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[典例3]如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两个角分别等于∠α，∠β，且∠α的对边等于a.
典例解析
典例解析
答案
解：
作法：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
则△ABC即为所求作的三角形。
作法：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
则△ABC即为所求作的三角形。
解析
【分析】
要完成这个作图，首先明确已知条件：需作三角形的两个内角为∠α、∠β，且∠α的对边长为a。我们已经掌握“已知两角及其夹边作三角形（ASA）”的作图方法，但本题的已知边a是∠α的对边，不是两角的夹边，因此需要先做转化：根据三角形内角和为180°，先求出第三个角∠γ=180°-∠α-∠β，此时∠β和∠γ的夹边恰好是边长a，就可以转化为ASA的作图模型。接下来按步骤操作即可：第一步先作出第三个角∠γ；第二步作长度为a的线段BC；第三步在BC的同侧分别以B、C为顶点作等于∠β和∠γ的角，两条射线的交点即为三角形的第三个顶点A，即可得到所求三角形。
【解析】
我们按照以下步骤作图：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
此时△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
作法：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
则△ABC即为所求作的三角形。
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；三角形内角和定理；尺规作三角形
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题型，解题核心是通过三角形内角和定理将“已知两角及其中一角的对边作三角形”的未知问题，转化为已经掌握的“已知两角及其夹边作三角形”的已知模型，作图时要注意两个角需作在已知线段的同侧，避免作图错误。
【难度系数】
0.7
要完成这个作图，首先明确已知条件：需作三角形的两个内角为∠α、∠β，且∠α的对边长为a。我们已经掌握“已知两角及其夹边作三角形（ASA）”的作图方法，但本题的已知边a是∠α的对边，不是两角的夹边，因此需要先做转化：根据三角形内角和为180°，先求出第三个角∠γ=180°-∠α-∠β，此时∠β和∠γ的夹边恰好是边长a，就可以转化为ASA的作图模型。接下来按步骤操作即可：第一步先作出第三个角∠γ；第二步作长度为a的线段BC；第三步在BC的同侧分别以B、C为顶点作等于∠β和∠γ的角，两条射线的交点即为三角形的第三个顶点A，即可得到所求三角形。
【解析】
我们按照以下步骤作图：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
此时△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
作法：
1. 作∠γ = 180° - ∠α - ∠β：
作平角∠xOy，在∠xOy内部，以O为顶点、Ox为一边作∠xOP=∠α，再以OP为一边，在∠xOP的外侧作∠POQ=∠β，则∠QOy=180°-∠α-∠β，即∠QOy=∠γ。
2. 作线段BC = a。
3. 在线段BC的同侧，以点B为顶点、BC为一边作∠CBD=∠β，以点C为顶点、CB为一边作∠BCE=∠γ，射线BD与射线CE交于点A。
则△ABC即为所求作的三角形。
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；三角形内角和定理；尺规作三角形
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题型，解题核心是通过三角形内角和定理将“已知两角及其中一角的对边作三角形”的未知问题，转化为已经掌握的“已知两角及其夹边作三角形”的已知模型，作图时要注意两个角需作在已知线段的同侧，避免作图错误。
【难度系数】
0.7
[典例4]如图，AC，BC平分△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA，C为交点，∠AOB=50°，求∠COB的度数.
(2)在射线BN上作BC＝a；
(3)以C为顶点，CB为一边，作∠ACB＝180°−∠α−∠β，射线CA交BM于点A，则△ABC就是所求作的三角形.
(2)在射线BN上作BC＝a；
(3)以C为顶点，CB为一边，作∠ACB＝180°−∠α−∠β，射线CA交BM于点A，则△ABC就是所求作的三角形.
答案
解：过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F。
∵AC平分∠MAB，CD⊥OM，CF⊥AB，
∴CD=CF。
∵BC平分∠NBA，CE⊥ON，CF⊥AB，
∴CE=CF。
∴CD=CE。
又∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴点C在∠AOB的平分线上，即OC平分∠AOB。
∵∠AOB=50°，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB=25°。
∵AC平分∠MAB，CD⊥OM，CF⊥AB，
∴CD=CF。
∵BC平分∠NBA，CE⊥ON，CF⊥AB，
∴CE=CF。
∴CD=CE。
又∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴点C在∠AOB的平分线上，即OC平分∠AOB。
∵∠AOB=50°，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB=25°。
解析
【分析】
要求∠COB的度数，已知∠AOB=50°，若能证明OC是∠AOB的平分线，即可直接求出∠COB的度数。首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们需要证明点C到OM、ON的距离相等。已知AC平分外角∠MAB、BC平分外角∠NBA，结合角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等），我们可以过点C分别作OM、ON、AB的垂线，通过等量代换得到点C到OM、ON的距离相等，进而证明OC平分∠AOB，最终计算出∠COB的度数。
【解析】
过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F。
∵AC平分∠MAB，CD⊥OM，CF⊥AB，
∴CD=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BC平分∠NBA，CE⊥ON，CF⊥AB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴CD=CE（等量代换）。
又
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴点C在∠AOB的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OC平分∠AOB。
∵∠AOB=50°，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合应用类题目，解题的核心是通过作三条垂线段的辅助线，将角平分线的性质和判定建立关联，从而推导出OC为∠AOB的平分线，解题过程中体现了转化的数学思想，需要熟练掌握角平分线相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要求∠COB的度数，已知∠AOB=50°，若能证明OC是∠AOB的平分线，即可直接求出∠COB的度数。首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们需要证明点C到OM、ON的距离相等。已知AC平分外角∠MAB、BC平分外角∠NBA，结合角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等），我们可以过点C分别作OM、ON、AB的垂线，通过等量代换得到点C到OM、ON的距离相等，进而证明OC平分∠AOB，最终计算出∠COB的度数。
【解析】
过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F。
∵AC平分∠MAB，CD⊥OM，CF⊥AB，
∴CD=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BC平分∠NBA，CE⊥ON，CF⊥AB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴CD=CE（等量代换）。
又
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴点C在∠AOB的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OC平分∠AOB。
∵∠AOB=50°，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合应用类题目，解题的核心是通过作三条垂线段的辅助线，将角平分线的性质和判定建立关联，从而推导出OC为∠AOB的平分线，解题过程中体现了转化的数学思想，需要熟练掌握角平分线相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
