15. (★★★)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题.

(1)根据上面的多面体模型,完成下面的表格:

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值.

解：
(1) 表格中四面体的棱数填6，正八面体的顶点数填6，顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间的关系式是$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 由题意得 $F = V + 8$，$E=30$，代入欧拉公式$V+F-E=2$，得
$V + (V+8) - 30 = 2$
解得$V=12$，则$F=12+8=20$。
(3) 该多面体的棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$，
根据欧拉公式$V+F-E=2$，其中面数$F=x+y$，将$V=24$，$E=36$代入得：
$24 + (x+y) - 36 = 2$
解得$x+y=14$。
答：$x+y$的值为14。

【分析】
本题围绕简单多面体的欧拉公式设置问题，解题思路如下：
(1) 先通过观察几何体，数出四面体的棱数和正八面体的顶点数填充表格，再分别计算每组顶点数V、面数F、棱数E的运算结果，归纳出三者的数量关系式；
(2) 第二问已知面数和顶点数的关系、棱数，将已知条件代入第一问得到的关系式，列一元一次方程求解即可得到面数；
(3) 第三问先根据“24个顶点，每个顶点处有3条棱，每条棱属于2个顶点”算出总棱数，再明确总面数为x+y，代入欧拉公式列方程求解x+y的值。
【解析】
(1) 观察几何体可得，四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6；分别计算各多面体的$V+F-E$的值：四面体$4+4-6=2$，长方体$8+6-12=2$，正八面体$6+8-12=2$，正十二面体$20+12-30=2$，因此顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 由题意得$F = V + 8$，$E=30$，代入欧拉公式$V+F-E=2$：
$V + (V+8) - 30 = 2$
$2V -22 = 2$
解得$V=12$，则$F=12+8=20$。
(3) 每个顶点处有3条棱，每条棱被2个顶点共用，因此总棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$；
该多面体的总面数$F=x+y$，将$V=24$，$E=36$代入欧拉公式得：
$24 + (x+y) - 36 = 2$
解得$x+y=14$。
【答案】
(1) 表格依次填6、6；$\boldsymbol{V+F-E=2}$
(2) 20
(3) 14
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，几何体棱数计算
【点评】
本题以数学经典结论欧拉公式为载体，考查观察归纳能力、公式代入应用能力，第三问需注意棱数计算时要排除重复计数的误差，是一道结合规律探究与实际应用的典型题目。
【难度系数】
0.6