10.一个三角形的三边长分别为2,5,x,另一个三角形的三边长分别为y,2,6.若这两个三角形全等,则$x+y$的值为（）

A.11
B.7
C.8
D.13

10.A

【分析】
要解决本题，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，两个全等三角形的三边长完全相同。首先观察两个三角形都有长度为2的边，可确定长度为2的边是对应边，剩余的两组边也分别对应相等，由此可推出两个三角形的三边长均为2、5、6，进而求出x、y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
∵ 两个三角形全等，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，两个三角形的三边长完全相同。
已知两个三角形都有边长为2的边，因此长度为2的边为对应边，剩余两组边也对应相等，即两个三角形的三边长均为2、5、6。
∴ 第一个三角形中未知边x=6，第二个三角形中未知边y=5。
∴ x+y=6+5=11。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是基础题，核心考查全等三角形对应边相等的应用，解题时先通过已知等长的边确定对应关系，再匹配其余边的长度即可，不易出错。
【难度系数】
0.8

11.如图，若这两个三角形全等，则$∠α$的度数为（）

A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$

11.B

【分析】
解题思路可分为两步：首先利用三角形内角和求出第一个三角形未知的内角度数，再结合全等三角形的性质确定∠α的对应角，即可求出结果。思考过程：已知两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边的夹角为对应角，对应角相等。先计算第一个三角形的第三个内角：第一个三角形已知两个角分别为60°、65°，结合三角形内角和为180°可算出第三个角。再观察边的对应关系：∠α是第二个三角形中边a和边c的夹角，对应第一个三角形中边a和边c的夹角，也就是刚算出的第三个角，二者相等即可得到∠α的度数。
【解析】
解：首先根据三角形内角和定理，计算第一个三角形的第三个内角：
$180° - 60° - 65° = 55°$
因为两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，且∠α是第二个三角形中边a与边c的夹角，对应第一个三角形中边a与边c的夹角（即上述求出的55°角），因此$∠α = 55°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用，解题的核心是准确识别对应边的夹角作为对应角，避免因找错对应角失分，同时要熟练掌握三角形内角和的计算。
【难度系数】
0.8

12.如图，$△ ABC ≌ △ DBE$，$BD ⊥ AB$，$AC$，$DE$交于点$F$。若$∠ C = 40°$，$∠ D = 20°$，则$∠ AFE$的度数是。

（第12题图）
（第13题图）

12.$50°$

【分析】
求解本题的核心是先利用全等三角形的性质得到对应角的度数，再结合垂直的定义得到直角，最后通过角度关系推导所求角。第一步，根据全等三角形对应角相等，得到∠A=∠D、∠C=∠E，以及对应角∠ABC=∠DBE；第二步，由BD⊥AB得到∠ABD=90°，在△ABC中利用内角和算出∠ABC的度数，进一步得到相关角的度数；第三步，结合三角形内角和与外角性质，算出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ DBE$，
∴$∠ A = ∠ D = 20°$，$∠ C = ∠ E = 40°$，$∠ ABC = ∠ DBE$。
∵$BD ⊥ AB$，
∴$∠ ABD = 90°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 20° - 40° = 120°$，
∴$∠ DBE = 120°$，
∴$∠ ABE = ∠ DBE - ∠ ABD = 120° - 90° = 30°$。
根据三角形外角性质，$∠ AFE = ∠ A + ∠ E - (∠ DBE - 90° - ∠ ABE)=20° + 40° - 10°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题属于中等难度的角度计算题，需要熟练掌握全等三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和、外角性质求解，解题关键是找准全等三角形的对应角，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.6

13. 分类讨论 新理念 如图，$AB=12$，$CA⊥ AB$于点$A$，$DB⊥ AB$于点$B$，且$AC=4$，$P$在线段$AB$上，$Q$在射线$BD$上。若$△ CAP$与$△ PQB$全等，则$AP$的长为。

13.8或6

【分析】
已知CA⊥AB、DB⊥AB，可得∠A=∠B=90°，△CAP和△PQB均为直角三角形。由于题目未明确两个全等三角形的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的关系，再结合AB=12的已知条件分别计算AP的长度即可。
【解析】
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°。
△CAP与△PQB全等，分两种情况讨论：
1. 当△CAP≌△PBQ时，对应边相等：AC=PB，AP=BQ。
已知AC=4，
∴PB=4，又
∵AB=AP+PB=12，
∴AP=AB-PB=12-4=8。
2. 当△CAP≌△QBP时，对应边相等：AP=PB，AC=BQ。
∵AB=AP+PB=12，
∴AP=PB=12÷2=6。
综上，AP的长为8或6。
【答案】
8或6
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略全等三角形未明确对应顶点的情况，漏分类讨论导致少解。解题时遇到全等未指明对应关系的题目，要结合已知角的对应关系，分情况讨论对应边，避免漏解。
【难度系数】
0.6

14.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$在$BC$上,已知$△ ABE≌△ ACD$.
(1)若$BE=6,DE=2$,求$BC$的长;
(2)若$∠ BAC=75°,∠ BAD=30°$,求$∠ DAE$的度数.

14.解:(1)$\because △ABE≌△ACD,\therefore CD=BE=6.\therefore CE=CD-DE=4. \therefore BC = BE + CE = 10.$ (2) $\because ∠BAC = 75°,∠BAD = 30°,\therefore ∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°. \because △ABE≌△ACD,\therefore ∠BAE=∠CAD=45°.$$\therefore ∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.$

【分析】
(1) 解题首先利用全等三角形对应边相等的性质，已知$△ ABE≌△ ACD$，可得$CD=BE$，先结合$DE$的长度求出$CE$的长度，再根据$BC=BE+CE$即可求出$BC$的长。
(2) 先利用角的和差关系求出$∠ CAD$的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质得到$∠ BAE=∠ CAD$，最后用$∠ BAE$减去$∠ BAD$就能求出$∠ DAE$的度数。
【解析】
(1) $\because △ ABE≌△ ACD$，根据全等三角形对应边相等的性质，$\therefore CD=BE=6$，
$\therefore CE=CD-DE=6-2=4$，
$\therefore BC=BE+CE=6+4=10$。
(2) $\because ∠ BAC=75°$，$∠ BAD=30°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=75°-30°=45°$，
$\because △ ABE≌△ ACD$，根据全等三角形对应角相等的性质，$\therefore ∠ BAE=∠ CAD=45°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=45°-30°=15°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{15°}$
【知识点】
1.全等三角形的性质 2.线段和差计算 3.角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合线段与角的和差关系计算即可，是巩固全等三角形性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

15.如图，点B,C,D在同一条直线上，$△ ABC ≌ △ CDE$，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，$CE = 10$.
(1)求$△ ABC$的周长；
(2)求$△ ACE$的面积.

15.解:(1)$\because △ABC≌△CDE,\therefore AC=CE=10.$$\because AB=6,BC=8,\therefore △ABC$的周长为$AB+BC+AC=6+8+10=24.$ (2) $\because △ABC≌△CDE,\therefore ∠ECD=∠BAC. \because ∠B=90°,∴∠ACB+∠BAC=90°. \therefore ∠ACB+∠ECD=90°. \therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°.$ 由(1),得 $AC=CE=10,\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· CE=50.$

【分析】
(1) 求△ABC的周长需要知道三边长度，已知AB和BC的长度，只需先求AC的长度即可。根据全等三角形对应边相等的性质，由△ABC≌△CDE可得AC=CE=10，将三边相加即可算出周长。
(2) 求△ACE的面积需要先判断三角形的形状：利用全等三角形对应角相等的性质得到∠ECD=∠BAC，结合直角三角形两锐角互余可推出∠ACB+∠ECD=90°，再根据平角为180°可证得∠ACE=90°，即△ACE是直角边为10的等腰直角三角形，代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because △ABC≌△CDE$，全等三角形对应边相等，
$\therefore AC=CE=10$，
又$\because AB=6,BC=8$，
$\therefore △ABC$的周长为$AB+BC+AC=6+8+10=24$。
(2) $\because △ABC≌△CDE$，全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠ECD=∠BAC$，
$\because ∠B=90°$，直角三角形两锐角互余，
$\therefore ∠ACB+∠BAC=90°$，
等量代换得$∠ACB+∠ECD=90°$，
$\because$ 点B、C、D在同一条直线上，$∠ BCD$为平角等于$180°$，
$\therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=180°-90°=90°$，
由(1)得$AC=CE=10$，
$\therefore S_{△ACE}=\frac{1}{2}AC· CE=\frac{1}{2}×10×10=50$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{50}$
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 直角三角形的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是灵活运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推导得到所需的边长和角的度数，再结合周长、面积公式求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

16. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$。
(1)BD，DE，CE之间有何数量关系？请说明理由；
(2)当$△ ABD$满足什么条件时，$BD // CE$？请说明理由。

16.解:(1)$BD=CE+DE$.理由如下:$\because △BAD≌△ACE,\therefore BD=AE,AD=CE. \because AE=AD+DE=CE+DE,\therefore BD=CE+DE.$ (2)当$△ABD$满足$∠ADB=90°$(或$BD⊥AD$)时,$BD// CE$.理由如下:$\because △BAD≌△ACE,\therefore ∠E=∠ADB. \because BD// CE,$$\therefore ∠BDE=∠E. \therefore ∠ADB=∠BDE. \because ∠BDE+∠ADB=180°,∴∠ADB=90°.$

【分析】
(1) 推导三条线段的数量关系时，首先利用全等三角形对应边相等的性质，找到与BD、CE对应的相等线段：已知△BAD≌△ACE，可得BD=AE、AD=CE；再观察共线线段AE的组成，AE=AD+DE，将AD替换为CE即可得到三条线段的数量关系。
(2) 判断BD//CE的条件时，先根据平行线的判定定理，内错角相等则两直线平行，即∠BDE=∠E时BD//CE；结合全等三角形对应角相等可得∠E=∠ADB，因此∠ADB=∠BDE；又因为∠ADB和∠BDE是邻补角，和为180°，即可推出∠ADB=90°，得到△ABD需要满足的条件。
【解析】
(1) $BD=CE+DE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应边相等的性质，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$。
$\because$ A、D、E三点在同一条直线上，$\therefore AE=AD+DE$，
将$AD=CE$代入得$AE=CE+DE$，
$\therefore BD=CE+DE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$（或$BD ⊥ AD$）时，$BD // CE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应角相等的性质，
$\therefore ∠ E = ∠ ADB$。
若$BD // CE$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ BDE = ∠ E$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ BDE$。
$\because$ A、D、E三点在同一条直线上，$∠ BDE + ∠ ADB = 180°$，
$\therefore 2∠ ADB = 180°$，即$∠ ADB = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE+DE}$；
(2) 当$△ ABD$满足$\boldsymbol{∠ ADB=90°}$（或$BD ⊥ AD$）时，$BD // CE$。
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定与性质、邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，解题核心是灵活运用全等三角形对应边、对应角相等的性质进行等量代换，结合线段和差关系、平行线判定定理推导结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7