二、填空题
7.(2025·东城区期末)如图,以点O为中心的量角器与直角三角尺ABC按如图方式摆放,量角器的直径与直角三角尺的斜边AB重合,如果点D在量角器上对应的刻度为$110°$,连接CD.那么$∠ BCD=$.

7.$55°$

8.(2025·通州区期末)如图①为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计),侧面示意图如图②,其液体水平宽度AB为16 cm,竖直高度CD为4 cm,则$\odot O$的半径为cm.

8.10

9.(2025·嘉兴期末)如图,将$\odot O$沿弦AB折叠后,圆弧恰好经过圆心O,且与弦PA相交于点H,$PH=2AH$,连接PB.若$AB=\sqrt{21}$,则PB的长为.

9.$2\sqrt{3}$

10.(2025·杨浦区二模)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=4$,以点A为圆心,2为半径作圆,D是$\odot A$上一点,连接CD,E是CD的中点,连接BE,那么BE长度的取值范围是.

10.$4≤ BE≤ 6$

三、解答题
11.(2025·安徽)如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,
$∠ DAB+2∠ ABC=180°$.
(1)求证:$OC// AD$;
(2)若$AD=2$,$BC=2\sqrt{3}$,求AB的长.

11.(1)证明:$\because ∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°$,
$\therefore ∠DAB+∠AOC=180°,∴OC// AD.$
(2)解:如答图,连接BD,交OC于点E.
$\because AB$是半圆O的直径,$\therefore ∠ADB=90°.$
$\because OC// AD,\therefore OC⊥BD,\therefore EB=DE.$
又$OA=OB,\therefore OE$是$△ABD$的中位线,
$\therefore OE=\frac{1}{2}AD=1.$
设半圆的半径为r,则$CE=r-1$,
在$\mathrm{Rt}△OEB$中,$BE^2=OB^2-OE^2=r^2-1$,
在$\mathrm{Rt}△CEB$中,$BE^2=BC^2-CE^2=(2\sqrt{3})^2-(r-1)^2$,
$\therefore r^2-1=(2\sqrt{3})^2-(r-1)^2$,
解得$r_1=3,r_2=-2$(舍去),$\therefore AB=6.$

12.(2025·高邮期末)如图①,E为x轴正半轴上一点,$\odot E$交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,P为劣弧$\overset{\frown}{BC}$上一个动点,且$A(-1,0),E(1,0)$.
(1)$\overset{\frown}{BC}$的度数为°;
(2)如图②,连接PC,取PC的中点G,连接OG,则OG的最大值为;
(3)如图③,连接AC,AP,CP,CB.若CQ平分$∠ PCD$交PA于点Q,求AQ的长;
(4)如图④,连接PA,PD,当点P运动时(不与B,C两点重合),求证:$\frac{PC+PD}{PA}$为定值,并求出这个定值.

12.(1)120 (2)2
(3)解:$\because$ 直径$AB⊥CD,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD},\therefore ∠ACD=∠CPA.$
$\because CQ$平分$∠DCP,\therefore ∠DCQ=∠PCQ,$
$\therefore ∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ,$
$\therefore ∠ACQ=∠AQC,\therefore AQ=AC.$
$\because ∠CAO=60°,AO=1,\therefore ∠ACO=30°,$
$\therefore AC=2,\therefore AQ=2.$
(4)解:$\because$ 直径$AB⊥CD$,
$\therefore AB$垂直平分CD.
如答图,连接AC,AD,则$AC=AD.$
由(1)得,$∠DAC=120°$,
将$△ACP$绕点A顺时针旋转$120°$至$△ADM$,
$\therefore △ACP≌△ADM,\therefore ∠ACP=∠ADM,PC=DM.$
$\because$ 四边形ACPD为圆内接四边形,
$\therefore ∠ACP+∠ADP=180°,∴∠ADM+∠ADP=180°,$
$\therefore M,D,P$三点共线,
$\therefore PD+PC=PD+DM=PM.$
过点A作$AG⊥PM$于点G,
则$PM=2PG,∠APM=∠ACD=30°.$
在$\mathrm{Rt}△APG$中,$∠APM=30°,$
设$AG=x$,则$AP=2x$,
$\therefore PG=\sqrt{AP^2-AG^2}=\sqrt{3}x,\therefore PM=2PG=2\sqrt{3}x,$
$\therefore PM=\sqrt{3}AP,\therefore PC+PD=\sqrt{3}AP,$
$\therefore \frac{PC+PD}{PA}=\sqrt{3}$ 为定值.