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13.如图,水平直线$l$上摆放着两个大小相同的直角三角尺,它们中较大锐角的度数为$60°$.将三角尺$ECD$沿直线$l$向左平移到图中三角形$E'C'D'$的位置,使点$E$的对应点$E'$落在$AB$上,$P$为$AC$与$E'D'$的交点.
(1)求$∠ CPD'$的度数.
(2)试说明:$AB⊥ E'D'$.
(1)求$∠ CPD'$的度数.
(2)试说明:$AB⊥ E'D'$.
答案
13.解:由题意,得$∠ CED = ∠ ABC = 60°$,$∠ A=30°$.由平移的性质,得 $DE// D'E'$,
所以$∠ CPD' = ∠ CED = 60°$.
(2)由(1),得$∠ CPD'=60°$,$∠ A=30°$.
由平移的性质,得 $AC// C'E'$,所以$∠ BE'C' = ∠ A = 30°$,$∠ C'E'D' = ∠ CPD'=60°$,即$∠ BE'C' + ∠ C'E'D' = ∠ BE'D'=90°$.所以 $AB⊥ E'D'$.
所以$∠ CPD' = ∠ CED = 60°$.
(2)由(1),得$∠ CPD'=60°$,$∠ A=30°$.
由平移的性质,得 $AC// C'E'$,所以$∠ BE'C' = ∠ A = 30°$,$∠ C'E'D' = ∠ CPD'=60°$,即$∠ BE'C' + ∠ C'E'D' = ∠ BE'D'=90°$.所以 $AB⊥ E'D'$.
解析
【分析】
解决本题首先明确直角三角尺的角度特征：较大锐角为60°，则较小锐角为30°，直角为90°。(1)问中，看到平移首先联想平移的性质：平移后对应线段平行，因此可得DE//D'E'，再结合平行线同位角相等的性质即可求出∠CPD'的度数。(2)问要证明AB⊥E'D'，只需证明两条线段的夹角为90°，同样利用平移性质得到AC//C'E'，结合已知角度计算出夹角为90°即可得证。
【解析】
(1) 由题意得，两个直角三角尺的较大锐角为60°，因此∠CED=∠ABC=60°，∠A=30°。
根据平移的性质，平移后对应线段平行，可得$DE// D'E'$，
由“两直线平行，同位角相等”，得$∠ CPD' = ∠ CED = 60°$。
(2) 由(1)可知$∠ CPD'=60°$，$∠ A=30°$。
根据平移的性质，平移后对应线段平行，可得$AC// C'E'$，
由“两直线平行，同位角相等”，得$∠ BE'C' = ∠ A = 30°$，$∠ C'E'D' = ∠ CPD'=60°$，
因此$∠ BE'D' = ∠ BE'C' + ∠ C'E'D' = 30°+60°=90°$，
根据垂直的定义，可得$AB⊥ E'D'$。
【答案】
(1) $∠ CPD'=60°$；
(2) $AB⊥ E'D'$，证明成立。
【知识点】
平移的性质、平行线的性质、垂直的判定
【点评】
本题属于几何基础题型，侧重考查平移性质的应用，解题的关键是熟练掌握平移前后对应线段平行、对应角相等的性质，结合直角三角尺的固有角度，借助平行线的性质计算角度即可求解，对基础性质的应用要求较高。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确直角三角尺的角度特征：较大锐角为60°，则较小锐角为30°，直角为90°。(1)问中，看到平移首先联想平移的性质：平移后对应线段平行，因此可得DE//D'E'，再结合平行线同位角相等的性质即可求出∠CPD'的度数。(2)问要证明AB⊥E'D'，只需证明两条线段的夹角为90°，同样利用平移性质得到AC//C'E'，结合已知角度计算出夹角为90°即可得证。
【解析】
(1) 由题意得，两个直角三角尺的较大锐角为60°，因此∠CED=∠ABC=60°，∠A=30°。
根据平移的性质，平移后对应线段平行，可得$DE// D'E'$，
由“两直线平行，同位角相等”，得$∠ CPD' = ∠ CED = 60°$。
(2) 由(1)可知$∠ CPD'=60°$，$∠ A=30°$。
根据平移的性质，平移后对应线段平行，可得$AC// C'E'$，
由“两直线平行，同位角相等”，得$∠ BE'C' = ∠ A = 30°$，$∠ C'E'D' = ∠ CPD'=60°$，
因此$∠ BE'D' = ∠ BE'C' + ∠ C'E'D' = 30°+60°=90°$，
根据垂直的定义，可得$AB⊥ E'D'$。
【答案】
(1) $∠ CPD'=60°$；
(2) $AB⊥ E'D'$，证明成立。
【知识点】
平移的性质、平行线的性质、垂直的判定
【点评】
本题属于几何基础题型，侧重考查平移性质的应用，解题的关键是熟练掌握平移前后对应线段平行、对应角相等的性质，结合直角三角尺的固有角度，借助平行线的性质计算角度即可求解，对基础性质的应用要求较高。
【难度系数】
0.8
国王的怪题
国王想为王子招聘一个才智非凡的算术教师.国王出题说:“你们将1 000颗珍珠分装进10只木盒里,每只盒中随意装多少都可以,只是有个要求——你们分装之后,我从1至999的数字中,任意说出一个数字来,你们就能整盒整盒地端出与我说的数字相等的珍珠,不得破盒临时拼凑.首先做出这个怪题者,就可被招聘.”应试者中一个十多岁的男孩分装好了,而且完全符合国王的要求.就这样,他被聘为王子的算术教师.你能知道这位聪明的男孩是怎样分装的吗?
国王想为王子招聘一个才智非凡的算术教师.国王出题说:“你们将1 000颗珍珠分装进10只木盒里,每只盒中随意装多少都可以,只是有个要求——你们分装之后,我从1至999的数字中,任意说出一个数字来,你们就能整盒整盒地端出与我说的数字相等的珍珠,不得破盒临时拼凑.首先做出这个怪题者,就可被招聘.”应试者中一个十多岁的男孩分装好了,而且完全符合国王的要求.就这样,他被聘为王子的算术教师.你能知道这位聪明的男孩是怎样分装的吗?
答案
10只木盒里面的珍珠数依次为 1,2,4,8,16,32,64,128,256,489.
解析
【分析】
我们从最小的数的凑取逻辑开始推导：要凑出数字1，必须有1个盒子装1颗珍珠；如果第2个盒子装2颗，那么1和2可以凑出1、2、3三个数，比再装1颗能覆盖的数更多；接下来第3个盒子装4颗，1、2、4就能凑出1到7的所有整数，我们可以发现规律：每盒珍珠数取前面所有盒珍珠总和加1（也就是每次翻倍），前n个盒子就能凑出1到前n盒总和的所有整数。算到第9盒时前9盒总和为511，剩下的珍珠装第10盒，大于511的数先取第10盒，剩下的数用前9盒就能凑出。
【解析】
1. 推导前9盒的珍珠数：
第1盒装1颗，可凑出1；
第2盒装2颗，前两盒总和为3，可凑出1~3的所有整数；
第3盒装4颗，前三盒总和为7，可凑出1~7的所有整数；
按照“每盒数量是前一盒的2倍”的规律类推，前9盒的珍珠数依次为1、2、4、8、16、32、64、128、256，前9盒总和为$1+2+4+8+16+32+64+128+256=511$颗。
2. 计算第10盒的珍珠数：
总共有1000颗珍珠，因此第10盒装$1000-511=489$颗。
3. 验证合理性：
若需要的数≤511，直接用前9盒组合即可得到；若需要的数＞511，先取出489颗的盒子，剩余需要凑的数最大为$999-489=510$，小于等于511，用前9盒就能组合得到，完全符合要求。
【答案】
10只木盒里面的珍珠数依次为 1,2,4,8,16,32,64,128,256,489。
【知识点】
整数拆分、逻辑推理、组合凑数
【点评】
本题结合趣味情景考查数字组合能力，解题核心是利用“每盒数量为前面所有盒总和加1”的规律，将复杂的任意数凑取转化为简单的加法组合，能有效锻炼逻辑思维和数字敏感度。
【难度系数】
0.3
我们从最小的数的凑取逻辑开始推导：要凑出数字1，必须有1个盒子装1颗珍珠；如果第2个盒子装2颗，那么1和2可以凑出1、2、3三个数，比再装1颗能覆盖的数更多；接下来第3个盒子装4颗，1、2、4就能凑出1到7的所有整数，我们可以发现规律：每盒珍珠数取前面所有盒珍珠总和加1（也就是每次翻倍），前n个盒子就能凑出1到前n盒总和的所有整数。算到第9盒时前9盒总和为511，剩下的珍珠装第10盒，大于511的数先取第10盒，剩下的数用前9盒就能凑出。
【解析】
1. 推导前9盒的珍珠数：
第1盒装1颗，可凑出1；
第2盒装2颗，前两盒总和为3，可凑出1~3的所有整数；
第3盒装4颗，前三盒总和为7，可凑出1~7的所有整数；
按照“每盒数量是前一盒的2倍”的规律类推，前9盒的珍珠数依次为1、2、4、8、16、32、64、128、256，前9盒总和为$1+2+4+8+16+32+64+128+256=511$颗。
2. 计算第10盒的珍珠数：
总共有1000颗珍珠，因此第10盒装$1000-511=489$颗。
3. 验证合理性：
若需要的数≤511，直接用前9盒组合即可得到；若需要的数＞511，先取出489颗的盒子，剩余需要凑的数最大为$999-489=510$，小于等于511，用前9盒就能组合得到，完全符合要求。
【答案】
10只木盒里面的珍珠数依次为 1,2,4,8,16,32,64,128,256,489。
【知识点】
整数拆分、逻辑推理、组合凑数
【点评】
本题结合趣味情景考查数字组合能力，解题核心是利用“每盒数量为前面所有盒总和加1”的规律，将复杂的任意数凑取转化为简单的加法组合，能有效锻炼逻辑思维和数字敏感度。
【难度系数】
0.3
