登录
9.(几何直观)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,点D是BC的中点,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F.求证:$∠ B=∠ C$.
答案
9.$\because$ AD 平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore DE=DF$.$\because$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD$.在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} DE=DF, \\ BD=CD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ C$
解析
【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明包含这两个角的△BDE和△CDF全等来推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知AD平分∠BAC、DE⊥AB、DF⊥AC，可得出DE=DF；再由D是BC中点，可得BD=CD。此时△BDE和△CDF都是直角三角形，且斜边和一条直角边对应相等，可根据HL判定两个直角三角形全等，最后利用全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} DE=DF \\ BD=CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$
【答案】
$\because$ AD 平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore DE=DF$.$\because$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD$.在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} DE=DF, \\ BD=CD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ C$
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，解题的关键是结合已知条件找到证明三角形全等的对应边，梳理清楚逻辑推导顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠C，可通过证明包含这两个角的△BDE和△CDF全等来推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知AD平分∠BAC、DE⊥AB、DF⊥AC，可得出DE=DF；再由D是BC中点，可得BD=CD。此时△BDE和△CDF都是直角三角形，且斜边和一条直角边对应相等，可根据HL判定两个直角三角形全等，最后利用全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} DE=DF \\ BD=CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$
【答案】
$\because$ AD 平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore DE=DF$.$\because$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD$.在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} DE=DF, \\ BD=CD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ C$
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，解题的关键是结合已知条件找到证明三角形全等的对应边，梳理清楚逻辑推导顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.(鞍山中考)如图,在四边形$ABCD$中,$∠ B=∠ D=90°$,点$E,F$分别在$AB,AD$上,$AE=AF$,$CE=CF$,求证:$CB=CD$.
答案
10.连接 AC,在$△ AEC$和$△ AFC$中,$\begin{cases} AC=AC, \\ CE=CF, \\ AE=AF, \end{cases}$$\therefore △ AEC≌△ AFC(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ CAE=∠ CAF$,即 AC 为$∠ BAD$的平分线,$\because ∠ B=∠ D=90°,\therefore CB=CD$
解析
【分析】
要证明$CB=CD$，结合已知$∠ B=∠ D=90°$，可知$CB$、$CD$是点$C$到$∠ BAD$两边的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明$AC$是$∠ BAD$的角平分线即可。已知$AE=AF$、$CE=CF$，加上公共边$AC$，可先通过SSS判定$△ AEC$和$△ AFC$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ CAE=∠ CAF$，即可推出$AC$是角平分线，进而得到$CB=CD$。
【解析】
证明：连接$AC$，
在$△ AEC$和$△ AFC$中：
$\begin{cases}AC=AC\quad (\mathrm{公共边}) \\CE=CF\quad (\mathrm{已知}) \\AE=AF\quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ AEC ≌ △ AFC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ CAE=∠ CAF$，即$AC$为$∠ BAD$的平分线。
$\because ∠ B=∠ D=90°$，即$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CB=CD$。
【答案】
$CB=CD$
【知识点】
全等三角形的SSS判定，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过连接AC构造全等三角形，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，考查了全等三角形和角平分线性质的综合应用，需要掌握辅助线的合理构造方法。
【难度系数】
0.7
要证明$CB=CD$，结合已知$∠ B=∠ D=90°$，可知$CB$、$CD$是点$C$到$∠ BAD$两边的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明$AC$是$∠ BAD$的角平分线即可。已知$AE=AF$、$CE=CF$，加上公共边$AC$，可先通过SSS判定$△ AEC$和$△ AFC$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ CAE=∠ CAF$，即可推出$AC$是角平分线，进而得到$CB=CD$。
【解析】
证明：连接$AC$，
在$△ AEC$和$△ AFC$中：
$\begin{cases}AC=AC\quad (\mathrm{公共边}) \\CE=CF\quad (\mathrm{已知}) \\AE=AF\quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ AEC ≌ △ AFC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ CAE=∠ CAF$，即$AC$为$∠ BAD$的平分线。
$\because ∠ B=∠ D=90°$，即$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CB=CD$。
【答案】
$CB=CD$
【知识点】
全等三角形的SSS判定，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过连接AC构造全等三角形，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，考查了全等三角形和角平分线性质的综合应用，需要掌握辅助线的合理构造方法。
【难度系数】
0.7
11.(构造法)如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠BAD+∠C=180°.
答案
11.过点 D 作$DE⊥ BA$,交 BA 的延长线于点 E,$DF⊥ BC$ 于点 F,由角的平分线的性质可得$DE=DF$,再证$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$,$\therefore ∠ DAE=∠ C$,$\because ∠ BAD+∠ DAE=180°$,$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°$
解析
【分析】
要证明∠BAD与∠C的和为180°，可尝试将两个角转化为同一个平角的两个组成部分。已知BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D向∠ABC的两条边作垂线段，得到两条相等的高；再结合已知条件AD=CD，可证明两个直角三角形全等，将∠C转化为∠BAD的邻补角，即可完成证明。
【解析】
证明：过点D作$DE⊥ BA$，交BA的延长线于点E，$DF⊥ BC$ 于点F。
∵BD平分∠ABC，$DE⊥BA$，$DF⊥BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠E=∠DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
∴$∠ DAE=∠ C$。
∵$∠ BAD+∠ DAE=180°$（平角的定义），
∴$∠ BAD+∠ C=180°$（等量代换）。
【答案】
$∠ BAD+∠ C=180{}^{\circ }$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；平角的定义
【点评】
本题是构造法证明角互补的典型题，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将待证的两个角转化为具有互补关系的角，这种作垂线构造全等的技巧在角平分线相关的证明题中非常常用。
【难度系数】
0.6
要证明∠BAD与∠C的和为180°，可尝试将两个角转化为同一个平角的两个组成部分。已知BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D向∠ABC的两条边作垂线段，得到两条相等的高；再结合已知条件AD=CD，可证明两个直角三角形全等，将∠C转化为∠BAD的邻补角，即可完成证明。
【解析】
证明：过点D作$DE⊥ BA$，交BA的延长线于点E，$DF⊥ BC$ 于点F。
∵BD平分∠ABC，$DE⊥BA$，$DF⊥BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠E=∠DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
∴$∠ DAE=∠ C$。
∵$∠ BAD+∠ DAE=180°$（平角的定义），
∴$∠ BAD+∠ C=180°$（等量代换）。
【答案】
$∠ BAD+∠ C=180{}^{\circ }$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；平角的定义
【点评】
本题是构造法证明角互补的典型题，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将待证的两个角转化为具有互补关系的角，这种作垂线构造全等的技巧在角平分线相关的证明题中非常常用。
【难度系数】
0.6
12.(2025·襄城期末)如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$于点E，$S_{△ ABC}=9$，$DE=2$，$AB=5$，求AC的长.
答案
12.过 D 作$DF⊥ AC$ 于点 F,$\because$ AD 是$△ ABC$ 的角平分线,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore DE=DF=2$,$\because S_{△ ABC}=9$,$\therefore \frac{1}{2}AC· DF+\frac{1}{2}AB· DE=9$,$\therefore \frac{1}{2}AC×2+\frac{1}{2}×5×2=9$,$\therefore AC=4$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出角平分线AD，以及AB边上的垂线段DE，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AC边上的高DF，得到DF=DE。再观察$△ ABC$的面积可拆分为$△ ACD$和$△ ABD$的面积之和，结合已知的总面积、AB长度和DE的长度，代入三角形面积公式列方程即可求出AC的长。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F，
$\because$AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DE=DF=2$，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD} + S_{△ ABD}=9$，
$\therefore \frac{1}{2}AC · DF + \frac{1}{2}AB · DE = 9$，
将$DE=DF=2$，$AB=5$代入上式，得：
$\frac{1}{2} × AC × 2 + \frac{1}{2} × 5 × 2 = 9$，
化简得$AC + 5 = 9$，
解得$AC=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练运用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，再通过面积的和差关系建立方程求解，解题时注意辅助线的规范表述。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：题目给出角平分线AD，以及AB边上的垂线段DE，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AC边上的高DF，得到DF=DE。再观察$△ ABC$的面积可拆分为$△ ACD$和$△ ABD$的面积之和，结合已知的总面积、AB长度和DE的长度，代入三角形面积公式列方程即可求出AC的长。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F，
$\because$AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DE=DF=2$，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD} + S_{△ ABD}=9$，
$\therefore \frac{1}{2}AC · DF + \frac{1}{2}AB · DE = 9$，
将$DE=DF=2$，$AB=5$代入上式，得：
$\frac{1}{2} × AC × 2 + \frac{1}{2} × 5 × 2 = 9$，
化简得$AC + 5 = 9$，
解得$AC=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练运用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，再通过面积的和差关系建立方程求解，解题时注意辅助线的规范表述。
【难度系数】
0.7
13.(2025·林州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点$O$,连接$AO$,过点$O$作$OD ⊥ BC,OE ⊥ AB,△ ABC$的面积是16,周长是8,求$OD$的长.
答案
13.过点 O 作$OF⊥ AC$ 于点 F,$\because$ OB 平分$∠ ABC$,$OD⊥ BC$,$OE⊥ AB$,$\therefore OD=OE$,$\because$ OC 平分$∠ ACB$,$OD⊥ BC$,$OF⊥ AC$,$\therefore OD=OF$,$\therefore OD=OE=OF$,$\because S_{△ ABC}=16$,$\therefore \frac{1}{2}AB· OE+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OF=16$,$\therefore \frac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD=16$,$\therefore \frac{1}{2}×8OD=16$,$\therefore OD=4$
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离相等，我们可以过O作AC的垂线OF，得到OD=OE=OF。接下来△ABC的面积可以拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都等于OD，底的和刚好是△ABC的周长，代入已知的面积和周长数值即可求出OD的长度。
【解析】
过点O作$OF⊥AC$于点F。
∵OB平分$∠ABC$，$OD⊥BC$，$OE⊥AB$，根据角平分线的性质，得$OD=OE$。
∵OC平分$∠ACB$，$OD⊥BC$，$OF⊥AC$，根据角平分线的性质，得$OD=OF$。
∴$OD=OE=OF$。
已知$S_{△ABC}=16$，$△ ABC$周长$AB+BC+AC=8$，
∵$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}$，
∴$\frac{1}{2}AB·OE+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·OF=16$，
将$OE=OF=OD$代入，得$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=16$，
代入周长数值：$\frac{1}{2}×8×OD=16$，
解得$OD=4$。
【答案】
$OD=4$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线性质得到三角形内角平分线交点到三边距离相等，再通过拆分大三角形面积建立等量关系，结合整体代入的方法快速求解，属于几何中面积计算和角平分线知识结合的常考题型，需熟练掌握面积拆分的思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离相等，我们可以过O作AC的垂线OF，得到OD=OE=OF。接下来△ABC的面积可以拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都等于OD，底的和刚好是△ABC的周长，代入已知的面积和周长数值即可求出OD的长度。
【解析】
过点O作$OF⊥AC$于点F。
∵OB平分$∠ABC$，$OD⊥BC$，$OE⊥AB$，根据角平分线的性质，得$OD=OE$。
∵OC平分$∠ACB$，$OD⊥BC$，$OF⊥AC$，根据角平分线的性质，得$OD=OF$。
∴$OD=OE=OF$。
已知$S_{△ABC}=16$，$△ ABC$周长$AB+BC+AC=8$，
∵$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}$，
∴$\frac{1}{2}AB·OE+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·OF=16$，
将$OE=OF=OD$代入，得$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=16$，
代入周长数值：$\frac{1}{2}×8×OD=16$，
解得$OD=4$。
【答案】
$OD=4$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线性质得到三角形内角平分线交点到三边距离相等，再通过拆分大三角形面积建立等量关系，结合整体代入的方法快速求解，属于几何中面积计算和角平分线知识结合的常考题型，需熟练掌握面积拆分的思路。
【难度系数】
0.7
