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1.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
答案
1. 解:设∠1=∠2=x,则∠4=∠3=2x.
∵∠BAC=63°,
∴∠2+∠4=117°. 即x+2x=117°.解得x=39°.
∴∠DAC=∠BAC-∠1=24°.
∵∠BAC=63°,
∴∠2+∠4=117°. 即x+2x=117°.解得x=39°.
∴∠DAC=∠BAC-∠1=24°.
解析
【分析】
解题时可利用方程思想简化计算：首先根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠3=∠1+∠2，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可推出∠3=∠4=2∠2；再根据三角形内角和为180°，已知∠BAC=63°，可得到∠2+∠4=180°-63°=117°，代入角的倍数关系求出∠1的度数，最后用∠BAC减去∠1即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=∠1+∠2=2x。
∵在△ABC中，∠BAC+∠2+∠4=180°，且∠BAC=63°，
∴∠2+∠4=180°-63°=117°，即x+2x=117°，
解得x=39°，即∠1=39°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，重点考查三角形相关性质的应用，通过设未知数表示各角的关系能让解题过程更清晰，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时可利用方程思想简化计算：首先根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠3=∠1+∠2，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可推出∠3=∠4=2∠2；再根据三角形内角和为180°，已知∠BAC=63°，可得到∠2+∠4=180°-63°=117°，代入角的倍数关系求出∠1的度数，最后用∠BAC减去∠1即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=∠1+∠2=2x。
∵在△ABC中，∠BAC+∠2+∠4=180°，且∠BAC=63°，
∴∠2+∠4=180°-63°=117°，即x+2x=117°，
解得x=39°，即∠1=39°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，重点考查三角形相关性质的应用，通过设未知数表示各角的关系能让解题过程更清晰，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2.【教材P18“阅读与思考”变式】阅读材料:为了证明“三角形的内角和是$180°$”,杨老师给出了四种作辅助线的方法,如图所示.解答下列问题:
(1)图①②在证明“三角形的内角和是$180°$”的过程中,应用的数学思想是（
A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用图③或图④证明三角形的内角和是$180°$.
(1)图①②在证明“三角形的内角和是$180°$”的过程中,应用的数学思想是（
A
）A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用图③或图④证明三角形的内角和是$180°$.
答案
2. (1) A (2) 解:选择图④.证明如下:
∵CD//AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD,
∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°,即三角形的内角和是180°.
∵CD//AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD,
∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°,即三角形的内角和是180°.
解析
【分析】
(1) 要判断证明过程应用的数学思想，首先回忆已学的和180°相关的角的结论：平角为180°、两直线平行同旁内角互补。图①②的辅助线都是将三角形的三个内角转化为已知的和为180°的角，把未知的三角形内角和问题转化为已学的角的关系问题，对应转化思想。
(2) 选择图④证明时，思路是过点C作AB的平行线，利用平行线的性质把∠A转移到和∠ACB、∠B同旁的位置，凑成同旁内角，借助同旁内角互补的性质，通过等量代换得到三个内角的和为180°。
【解析】
(1) 图①②均通过作辅助线，将三角形三个内角转化为平角或互补的同旁内角，利用已知的180°角的结论推导三角形内角和，应用了转化思想，故选A。
(2) 选择图④证明，过程如下：
过点C作CD//AB，
∵CD//AB，
∴∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD（角的和的定义），
∴代入可得∠B+∠ACB+∠A=180°，即三角形的内角和是180°。
【答案】
(1) A
(2) 选择图④.证明如下:
∵CD//AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD,
∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°,即三角形的内角和是180°.
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；转化思想
【点评】
本题立足教材基础推导内容，考查几何证明的逻辑思路与规范书写，核心是通过作辅助线利用平行线性质实现角的转化，帮助学生理解几何定理的推导逻辑，体会数学思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断证明过程应用的数学思想，首先回忆已学的和180°相关的角的结论：平角为180°、两直线平行同旁内角互补。图①②的辅助线都是将三角形的三个内角转化为已知的和为180°的角，把未知的三角形内角和问题转化为已学的角的关系问题，对应转化思想。
(2) 选择图④证明时，思路是过点C作AB的平行线，利用平行线的性质把∠A转移到和∠ACB、∠B同旁的位置，凑成同旁内角，借助同旁内角互补的性质，通过等量代换得到三个内角的和为180°。
【解析】
(1) 图①②均通过作辅助线，将三角形三个内角转化为平角或互补的同旁内角，利用已知的180°角的结论推导三角形内角和，应用了转化思想，故选A。
(2) 选择图④证明，过程如下：
过点C作CD//AB，
∵CD//AB，
∴∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD（角的和的定义），
∴代入可得∠B+∠ACB+∠A=180°，即三角形的内角和是180°。
【答案】
(1) A
(2) 选择图④.证明如下:
∵CD//AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD,
∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°,即三角形的内角和是180°.
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；转化思想
【点评】
本题立足教材基础推导内容，考查几何证明的逻辑思路与规范书写，核心是通过作辅助线利用平行线性质实现角的转化，帮助学生理解几何定理的推导逻辑，体会数学思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.8
3. 下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（
D
）答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先明确核心知识点：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，生活中需要固定、稳固的结构通常会利用三角形的稳定性设计，需要灵活变形的结构通常会利用四边形的不稳定性设计。接下来逐个分析四个选项的结构特点，判断其应用的几何特性即可得到答案。
【解析】
首先明确相关几何性质：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
选项A：太阳能热水器的支撑支架为三角形结构，利用三角形稳定性保持热水器的稳固，不符合题意；
选项B：篮球架的支撑部位设计有三角形结构，利用三角形稳定性保障篮球架的牢固，不符合题意；
选项C：三脚架为三角形支撑结构，利用三角形稳定性保持放置在上方的相机平稳，不符合题意；
选项D：活动衣架是菱形（属于四边形）结构，利用的是四边形的不稳定性实现伸缩变形，没有应用三角形的稳定性，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题紧密联系生活实际考查几何图形的特性，同学们要注意区分三角形稳定性和四边形不稳定性的应用场景，多观察生活中的几何应用，就能轻松解答这类问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确核心知识点：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，生活中需要固定、稳固的结构通常会利用三角形的稳定性设计，需要灵活变形的结构通常会利用四边形的不稳定性设计。接下来逐个分析四个选项的结构特点，判断其应用的几何特性即可得到答案。
【解析】
首先明确相关几何性质：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
选项A：太阳能热水器的支撑支架为三角形结构，利用三角形稳定性保持热水器的稳固，不符合题意；
选项B：篮球架的支撑部位设计有三角形结构，利用三角形稳定性保障篮球架的牢固，不符合题意；
选项C：三脚架为三角形支撑结构，利用三角形稳定性保持放置在上方的相机平稳，不符合题意；
选项D：活动衣架是菱形（属于四边形）结构，利用的是四边形的不稳定性实现伸缩变形，没有应用三角形的稳定性，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题紧密联系生活实际考查几何图形的特性，同学们要注意区分三角形稳定性和四边形不稳定性的应用场景，多观察生活中的几何应用，就能轻松解答这类问题。
【难度系数】
0.9
4.【新中考·跨物理学科】如图是汽车灯的剖面图，从位于点O的灯发出的光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD互相平行，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（
A.$180° - α$
B.$120° - α$
C.$60° + α$
D.$60° - α$
C
）A.$180° - α$
B.$120° - α$
C.$60° + α$
D.$60° - α$
答案
4. C
解析
【分析】
本题是平行线性质的应用类题型，已知两条平行光线BA、CD，要求夹在二者之间的∠BOC的度数，可通过过拐点O作平行线的辅助线方法求解：过点O作平行于AB的直线，根据平行公理的推论可得到这条辅助线也和CD平行，再利用“两直线平行，内错角相等”分别求出∠BOC被辅助线分成的两个小角的度数，相加即可得到最终结果。
【解析】
过点O作OE//AB，
∵ BA//CD（已知），
∴ OE//AB//CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠BOE=∠ABO=α，
∠COE=∠DCO=60°，
∴ ∠BOC=∠BOE+∠COE=α+60°=60°+α。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题为跨物理学科的融合题，将数学几何知识与光学反射原理结合，核心考查平行线相关性质的实际应用，掌握平行线间折线问题的辅助线作法是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
本题是平行线性质的应用类题型，已知两条平行光线BA、CD，要求夹在二者之间的∠BOC的度数，可通过过拐点O作平行线的辅助线方法求解：过点O作平行于AB的直线，根据平行公理的推论可得到这条辅助线也和CD平行，再利用“两直线平行，内错角相等”分别求出∠BOC被辅助线分成的两个小角的度数，相加即可得到最终结果。
【解析】
过点O作OE//AB，
∵ BA//CD（已知），
∴ OE//AB//CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠BOE=∠ABO=α，
∠COE=∠DCO=60°，
∴ ∠BOC=∠BOE+∠COE=α+60°=60°+α。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题为跨物理学科的融合题，将数学几何知识与光学反射原理结合，核心考查平行线相关性质的实际应用，掌握平行线间折线问题的辅助线作法是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
