围.
解:$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-3)^2}=|a-1|+|a-3|$,
当$a＜1$时,原式=$(1-a)+(3-a)=4-2a$,令$4-2a=2$,解得$a=1$(舍去);
当$1≤a≤3$时,原式=$(a-1)+(3-a)=2$,符合条件;
当$a＞3$时,原式=$(a-1)+(a-3)=2a-4$,令$2a-4=2$,解得$a=3$(舍去).
综上所述,a的取值范围是$1≤a≤3$.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述解法,解答问题.
(1)当$2≤a≤5$时,化简:$\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=$
3
.(2)若等式$\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-7)^2}=4$成立,则a的取值范围是
$3\le a\le7$
.(3)若$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=8$,求a的值.
答案
(1)3 $\because 2\le a\le5$,$\therefore a-2\ge0,a-5\le0$,$\therefore$原式$=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3$.
(2)$3\le a\le7$ $\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-7)^2}=|3-a|+|a-7|=4$,当$a\le3$时,$3-a\ge0,a-7＜0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=3-a-(a-7)=4$,解得$a=3$,符合题意;当$3＜a＜7$时,$3-a＜0,a-7＜0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=-(3-a)-(a-7)=4$,符合题意;当$a\ge7$时,$3-a＜0,a-7\ge0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=-(3-a)+(a-7)=4$,解得$a=7$,符合题意.综上所述,$a$的取值范围是$3\le a\le7$.
(3)$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a+1|+|a-5|=8$,
当$a\le-1$时,$a+1\le0,a-5＜0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=-(a+1)-(a-5)=8$,解得$a=-2$,符合题意;
当$-1＜a＜5$时,$a+1＞0,a-5＜0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=a+1-(a-5)=8$,此方程无解,舍去;
当$a\ge5$时,$a+1＞0,a-5\ge0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=a+1+a-5=8$,解得$a=6$,符合题意.
综上所述,$a=-2$或$a=6$.
(2)$3\le a\le7$ $\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-7)^2}=|3-a|+|a-7|=4$,当$a\le3$时,$3-a\ge0,a-7＜0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=3-a-(a-7)=4$,解得$a=3$,符合题意;当$3＜a＜7$时,$3-a＜0,a-7＜0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=-(3-a)-(a-7)=4$,符合题意;当$a\ge7$时,$3-a＜0,a-7\ge0$,$\therefore |3-a|+|a-7|=-(3-a)+(a-7)=4$,解得$a=7$,符合题意.综上所述,$a$的取值范围是$3\le a\le7$.
(3)$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a+1|+|a-5|=8$,
当$a\le-1$时,$a+1\le0,a-5＜0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=-(a+1)-(a-5)=8$,解得$a=-2$,符合题意;
当$-1＜a＜5$时,$a+1＞0,a-5＜0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=a+1-(a-5)=8$,此方程无解,舍去;
当$a\ge5$时,$a+1＞0,a-5\ge0$,$\therefore |a+1|+|a-5|=a+1+a-5=8$,解得$a=6$,符合题意.
综上所述,$a=-2$或$a=6$.
