7 [2025 四川资阳中考]如图,在四边形$ABCD$中,$∠ A = ∠ B$,点$E$在线段$AB$上,$CE // DA$.若使$△ BCE$成为等边三角形,可增加的一个条件是.

7. $∠BCE=∠B$(答案不唯一) 【解析】要使$△BCE$成为等边三角形,可增加的一个条件是$∠BCE=∠B$.理由如下:
∵ $CE// DA$,
∴ $∠A=∠BEC$.
∵ $∠A=∠B$,
∴ $∠B=∠BEC$.
∵ $∠BCE=∠B$,
∴ $∠B=∠BCE=∠BEC$,
∴ $△BCE$ 是等边三角形. 故答案为 $∠BCE=∠B$(答案不唯一).

8[江苏泰州中考]如图,CD是五边形ABCDE的一边,若AM垂直平分CD,垂足为M,且,,则.
给出下列信息:①AM平分∠BAE;②AB=AE;③BC=DE.请从中选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.

8.【解】根据题意补全图形并连接 AC,AD,如图所示.
方法一:依次填入②③①(或③②①).
证明:
∵ AM 垂直平分 CD,
∴ CM=DM,AC=AD.
在$△ACM$与$△ADM$中,$\begin{cases} AM=AM, \\ AC=AD, \\ CM=DM, \end{cases}$
∴ $△ACM≌ △ADM(\mathrm{SSS})$,
∴ $∠CAM=∠DAM$.
在$△ABC$与$△AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ AC=AD, \\ BC=ED, \end{cases}$
∴ $△ABC≌ △AED$(SSS),
∴ $∠BAC=∠EAD$. 又
∵ $∠CAM=∠DAM$,
∴ $∠BAC+∠CAM = ∠EAD + ∠DAM$, 即 $∠BAM = ∠EAM=\frac{1}{2}∠BAE$,
∴ AM 平分$∠BAE$.
方法二:依次填入①②③(或②①③).
证明:
∵ AM 垂直平分 CD,
∴ CM=DM,AC=AD. 在$△ACM$与$△ADM$中,$\begin{cases} AM=AM, \\ AC=AD, \\ CM=DM, \end{cases}$
∴ $△ACM≌ △ADM$(SSS),
∴ $∠CAM=∠DAM$.
∵ AM 平分$∠BAE$,
∴ $∠BAM=∠EAM$. 又
∵ $∠CAM=∠DAM$,
∴ $∠BAM-∠CAM=∠EAM-∠DAM$,即$∠BAC=∠EAD$. 在$△ABC$与$△AED$中,$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AB=AE, \end{cases}$
∴ $△ABC≌ △AED$(SAS),
∴ $BC=DE$. (选择一种方法即可)

9[2024山东青岛中考]已知:如图,四边形ABCD,E为DC边上一点.
求作:四边形内一点P,使EP//BC,且点P到AB,AD的距离相等.

9.【解】如图,点 P 即为所求.

10[2025湖南长沙中考]衣服穿戴整不整齐,系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道,要严格遵守国家法律法规.同样的道理,学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如:下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果$a,b,c$为实数,且满足$a+b=-c$.那么$2=1$.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有$a+b=-c$;①
第二步:根据七年级学过的整式运算法则有$a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c$;②
第三步:把②代入①,可得$(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)$;③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等,变形可得$2(a+b+c)=(a+b+c)$;④
第五步:把④两边同时除以$(a+b+c)$,得$2=1$.⑤
请你判断上述推理过程中,第步是错误的,它违背了数学的基本法则.

10. 五 【解析】等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式,等式仍然成立. 对于等式 $2(a+b+c)=(a+b+c)$,
∵ $a+b=-c$,
∴ $a+b+c=0$,故该等式恒成立,且该等式两边不能同时除以$(a+b+c)$,
∴ 第五步是错误的. 故答案为五.

11[2024广西中考]综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二:将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水.
浓度关系式：$d_{后}=\frac{0.5d_{前}}{0.5+w}$. 其中$d_{前},d_{后}$分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；$w$为单次漂洗所加清水量(单位:kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

11.【解】(1) 把 $d_后=0.01\%$,$d_前=0.2\%$ 代入 $d_后=\frac{0.5d_前}{0.5+w}$,得 $0.01\%=\frac{0.5×0.2\%}{0.5+w}$,解得 $w=9.5$.
经检验,$w=9.5$ 是原分式方程的解,且符合题意.
∴ 如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0.01%,需要 9.5 kg 清水.
(2)第一次漂洗:把 $w=2\ \mathrm{kg}$,$d_前=0.2\%$ 代入 $d_后=\frac{0.5d_前}{0.5+w}$,得 $d_后=\frac{0.5×0.2\%}{0.5+2}=0.04\%$,
第二次漂洗:把 $w=2\ \mathrm{kg}$,$d_前=0.04\%$ 代入 $d_后=\frac{0.5d_前}{0.5+w}$,得 $d_后=\frac{0.5×0.04\%}{0.5+2}=0.008\%$,而 $0.008\%＜0.01\%$,
∴ 进行两次漂洗,能达到洗衣目标.
(3)由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,
∴ 从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.(言之有理即可)