1. 等腰三角形的两个底角，简称“ ”。

1. 相等 等边对等角

【分析】
这道题考查等腰三角形的基础性质，解题时先回忆等腰三角形的相关概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边为腰，腰和底边的夹角叫做底角。该知识点属于基础识记内容，根据所学的等腰三角形性质直接填写即可，其简称是依据“边相等推导出对应角相等”的逻辑命名的。
【解析】
根据等腰三角形的基本性质可得：等腰三角形的两个底角相等；因为该性质是由三角形的两条边相等，推导得到这两条边所对的角也相等，因此该性质简称为“等边对等角”。
【答案】
相等；等边对等角
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角
【点评】
本题属于基础识记类习题，直接考查等腰三角形的核心基础性质，熟练掌握该性质是后续解决等腰三角形相关角度计算、几何证明类题目的必要前提。
【难度系数】
0.9

2. 等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的相互重合，简写成“”。

2. 平分线 中线 高 三线合一

【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，解题时先回忆等腰三角形核心的“三线合一”性质内容：该性质描述的是三条特殊线段的重合关系，首先对应顶角的是角平分线，另外两条均针对底边，分别为底边上的中线、底边上的高，三条线互相重合，简称“三线合一”，按照该内容对应填空即可。
【解析】
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这一性质简写成“三线合一”，依次填入对应内容即可。
【答案】
平分线；中线；高；三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对等腰三角形核心性质的记忆掌握情况，牢记教材基础性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

1.(教材P79练习T1变式) 一题多变
(1)【已知顶角求底角】若一个等腰三角形的顶角为$50°$,则它的一个底角等于 ()
A.$40°$ B.$50°$ C.$60°$ D.$65°$
(2)【已知等腰三角形的一个角,求底角】等腰三角形的一个角是$100°$,则它的一个底角的度数是 ()
A.$80°$ B.$80°$或$40°$
C.$40°$ D.以上都不对
(3)【已知等腰三角形一个角,求顶角】等腰三角形的一个角是$50°$,则它的顶角度数是
.

1.(1) D (2) C (3) 50°或80°

【分析】
解题核心是利用等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理，结合分类讨论思想求解：
1. 第(1)问已知顶角为确定的50°，直接用内角和减去顶角后平分即可得到底角度数；
2. 第(2)问已知的100°是钝角，根据三角形内角和限制，钝角不可能为底角（否则两个底角和超过180°），因此该角只能是顶角，再计算底角即可；
3. 第(3)问已知的50°是锐角，既可能是顶角也可能是底角，需要分两种情况分别计算顶角度数，排除不符合内角和的情况即可。
【解析】
(1)
∵ 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，已知顶角为50°
∴ 一个底角的度数 = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°，故选D。
(2) 若等腰三角形的一个角为100°，假设该角为底角，则两个底角和为100°×2=200°＞180°，不符合三角形内角和定理，因此100°只能是顶角
∴ 一个底角的度数 = (180° - 100°) ÷ 2 = 40°，故选C。
(3) 分两种情况讨论：
① 当已知的50°角为顶角时，顶角度数就是50°；
② 当已知的50°角为底角时，顶角度数 = 180° - 2×50° = 80°。
两种情况均符合三角形内角和要求，因此顶角度数为50°或80°。
【答案】
(1) D (2) C (3) 50°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
这组题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题的关键是先判断已知角的类型，当已知角为锐角且未明确是顶角还是底角时，要分情况讨论，同时要结合三角形内角和验证结果是否合理，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

2.【教材P84习题T2变式】如图，$AB // CD$，点E在线段AD上，$AB=AE$，连接BE，若$∠ ADC=20°$，则$∠ B$的度数为。

2. 80°

【分析】
解题时先从已知条件AB//CD入手，根据平行线的内错角相等性质，先求出∠A的度数；再结合AB=AE可知△ABE是等腰三角形，其两个底角∠B与∠AEB相等，最后利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A = ∠ADC = 20°（两直线平行，内错角相等），
又
∵AB = AE，
∴△ABE为等腰三角形，∠B = ∠AEB，
在△ABE中，由三角形内角和为180°可得：
∠A + ∠B + ∠AEB = 180°，
代入∠A=20°、∠AEB=∠B得：
20° + 2∠B = 180°，
解得∠B = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过平行线得到角的等量关系，再结合等腰三角形的特征计算角度，熟练掌握基础几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

3.（1）（答题模板）如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AB=AD=DC$，$∠ C=35°$，求$∠ B$的度数。
解：$\because AD=CD$，$\therefore ∠ C=∠$$=35°$。
$\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAC=$$°$。
$\because AB=AD$，$\therefore ∠ ADB=∠$$=$$°$。
$\therefore ∠ B$的度数为。

（2）【针对练习】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$△ ABC$内一点，且$BD=DC$。求证：$∠ ABD=∠ ACD$。

3.(1) DAC 70 B 70 70° (2) 证明:$\because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BD=CD, \therefore ∠ DBC=∠ DCB. \therefore ∠ ABC - ∠ DBC=∠ ACB - ∠ DCB,即∠ ABD=∠ ACD.$

【分析】
（1）解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由AD=DC可得∠C与∠DAC相等，得到∠DAC的度数；再根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，计算出∠ADB的度数；最后再次利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AD可得∠B与∠ADB相等，即可求出∠B的度数。
（2）要证明∠ABD=∠ACD，先根据AB=AC，利用等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据BD=DC得到∠DBC=∠DCB，最后根据等式的性质，将两个等式左右两边分别相减，即可得到要证的结论。
【解析】
（1）$\because AD=CD$，$\therefore ∠C=∠DAC=35°$。
$\therefore ∠ADB=∠C+∠DAC=35°+35°=70°$。
$\because AB=AD$，$\therefore ∠ADB=∠B=70°$。
$\therefore ∠B$的度数为$70°$。
（2）证明：$\because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BD=CD, \therefore ∠ DBC=∠ DCB. \therefore ∠ ABC - ∠ DBC=∠ ACB - ∠ DCB,即∠ ABD=∠ ACD.$
【答案】
(1) DAC；70；B；70；$70°$
(2) 证明过程如上
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形外角的性质 3.等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确识别等腰三角形对应的相等内角，结合角的和差关系或外角性质即可顺利推导，是几何学习的常规基础题。
【难度系数】
0.85

4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$30°$,则等腰三角形顶角为 （）

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$60°$或$120°$

4. D

【分析】
遇到等腰三角形相关的角度计算问题，首先要考虑是否需要分类讨论：等腰三角形按角分类可分为锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形，腰上的高的位置会随三角形形状变化。本题中腰上的高与另一腰夹角为30°，首先排除直角等腰三角形（此时腰上的高与另一腰重合，夹角为0°，不符合题意），因此分两种情况讨论：①高在三角形内部（锐角等腰三角形）；②高在三角形外部（钝角等腰三角形），再结合直角三角形两锐角互余、邻补角的性质分别计算顶角度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部：
∵高与腰垂直，
∴高与腰的夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为30°，
在高、另一腰和两腰交点构成的直角三角形中，两锐角和为90°，
∴顶角 = 90° - 30° = 60°。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在三角形外部：
同理，高与腰的夹角为90°，高与另一腰的延长线夹角为30°，
在直角三角形中，另一个锐角为90° - 30° = 60°，该角是顶角的邻补角，
∴顶角 = 180° - 60° = 120°。
综上，等腰三角形的顶角为60°或120°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是只考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形中高在外部的情况导致漏解，解题时要注意结合图形的多种可能性全面分析。
【难度系数】
0.6

5.【性质辨析】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)若$AD⊥ BC$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=58°$，则$BD=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$∠ BAD=∠\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°$；
(2)若$BD=CD$，$∠ BAC=58°$，则$AD$$BC$，$∠ BAD=∠$$=$$°$；
(3)若$AD$平分$∠ BAC$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，则$BD=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$AD\_\_\_\_\_\_BC$.

5.(1) CD 3 CAD 29 (2) ⊥ CAD 29 (3) CD 3 ⊥

【分析】
本题考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题思路如下：首先明确△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，我们只需根据每个小问给出的其中一类“线”的条件，就能推导得到另外两类“线”对应的结论，再结合已知的边长、角度计算对应数值即可。
【解析】
已知△ABC中AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角，根据等腰三角形三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(1) 若AD⊥BC，说明AD是底边上的高，因此AD同时是底边BC的中线和∠BAC的角平分线：
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×58°=29°$；
(2) 若BD=CD，说明AD是底边上的中线，因此AD同时是底边上的高和∠BAC的角平分线：
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=29°$；
(3) 若AD平分∠BAC，说明AD是顶角的角平分线，因此AD同时是底边BC的中线和底边上的高：
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$，$AD⊥ BC$。
【答案】
(1) $\mathrm{CD}$，$3$，$\mathrm{CAD}$，$29$；(2) $⊥$，$\mathrm{CAD}$，$29$；(3) $\mathrm{CD}$，$3$，$⊥$
【知识点】
等腰三角形三线合一，角度计算，线段长度计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，核心考查对“三线合一”性质的理解与辨析，只要准确对应等腰三角形的顶角、底边，区分“三线”的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.85

6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD$是中线,$BE\bot AC$于点$E$.
求证:$∠ CBE=∠ DAC$.

02 综合练 关键能力提升

证明:$\because AB=AC,AD$是中线,$\therefore AD\bot BC,即∠ ADC=90°. \therefore ∠ C + ∠ DAC=90°. \because BE\bot AC, \therefore ∠ BEC=90°=∠ C + ∠ EBC. \therefore ∠ DAC=∠ EBC.$

【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知$AB=AC$说明$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是底边$BC$的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出$AD\bot BC$，得到$Rt△ ADC$，因此$∠ C$和$∠ DAC$互余；②已知$BE\bot AC$，可得$Rt△ BEC$，因此$∠ C$和$∠ CBE$互余。两个角都与$∠ C$互余，根据“同角的余角相等”即可证明两个角相等。
【解析】
证明：$\because AB=AC,AD$是中线，
$\therefore AD\bot BC$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ C + ∠ DAC=90°$。
$\because BE\bot AC$，
$\therefore ∠ BEC=90°$，即$∠ C + ∠ EBC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ EBC$，即$∠ CBE=∠ DAC$。
【答案】
证明:$\because AB=AC,AD$是中线,$\therefore AD\bot BC,即∠ ADC=90°. \therefore ∠ C + ∠ DAC=90°. \because BE\bot AC, \therefore ∠ BEC=90°=∠ C + ∠ EBC. \therefore ∠ DAC=∠ EBC.$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础的几何证明题，考查等腰三角形性质和余角性质的综合运用，解题的突破口是通过垂直关系得到两组和公共角$∠ C$互余的角，进而推导角相等，掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8