1.「2026四川成都期中」如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，若$∠ ABC=66°$，$∠ ACB=58°$，则$∠ FOB$的度数为。

$\boldsymbol{62°}$

解：
∵ BE是∠ABC的平分线，∠ABC=66°
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×66° = 33°$
∵ CF是∠ACB的平分线，∠ACB=58°
∴ ∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×58° = 29°$
∵ ∠FOB是△BOC的外角
∴ ∠FOB = ∠OBC + ∠OCB = 33° + 29° = 62°

2.在△ABC中，BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线，BD,CE相交于点P.
（1）如图1，若∠A=60°,∠ACB=90°,则∠BPC=°.
（2）如图2，若∠A=60°,∠ACB不是直角，求∠BPC的度数.
（3）有位同学在解答(1)(2)后得出∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由.

$\boldsymbol{120}$
(2) 在△ABC中，∠A=60°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 120°，
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
在△BPC中，∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 60° = 120°。
(3) 该规律正确，理由如下：
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
在△BPC中，
∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，
∴ 该同学得出的规律正确。

解：
(1) 在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠ACB=30°，
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=15°，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴ ∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-15°-45°=120°。

3.「2026山东淄博期中」如图，$△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB = 90°$，$AD$为$∠ CAB$的平分线，$BG$是$△ ABC$的外角平分线，射线$AD$与$BG$相交于点$G$，则$∠ ADC + ∠ GBF =$ °。

答案 135
解析 由题意得$∠ G=\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}×90°=45°$,
$\because BG$平分$∠ CBF,\therefore ∠ DBG=∠ GBF$,
$\because ∠ GDB = ∠ ADC,\therefore ∠ ADC + ∠ GBF = ∠ GDB + ∠ DBG=180°-∠ G=180°-45°=135°$.

4.如图1,在$△ ABC$中,$BA_1$平分$∠ ABC$,$CA_1$平分$∠ ACD$,$BA_1$,$CA_1$相交于点$A_1$.
(1)若$∠ A_1=30°$,求$∠ A$的度数.
(2)求证:$∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A$.
(3)如图2,继续作$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$;作$∠ A_2BC$和$∠ A_2CD$的平分线交于点$A_3$,得$∠ A_3$;……,依次得到$∠ A_{2026}$,若$∠ A=α$,则$∠ A_{2026}=$.

(1)$\because BA_1$平分$∠ ABC$,$CA_1$平分$∠ ACD$,
$\therefore ∠ ABC=2∠ A_1BC$,$∠ ACD=2∠ A_1CD$,
在$△ ABC$中,$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$,
在$△ A_1BC$中,$∠ A_1CD=∠ A_1+∠ A_1BC$,
$\therefore ∠ A+∠ ABC=2(∠ A_1+∠ A_1BC)$,
整理得$∠ A=2∠ A_1$,$\because ∠ A_1=30°$,$\therefore ∠ A=60°$.
(2)证明:由(1)可知$∠ A=2∠ A_1$,$\therefore ∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A$.
(3)$\frac{α}{2^{2026}}$
详解:由(2)得$∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A$,同理可得,$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{1}{2^2}∠ A$,$∠ A_3=\frac{1}{2^3}∠ A$,$······$,$∠ A_n=\frac{1}{2^n}∠ A$,
$\because ∠ A=α$,$\therefore ∠ A_{2026}=\frac{α}{2^{2026}}$.