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1[2026安徽安庆质检,中]已知某商品的进价为每件10元,某数学兴趣小组经过市场调查,整理出该商品在第$x(1≤x≤30)$天的销售单价与销售量的相关信息如下表:
(1)第几天该商品的销售单价是25元/件?
(2)在这30天中,第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)第几天该商品的销售单价是25元/件?
(2)在这30天中,第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
(1) 当$20+\frac{1}{2}x=25$ 时, $x=10$; 当 $10+\frac{300}{x}=25$ 时, $x=20$, 经检验, $x=20$ 是原方程的解,且符合题意.
答:第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件.
(2) 设每天获得的利润为 $y$ 元. 当 $1 ≤ x＜15$ 时, $y=(20+\frac{1}{2}x-10)(40-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x+400$, 即 $y=-\frac{1}{2}(x-10)^2+450$. $\because -\frac{1}{2}＜0$, $\therefore$ 当 $x=10$ 时, $y$ 取得最大值, 最大值为 450. 当 $15 ≤ x ≤ 30$ 时, $y=(10+\frac{300}{x}-10)(40-x)=\frac{12000}{x}-300$. $\because 12000＞0$, $\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $x=15$ 时, $y$ 取得最大值, 最大值为 $\frac{12000}{15}-300=500$. $\because 450＜500$, $\therefore$ 在这 30 天中, 第 15 天获得的利润最大, 最大利润是 500 元.
答:第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件.
(2) 设每天获得的利润为 $y$ 元. 当 $1 ≤ x＜15$ 时, $y=(20+\frac{1}{2}x-10)(40-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x+400$, 即 $y=-\frac{1}{2}(x-10)^2+450$. $\because -\frac{1}{2}＜0$, $\therefore$ 当 $x=10$ 时, $y$ 取得最大值, 最大值为 450. 当 $15 ≤ x ≤ 30$ 时, $y=(10+\frac{300}{x}-10)(40-x)=\frac{12000}{x}-300$. $\because 12000＞0$, $\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $x=15$ 时, $y$ 取得最大值, 最大值为 $\frac{12000}{15}-300=500$. $\because 450＜500$, $\therefore$ 在这 30 天中, 第 15 天获得的利润最大, 最大利润是 500 元.
解析
【分析】
（1）销售单价分两段给出，因此需分$1≤x＜15$和$15≤x≤30$两种情况，分别令对应区间的销售单价等于25元/件，列方程求解，得到的解要验证是否在对应取值区间内，符合的即为所求。
（2）销售利润的计算公式为：利润=（销售单价-进价）×销售量，同样分两个区间分别写出利润关于x的函数表达式：①当$1≤x＜15$时，所得函数为二次函数，可通过配方转化为顶点式，结合开口方向求最大值；②当$15≤x≤30$时，所得函数为反比例型函数，根据函数单调性求区间内的最大值，最后比较两个区间的最大值，即可得到30天内的最大利润及对应天数。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$1≤x＜15$时，令$20+\frac{1}{2}x=25$，解得$x=10$，符合$1≤x＜15$的范围；
② 当$15≤x≤30$时，令$10+\frac{300}{x}=25$，解得$x=20$，经检验，$x=20$是原方程的解，且符合$15≤x≤30$的范围。
综上，第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件。
(2) 设每天获得的利润为$y$元，进价为10元/件，因此每件利润为（销售单价-10）元，结合销售量为$(40-x)$件，分情况计算：
① 当$1 ≤ x＜15$时：
$y=(20+\frac{1}{2}x-10)(40-x)=(10+\frac{1}{2}x)(40-x)$
展开整理得：$y=-\frac{1}{2}x^2+10x+400$
配方得：$y=-\frac{1}{2}(x-10)^2+450$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为450元。
② 当$15 ≤ x ≤ 30$时：
$y=(10+\frac{300}{x}-10)(40-x)=\frac{300}{x}·(40-x)=\frac{12000}{x}-300$
$\because 12000＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，因此当$x$取区间最小值15时，$y$取得最大值，代入得：
$y_{max}=\frac{12000}{15}-300=800-300=500$元。
比较两个区间的最大值：$450＜500$，因此第15天获得的利润最大。
【答案】
(1) 第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件；
(2) 第15天获得的利润最大，最大利润是500元。
【知识点】
分段函数的应用、二次函数的最值、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，解题的核心是分区间讨论对应的函数关系，注意解分式方程时要验根，求分段函数的最值时需要先求出每个区间内的最值再进行比较，避免漏看区间范围导致出错。
【难度系数】
0.6
（1）销售单价分两段给出，因此需分$1≤x＜15$和$15≤x≤30$两种情况，分别令对应区间的销售单价等于25元/件，列方程求解，得到的解要验证是否在对应取值区间内，符合的即为所求。
（2）销售利润的计算公式为：利润=（销售单价-进价）×销售量，同样分两个区间分别写出利润关于x的函数表达式：①当$1≤x＜15$时，所得函数为二次函数，可通过配方转化为顶点式，结合开口方向求最大值；②当$15≤x≤30$时，所得函数为反比例型函数，根据函数单调性求区间内的最大值，最后比较两个区间的最大值，即可得到30天内的最大利润及对应天数。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$1≤x＜15$时，令$20+\frac{1}{2}x=25$，解得$x=10$，符合$1≤x＜15$的范围；
② 当$15≤x≤30$时，令$10+\frac{300}{x}=25$，解得$x=20$，经检验，$x=20$是原方程的解，且符合$15≤x≤30$的范围。
综上，第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件。
(2) 设每天获得的利润为$y$元，进价为10元/件，因此每件利润为（销售单价-10）元，结合销售量为$(40-x)$件，分情况计算：
① 当$1 ≤ x＜15$时：
$y=(20+\frac{1}{2}x-10)(40-x)=(10+\frac{1}{2}x)(40-x)$
展开整理得：$y=-\frac{1}{2}x^2+10x+400$
配方得：$y=-\frac{1}{2}(x-10)^2+450$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为450元。
② 当$15 ≤ x ≤ 30$时：
$y=(10+\frac{300}{x}-10)(40-x)=\frac{300}{x}·(40-x)=\frac{12000}{x}-300$
$\because 12000＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，因此当$x$取区间最小值15时，$y$取得最大值，代入得：
$y_{max}=\frac{12000}{15}-300=800-300=500$元。
比较两个区间的最大值：$450＜500$，因此第15天获得的利润最大。
【答案】
(1) 第10天或第20天该商品的销售单价是25元/件；
(2) 第15天获得的利润最大，最大利润是500元。
【知识点】
分段函数的应用、二次函数的最值、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，解题的核心是分区间讨论对应的函数关系，注意解分式方程时要验根，求分段函数的最值时需要先求出每个区间内的最值再进行比较，避免漏看区间范围导致出错。
【难度系数】
0.6
2[2026安徽安庆调研,中]根据对某市市场的物价调研,预计进入夏季后的某一段时间,某批发市场的甲种蔬菜的销售利润$y_1$(千元)与进货量$x$(吨)之间的函数关系式为$y_1=kx$,其图象如图(1)所示,乙种蔬菜的销售利润$y_2$(千元)与进货量$x$(吨)之间的函数关系式为$y_2=ax^2+bx$,其图象如图(2)所示.
(1)分别求出$y_1,y_2$与$x$之间的函数关系式.
(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨,设乙种蔬菜的进货量为$t$吨.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和$W$(千元)与$t$(吨)之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少元?
②为了使获得的两种蔬菜的利润之和不少于8400元,则乙种蔬菜的进货量应在什么范围内?
(1)分别求出$y_1,y_2$与$x$之间的函数关系式.
(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨,设乙种蔬菜的进货量为$t$吨.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和$W$(千元)与$t$(吨)之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少元?
②为了使获得的两种蔬菜的利润之和不少于8400元,则乙种蔬菜的进货量应在什么范围内?
答案
(1) 根据题意, 将 $(5,3)$ 代入 $y_1=kx$, 得 $5k=3$, 解得 $k=0.6$, $\therefore y_1=0.6x$. 将 $(1,2)$, $(5,6)$ 分别代入 $y_2=ax^2+bx$, 得 $\begin{cases}a+b=2,\\25a+5b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.2,\\b=2.2,\end{cases}$ $\therefore y_2=-0.2x^2+2.2x$.
(2) ① $W=0.6(10-t)+(-0.2t^2+2.2t)=-0.2t^2+1.6t+6=-0.2(t-4)^2+9.2$, 当 $t=4$ 时, $W$ 有最大值, 最大值为 9.2.
答:甲种蔬菜进货量为6吨,乙种蔬菜进货量为4吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是9200元.
② 令 $W=-0.2(t-4)^2+9.2=8.4$, $\therefore t_1=2$, $t_2=6$. $\because -2＜0$, $\therefore$ 当 $2 ≤ t ≤ 6$ 时, $W ≥ 8.4$.
答:为了使获得的两种蔬菜的利润之和不少于8400元,乙种蔬菜的进货量应在 $2 ≤ t ≤ 6$ 范围内.
(2) ① $W=0.6(10-t)+(-0.2t^2+2.2t)=-0.2t^2+1.6t+6=-0.2(t-4)^2+9.2$, 当 $t=4$ 时, $W$ 有最大值, 最大值为 9.2.
答:甲种蔬菜进货量为6吨,乙种蔬菜进货量为4吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是9200元.
② 令 $W=-0.2(t-4)^2+9.2=8.4$, $\therefore t_1=2$, $t_2=6$. $\because -2＜0$, $\therefore$ 当 $2 ≤ t ≤ 6$ 时, $W ≥ 8.4$.
答:为了使获得的两种蔬菜的利润之和不少于8400元,乙种蔬菜的进货量应在 $2 ≤ t ≤ 6$ 范围内.
解析
【分析】
本题解题思路清晰，分步骤思考即可：
1. 求函数解析式：已知$y_1$是正比例函数、$y_2$是二次函数，均可用待定系数法求解。将图1给出的点$(5,3)$代入$y_1=kx$即可求出$k$；将图2给出的$(1,2)$、$(5,6)$两个点代入$y_2=ax^2+bx$，列二元一次方程组即可求出$a、b$的值。
2. 求利润和的最大值：乙进货$t$吨时，甲进货$(10-t)$吨，总利润$W$是甲、乙两种蔬菜利润的和，代入两个函数式整理得到$W$关于$t$的二次函数，通过配方法求二次函数的最大值即可，注意单位要统一。
3. 求利润和不少于8400元时乙的进货范围：先将8400元转换为8.4千元，令$W=8.4$，解一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向下的性质，即可得到满足$W≥8.4$的$t$的取值范围。
【解析】
(1) 求$y_1$的解析式：
将点$(5,3)$代入$y_1=kx$，得$5k=3$，解得$k=0.6$，因此$y_1=0.6x$。
求$y_2$的解析式：
将点$(1,2)$、$(5,6)$分别代入$y_2=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\25a+5b=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.2\\b=2.2\end{cases}$，因此$y_2=-0.2x^2+2.2x$。
(2) ① 乙种蔬菜进货量为$t$吨，则甲种蔬菜进货量为$(10-t)$吨，总利润：
$\begin{aligned}W&=0.6(10-t)+(-0.2t^2+2.2t)\\&=-0.2t^2+1.6t+6\\&=-0.2(t-4)^2+9.2\end{aligned}$
$\because -0.2＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$t=4$时，$W$取得最大值9.2千元，即9200元，此时甲种蔬菜进货量为$10-4=6$吨。
② 利润之和不少于8400元，即$W≥8.4$千元，令$W=8.4$：
$\begin{aligned}-0.2(t-4)^2+9.2&=8.4\\(t-4)^2&=4\end{aligned}$
解得$t_1=2$，$t_2=6$。
$\because$二次函数开口向下，$\therefore$当$2≤ t≤6$时，$W≥8.4$，符合进货量的实际意义。
【答案】
(1) $y_1=0.6x$，$y_2=-0.2x^2+2.2x$；
(2) ① $W=-0.2t^2+1.6t+6$，甲种蔬菜进货6吨、乙种蔬菜进货4吨时利润和最大，最大利润为9200元；
② 乙种蔬菜的进货量范围为$2≤ t≤6$吨。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，二次函数与不等式
【点评】
本题是函数在实际销售问题中的典型应用，既考查了基础的函数解析式求解方法，也考查了二次函数性质的实际应用，解题时需注意单位统一和自变量的实际取值范围，综合难度适中。
【难度系数】
0.6
本题解题思路清晰，分步骤思考即可：
1. 求函数解析式：已知$y_1$是正比例函数、$y_2$是二次函数，均可用待定系数法求解。将图1给出的点$(5,3)$代入$y_1=kx$即可求出$k$；将图2给出的$(1,2)$、$(5,6)$两个点代入$y_2=ax^2+bx$，列二元一次方程组即可求出$a、b$的值。
2. 求利润和的最大值：乙进货$t$吨时，甲进货$(10-t)$吨，总利润$W$是甲、乙两种蔬菜利润的和，代入两个函数式整理得到$W$关于$t$的二次函数，通过配方法求二次函数的最大值即可，注意单位要统一。
3. 求利润和不少于8400元时乙的进货范围：先将8400元转换为8.4千元，令$W=8.4$，解一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向下的性质，即可得到满足$W≥8.4$的$t$的取值范围。
【解析】
(1) 求$y_1$的解析式：
将点$(5,3)$代入$y_1=kx$，得$5k=3$，解得$k=0.6$，因此$y_1=0.6x$。
求$y_2$的解析式：
将点$(1,2)$、$(5,6)$分别代入$y_2=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\25a+5b=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.2\\b=2.2\end{cases}$，因此$y_2=-0.2x^2+2.2x$。
(2) ① 乙种蔬菜进货量为$t$吨，则甲种蔬菜进货量为$(10-t)$吨，总利润：
$\begin{aligned}W&=0.6(10-t)+(-0.2t^2+2.2t)\\&=-0.2t^2+1.6t+6\\&=-0.2(t-4)^2+9.2\end{aligned}$
$\because -0.2＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$t=4$时，$W$取得最大值9.2千元，即9200元，此时甲种蔬菜进货量为$10-4=6$吨。
② 利润之和不少于8400元，即$W≥8.4$千元，令$W=8.4$：
$\begin{aligned}-0.2(t-4)^2+9.2&=8.4\\(t-4)^2&=4\end{aligned}$
解得$t_1=2$，$t_2=6$。
$\because$二次函数开口向下，$\therefore$当$2≤ t≤6$时，$W≥8.4$，符合进货量的实际意义。
【答案】
(1) $y_1=0.6x$，$y_2=-0.2x^2+2.2x$；
(2) ① $W=-0.2t^2+1.6t+6$，甲种蔬菜进货6吨、乙种蔬菜进货4吨时利润和最大，最大利润为9200元；
② 乙种蔬菜的进货量范围为$2≤ t≤6$吨。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，二次函数与不等式
【点评】
本题是函数在实际销售问题中的典型应用，既考查了基础的函数解析式求解方法，也考查了二次函数性质的实际应用，解题时需注意单位统一和自变量的实际取值范围，综合难度适中。
【难度系数】
0.6
3[2025江苏扬州质检,难]如图,某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,线段AB表示该产品每千克生产成本$y_1$(单位:元)与产量$x$(单位:kg)之间的函数关系;线段CD表示该产品每千克的售价$y_2$(单位:元)与产量$x$(单位:kg)之间的函数关系,已知$0＜x≤120,m＞60$.
(1)求线段AB所表示的$y_1$与$x$之间的函数表达式.
(2)若$m=90$,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)若$60＜m＜70$,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)求线段AB所表示的$y_1$与$x$之间的函数表达式.
(2)若$m=90$,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)若$60＜m＜70$,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
(1) 设线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=k_1x+b$, 将 $(0,60)$, $(120,40)$ 代入, 得 $\begin{cases}b=60,\\120k_1+b=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-\frac{1}{6},\\b=60,\end{cases}$
$\therefore$ 线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)$.
(2) 若 $m=90$, 则设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2x+90$, 将 $(120,50)$ 代入, 得 $50=120k_2+90$, 解得 $k_2=-\frac{1}{3}$,
$\therefore y_2=-\frac{1}{3}x+90(0＜x ≤ 120)$.
设产品产量为 $x$ kg 时, 获得的利润为 $w$ 元. 根据题意, 得 $w=(y_2-y_1)x=[-\frac{1}{3}x+90-(-\frac{1}{6}x+60)]x=(-\frac{1}{6}x+30)x=-\frac{1}{6}x^2+30x=-\frac{1}{6}(x-90)^2+1350(0＜x ≤ 120)$.
$\because -\frac{1}{6}＜0$, $\therefore$ 当 $x=90$ 时, $w$ 有最大值, 最大值为1350, $\therefore$ 若 $m=90$, 该产品产量为 90 kg 时, 获得的利润最大, 最大利润是 1350 元.
(3) 当 $60＜m＜70$ 时, 设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2'x+m$. 由题意得 $120k_2'+m=50$, 解得 $k_2'=\frac{50-m}{120}$, $\therefore y_2=\frac{50-m}{120}x+m$.
设产品产量为 $x$ kg 时, 获得的利润为 $w'$ 元,
$\therefore w'=x[(\frac{50-m}{120}x+m)-(-\frac{1}{6}x+60)]=\frac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$.
$\because 60＜m＜70$, $\therefore a=\frac{70-m}{120}＞0$, $b=m-60＞0$,
$\therefore -\frac{b}{2a}＜0$, 即抛物线对称轴在 $y$ 轴左侧, $\therefore$ 当 $0＜x ≤ 120$ 时, $w'$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore$ 当 $x=120$ 时, $w'$ 的值最大, 最大值为 $\frac{70-m}{120} × 120^2 + (m-60) × 120=1200$, $\therefore$ 当 $60＜m＜70$ 时, 该产品产量为 120 kg 时, 获得的利润最大, 最大利润为 1200 元.
$\therefore$ 线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)$.
(2) 若 $m=90$, 则设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2x+90$, 将 $(120,50)$ 代入, 得 $50=120k_2+90$, 解得 $k_2=-\frac{1}{3}$,
$\therefore y_2=-\frac{1}{3}x+90(0＜x ≤ 120)$.
设产品产量为 $x$ kg 时, 获得的利润为 $w$ 元. 根据题意, 得 $w=(y_2-y_1)x=[-\frac{1}{3}x+90-(-\frac{1}{6}x+60)]x=(-\frac{1}{6}x+30)x=-\frac{1}{6}x^2+30x=-\frac{1}{6}(x-90)^2+1350(0＜x ≤ 120)$.
$\because -\frac{1}{6}＜0$, $\therefore$ 当 $x=90$ 时, $w$ 有最大值, 最大值为1350, $\therefore$ 若 $m=90$, 该产品产量为 90 kg 时, 获得的利润最大, 最大利润是 1350 元.
(3) 当 $60＜m＜70$ 时, 设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2'x+m$. 由题意得 $120k_2'+m=50$, 解得 $k_2'=\frac{50-m}{120}$, $\therefore y_2=\frac{50-m}{120}x+m$.
设产品产量为 $x$ kg 时, 获得的利润为 $w'$ 元,
$\therefore w'=x[(\frac{50-m}{120}x+m)-(-\frac{1}{6}x+60)]=\frac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$.
$\because 60＜m＜70$, $\therefore a=\frac{70-m}{120}＞0$, $b=m-60＞0$,
$\therefore -\frac{b}{2a}＜0$, 即抛物线对称轴在 $y$ 轴左侧, $\therefore$ 当 $0＜x ≤ 120$ 时, $w'$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore$ 当 $x=120$ 时, $w'$ 的值最大, 最大值为 $\frac{70-m}{120} × 120^2 + (m-60) × 120=1200$, $\therefore$ 当 $60＜m＜70$ 时, 该产品产量为 120 kg 时, 获得的利润最大, 最大利润为 1200 元.
解析
【分析】
(1) 求线段AB对应的一次函数表达式，已知AB过点(0,60)和(120,40)，使用待定系数法，设出一次函数的一般形式，将两点坐标代入得到方程组，求解方程组即可得到函数系数，最后标注自变量的取值范围。
(2) 先根据m=90和点(120,50)，用待定系数法求出售价$y_2$的函数表达式；利润等于每千克的利润乘以产量，每千克利润为售价减成本，据此列出利润$w$关于产量$x$的二次函数，将函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可确定利润最大时的产量和最大利润。
(3) 先根据CD过点(120,50)，求出含参数$m$的$y_2$的函数表达式，再列出利润$w'$关于$x$的二次函数；根据$m$的取值范围判断二次项系数的正负，确定对称轴的位置，结合$x$的取值范围判断函数的增减性，即可得到对应最值。
【解析】
(1) 设线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=k_1x+b$，将 $(0,60)$，$(120,40)$ 代入，得 $\begin{cases}b=60,\\120k_1+b=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-\frac{1}{6},\\b=60,\end{cases}$
$\therefore$ 线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)$。
(2) 若 $m=90$，则设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2x+90$，将 $(120,50)$ 代入，得 $50=120k_2+90$，解得 $k_2=-\frac{1}{3}$，
$\therefore y_2=-\frac{1}{3}x+90(0＜x ≤ 120)$。
设产品产量为 $x$ kg 时，获得的利润为 $w$ 元。根据题意，得 $w=(y_2-y_1)x=[-\frac{1}{3}x+90-(-\frac{1}{6}x+60)]x=(-\frac{1}{6}x+30)x=-\frac{1}{6}x^2+30x=-\frac{1}{6}(x-90)^2+1350(0＜x ≤ 120)$。
$\because -\frac{1}{6}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当 $x=90$ 时，$w$ 有最大值，最大值为1350。
(3) 当 $60＜m＜70$ 时，设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2'x+m$。由题意得 $120k_2'+m=50$，解得 $k_2'=\frac{50-m}{120}$，$\therefore y_2=\frac{50-m}{120}x+m$。
设产品产量为 $x$ kg 时，获得的利润为 $w'$ 元，
$\therefore w'=x[(\frac{50-m}{120}x+m)-(-\frac{1}{6}x+60)]=\frac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$。
$\because 60＜m＜70$，$\therefore a=\frac{70-m}{120}＞0$，$b=m-60＞0$，
$\therefore -\frac{b}{2a}＜0$，即抛物线对称轴在 $y$ 轴左侧，$\therefore$ 当 $0＜x ≤ 120$ 时，$w'$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore$ 当 $x=120$ 时，$w'$ 的值最大，最大值为 $\frac{70-m}{120} × 120^2 + (m-60) × 120=1200$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)}$
(2) 产量为$\boldsymbol{90\ \mathrm{kg}}$时，获得的利润最大，最大利润是$\boldsymbol{1350}$元
(3) 产量为$\boldsymbol{120\ \mathrm{kg}}$时，获得的利润最大，最大利润是$\boldsymbol{1200}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润问题；二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合实际生产销售场景，综合考查一次函数、二次函数的应用，解题的核心是正确列出函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围判断最值位置，第三问需要结合参数范围分析函数增减性，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 求线段AB对应的一次函数表达式，已知AB过点(0,60)和(120,40)，使用待定系数法，设出一次函数的一般形式，将两点坐标代入得到方程组，求解方程组即可得到函数系数，最后标注自变量的取值范围。
(2) 先根据m=90和点(120,50)，用待定系数法求出售价$y_2$的函数表达式；利润等于每千克的利润乘以产量，每千克利润为售价减成本，据此列出利润$w$关于产量$x$的二次函数，将函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可确定利润最大时的产量和最大利润。
(3) 先根据CD过点(120,50)，求出含参数$m$的$y_2$的函数表达式，再列出利润$w'$关于$x$的二次函数；根据$m$的取值范围判断二次项系数的正负，确定对称轴的位置，结合$x$的取值范围判断函数的增减性，即可得到对应最值。
【解析】
(1) 设线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=k_1x+b$，将 $(0,60)$，$(120,40)$ 代入，得 $\begin{cases}b=60,\\120k_1+b=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-\frac{1}{6},\\b=60,\end{cases}$
$\therefore$ 线段 $AB$ 所表示的 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)$。
(2) 若 $m=90$，则设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2x+90$，将 $(120,50)$ 代入，得 $50=120k_2+90$，解得 $k_2=-\frac{1}{3}$，
$\therefore y_2=-\frac{1}{3}x+90(0＜x ≤ 120)$。
设产品产量为 $x$ kg 时，获得的利润为 $w$ 元。根据题意，得 $w=(y_2-y_1)x=[-\frac{1}{3}x+90-(-\frac{1}{6}x+60)]x=(-\frac{1}{6}x+30)x=-\frac{1}{6}x^2+30x=-\frac{1}{6}(x-90)^2+1350(0＜x ≤ 120)$。
$\because -\frac{1}{6}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当 $x=90$ 时，$w$ 有最大值，最大值为1350。
(3) 当 $60＜m＜70$ 时，设 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_2=k_2'x+m$。由题意得 $120k_2'+m=50$，解得 $k_2'=\frac{50-m}{120}$，$\therefore y_2=\frac{50-m}{120}x+m$。
设产品产量为 $x$ kg 时，获得的利润为 $w'$ 元，
$\therefore w'=x[(\frac{50-m}{120}x+m)-(-\frac{1}{6}x+60)]=\frac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$。
$\because 60＜m＜70$，$\therefore a=\frac{70-m}{120}＞0$，$b=m-60＞0$，
$\therefore -\frac{b}{2a}＜0$，即抛物线对称轴在 $y$ 轴左侧，$\therefore$ 当 $0＜x ≤ 120$ 时，$w'$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore$ 当 $x=120$ 时，$w'$ 的值最大，最大值为 $\frac{70-m}{120} × 120^2 + (m-60) × 120=1200$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y_1=-\frac{1}{6}x+60(0＜x ≤ 120)}$
(2) 产量为$\boldsymbol{90\ \mathrm{kg}}$时，获得的利润最大，最大利润是$\boldsymbol{1350}$元
(3) 产量为$\boldsymbol{120\ \mathrm{kg}}$时，获得的利润最大，最大利润是$\boldsymbol{1200}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润问题；二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合实际生产销售场景，综合考查一次函数、二次函数的应用，解题的核心是正确列出函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围判断最值位置，第三问需要结合参数范围分析函数增减性，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
