10.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+a}{3}≤1,\\x-2≥3x+4\end{cases}$的解集为$x≤-3$，且关于$m,n$的方程组$\begin{cases}m-n=5,\\m+2n=3a-1\end{cases}$的解满足$2m+n＞11$，则所有满足条件的整数$a$的值之积为 ______ 。

10.360

【分析】
解题分三步进行：①先分别解不等式组中的两个不等式，根据已知的解集$x≤-3$，利用不等式组“同小取小”的解集规则，求出$a$的第一个取值范围；②观察二元一次方程组的特征，将两个方程直接相加即可得到$2m+n$的表达式，结合$2m+n＞11$的条件，求出$a$的第二个取值范围；③综合两个范围得到$a$的所有整数值，计算它们的乘积即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解第一个不等式$\dfrac{x+a}{3} ≤ 1$：
两边同乘3得：$x+a ≤ 3$，移项得$x ≤ 3 - a$。
解第二个不等式$x - 2 ≥ 3x + 4$：
移项合并同类项得：$-2x ≥ 6$，两边除以-2（不等号方向改变）得$x ≤ -3$。
已知不等式组的解集为$x ≤ -3$，根据“同小取小”的解集规则，可得$3 - a ≥ -3$，解这个不等式：
$-a ≥ -6$，即$a ≤ 6$。
2. 处理二元一次方程组：
已知$\begin{cases}m - n = 5 ①\\m + 2n = 3a - 1 ②\end{cases}$，将①+②，左边相加得：$(m-n)+(m+2n)=2m + n$，右边相加得：$5 + 3a -1 = 3a + 4$，因此$2m + n = 3a + 4$。
根据题意$2m + n ＞ 11$，代入得：$3a + 4 ＞ 11$，移项得$3a ＞7$，即$a ＞ \dfrac{7}{3}$。
3. 确定整数$a$的取值：
综合得$a$的范围是$\dfrac{7}{3} ＜ a ≤ 6$，满足条件的整数$a$为3、4、5、6，它们的乘积为$3 × 4 × 5 × 6 = 360$。
【答案】
360
【知识点】
一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法，不等式的性质
【点评】
本题综合考察了不等式组解集的判定和二元一次方程组的应用，解题时灵活运用整体相加的方法求$2m+n$的表达式，可简化计算步骤，需重点掌握不等式组解集的取值规则，避免判断出错。
【难度系数】
0.6

三、解答题
11. 解不等式组：
$\begin{cases}2x -7 ≤ 3(x -1), \\5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ＞ x.\end{cases}$

11.$-4≤x＜2.$

【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内的每个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。求解单个不等式时按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意当未知数的系数为负数时，系数化为1要改变不等号的方向，最后根据解集口诀“大小小大中间找”确定公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x -7 ≤ 3(x -1)$
去括号，得：$2x -7 ≤ 3x -3$
移项，得：$2x - 3x ≤ -3 +7$
合并同类项，得：$-x ≤ 4$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ≥ -4$
2. 解不等式$5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ＞ x$
去括号，得：$5 - \dfrac{1}{2}x - 2 ＞ x$
合并常数项，得：$3 - \dfrac{1}{2}x ＞ x$
移项，得：$-\dfrac{1}{2}x - x ＞ -3$
合并同类项，得：$-\dfrac{3}{2}x ＞ -3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＜ 2$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集。
【答案】
$-4≤x＜2$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组的解法；不等式组解集的确定
【点评】
本题是解不等式组的基础常规题，重点考查一元一次不等式的求解规则，解题的易错点是系数化为1时忽略不等号的方向变化，熟练掌握解集判断口诀能快速确定最终解集。
【难度系数】
0.8

12.小红和小新两人解方程组$\begin{cases}ax+5y=13,①\\4x-by=-2.②\end{cases}$
小红一边做作业，一边看电视，不小心把$a$看错了，从而得到方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=-1;\end{cases}$小新一边做作业，一边吃零食，一走眼把$b$看错了，从而得到方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=4,\end{cases}$若按正确的$a$、$b$计算，原方程组的解是什么？

12.解:因为小红只看错了方程①中的a,所以小红得到的解应该满足无a的方程②,即$4×(-3)-b×(-1)=-2$③,
同理小新得到的解应满足无b的方程①,即:$a×5+5×4=13$④
由③、④解得$\begin{cases}a=-\dfrac{7}{5},\\b=10\end{cases}$
所以原方程组为$\begin{cases}-\dfrac{7}{5}x+5y=13,\\4x-10y=-2,\end{cases}$
∴方程组的解为:$\begin{cases}x=20,\\y=\dfrac{41}{5}.\end{cases}$

【分析】
解题的核心是明确“看错某一个方程的系数，所得的解仍然满足另一个系数未看错的方程”。首先，小红仅看错了方程①中的a，她得到的解是方程②的正确解，代入方程②即可求出正确的b；小新仅看错了方程②中的b，他得到的解是方程①的正确解，代入方程①即可求出正确的a；得到正确的a、b后代回原方程组，用加减消元法求解二元一次方程组，就能得到原方程组的正确解。
【解析】
解：
∵小红只看错了方程①中的a，她得到的解满足未看错的方程②
∴将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入方程②，得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$
$-12 + b = -2$
解得$b=10$
∵小新只看错了方程②中的b，他得到的解满足未看错的方程①
∴将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入方程①，得：
$5a +5×4=13$
$5a +20=13$
解得$a=-\frac{7}{5}$
将$a=-\frac{7}{5}$、$b=10$代入原方程组，得：
$\begin{cases}-\dfrac{7}{5}x +5y=13 \quad ①\\4x -10y=-2 \quad ②\end{cases}$
将方程②两边同时除以2，得：$2x -5y = -1 \quad ③$
①+③得：$\frac{3}{5}x=12$，解得$x=20$
把$x=20$代入③，得：$40-5y=-1$，解得$y=\frac{41}{5}$
【答案】
$\begin{cases}x=20\\y=\dfrac{41}{5}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的突破口是抓住“看错某系数时解仍满足另一未看错的方程”这一规律，求出正确系数后再求解方程组，整体计算量小，理清逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

13.在平面直角坐标系中,对于任意两点$P_1(x_1,y_1)$与$P_2(x_2,y_2)$的“识别距离”,给出如下定义:若$|x_1-x_2|＞|y_1-y_2|$,则点$P_1(x_1,y_1)$与点$P_2(x_2,y_2)$的“识别距离”为$|x_1-x_2|$;若$|x_1-x_2|＜|y_1-y_2|$,则点$P_1(x_1,y_1)$与点$P_2(x_2,y_2)$的“识别距离”为$|y_1-y_2|$.
例如:对于点$P_1(2,-1)$与点$P_2(4,3)$,因为$|2-4|＜|-1-3|$,所以点$P_1$与点$P_2$的“识别距离”为4.
【初步理解】
(1)已知点$A(-1,0),B(1,3)$,则点$A$与点$B$的“识别距离”为.
【深入应用】
(2)已知点$A(2,0)$,点$B$为$y$轴上的一个动点.
①若点$A$与点$B$的“识别距离”为4,求出满足条件的点$B$的坐标;
②点$A$与点$B$的“识别距离”的最小值.

13.解:(1)3;
(2)①$\because B$为$y$轴上的动点,
$\therefore$可设$B$点坐标为$(0,b)$,
$\because$点$A(2,0)$与点$B$的“识别距离”为4,$|2-0|=2$,
$\therefore |0-b|=4$,
$\therefore b=\pm4.$
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$;
②$\because |2-0|=2$,根据“识别距离”的定义可知,
当$|0-b|＞2$时,点$A$与点$B$的“识别距离”大于2,
当$|0-b|≤2$时,点$A$与点$B$的“识别距离”等于2,
$\therefore$点$A$与点$B$的“识别距离”的最小值为2.

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“识别距离”的计算规则：两点的“识别距离”为横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值两者中较大的那个值。
(1)只需先分别计算点A、B的横、纵坐标差的绝对值，比较大小后取较大值即可得到结果；
(2)①y轴上的点横坐标均为0，因此先设B点坐标为(0,b)，先计算横坐标差的绝对值为2，已知识别距离为4＞2，说明识别距离就是纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可得到B点坐标；
②横坐标差的绝对值固定为2，分两种情况讨论：若纵坐标差的绝对值大于2，则识别距离为纵坐标差的绝对值，大于2；若纵坐标差的绝对值≤2，则识别距离为2，据此即可得出最小值。
【解析】
(1)计算点A(-1,0)和B(1,3)的横、纵坐标差的绝对值：
$|x_1-x_2|=|-1-1|=2$，$|y_1-y_2|=|0-3|=3$，
∵$2＜3$，
∴点A与点B的“识别距离”为3。
(2)①
∵点B是y轴上的动点，
∴设点B的坐标为$(0,b)$，
点A(2,0)与B的横坐标差的绝对值为$|2-0|=2$，
∵“识别距离”为$4＞2$，
∴“识别距离”为纵坐标差的绝对值，即$|0 - b|=4$，
解得$b=4$或$b=-4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
②点A与B的横坐标差的绝对值固定为$|2-0|=2$，
当$|0 - b|＞2$时，“识别距离”为$|b|$，大于2；
当$|0 - b|≤2$时，“识别距离”为2，
因此点A与点B的“识别距离”的最小值为2。
【答案】
(1)3；(2)①$(0,4)$或$(0,-4)$；②2
【知识点】
新定义问题，绝对值运算，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题以新定义“识别距离”为背景，考查对新概念的阅读理解与应用能力，结合绝对值性质和平面直角坐标系基础知识即可求解，解题时要注意严格按照定义分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7