1.【例1】在学习完《切线的判定与性质》后,李老师布置一道作图题如下:
已知:如图,$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
求作:直线$PQ$,使$PQ$与$\odot O$相切于点$Q$.
某同学经过探索,给出了一种作图方法(如下):
①连接$OP$,分别以$O,P$为圆心,以大于$\frac{1}{2}OP$的长为半径作弧,两弧分别交于$A,B$两点(点$A,B$分别位于直线$OP$的上下两侧);
②作直线$AB$交$OP$于点$C$;
③以点$C$为圆心,$CO$为半径作$\odot C$,$\odot C$交$\odot O$于点$Q$(点$Q$位于直线$OP$的上侧);
④连接$PQ$,$PQ$交$AB$于点$D$,则直线$PQ$即为所求作直线.
根据这个同学的作图方法,解答下面问题:
(1)完成作图,并准确标注字母;(尺规作图,保留作图痕迹)
(2)结合作图,说明$PQ$是$\odot O$切线的理由.

$\dot{P}$

1.(1) 如图所示,直线PQ即为所求.
(2) 由题意,得OP为⊙C的直径,
∴ ∠OQP = 90°.
∴ OQ ⊥ PQ.
∵ OQ为⊙O的半径,
∴ 直线PQ为⊙O的切线.

【分析】
（1）作图只需严格按照题目给出的4个步骤操作即可：先连接OP，作出OP的垂直平分线AB得到OP中点C，再以C为圆心、CO长为半径作圆，取该圆与⊙O上侧的交点为Q，最后连接PQ，全程保留作图痕迹、准确标注对应字母即可。
（2）要证明PQ是⊙O的切线，根据切线的判定定理，只需证明PQ垂直于⊙O过切点Q的半径OQ。首先由作图可知AB是OP的垂直平分线，因此C是OP中点，即OP是⊙C的直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，可推出∠OQP=90°，得到OQ⊥PQ，再结合OQ是⊙O的半径，即可完成证明。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接OP，分别以O、P为圆心，取大于$\frac{1}{2}OP$的长度为半径作弧，两弧分别交于OP上下两侧的A、B点；
② 作直线AB，AB与OP的交点记为C；
③ 以C为圆心、CO为半径作圆，该圆与⊙O在OP上侧的交点记为Q；
④ 连接PQ，标注所有对应字母，保留全部作图痕迹。
(2) 证明：
由作图过程可得，AB是线段OP的垂直平分线，因此C为OP中点，即$OC=CP$。
∵ $\odot C$以C为圆心、CO为半径，
∴ $CO=CQ=CP$，即OP是$\odot C$的直径，
根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ OQP=90°$，即$OQ ⊥ PQ$。
又
∵ Q在$\odot O$上，OQ是$\odot O$的半径，
根据切线的判定定理，可得直线PQ是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) 如图所示,直线PQ即为所求.
(2) 由题意,得OP为⊙C的直径,
∴ ∠OQP = 90°.
∴ OQ ⊥ PQ.
∵ OQ为⊙O的半径,
∴ 直线PQ为⊙O的切线.
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理；垂直平分线作图
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，既考查基本作图的操作能力，也考查对作图原理、圆的相关性质的理解应用，解题核心是准确把握作图步骤对应的几何结论，灵活运用定理完成推理。
【难度系数】
0.7

探究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B. 则PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？并说明理由.
解:PA PB，∠APO ∠BPO. 理由如下:如图，连接OA，OB.
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，∴ OA AP，OB BP.
又 OA = ，OP = ，∴ Rt△AOP≌Rt△BOP( ).
∴ PA PB，∠APO ∠BPO.

PA = PB，∠APO = ∠BPO. 理由如下:如图，连接OA，OB.
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，
∴ OA ⊥ AP，OB ⊥ BP.
又 OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP( HL ).
∴ PA = PB，∠APO = ∠BPO.

【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，可得到两个直角三角形Rt△AOP和Rt△BOP；其次寻找两个直角三角形全等的条件：同圆的半径相等可得OA=OB，OP是两个三角形的公共斜边，因此可通过HL定理证明两个直角三角形全等；最后根据全等三角形的性质，即可得到PA、PB的数量关系和∠APO与∠BPO的大小关系。
【解析】
PA = PB，∠APO = ∠BPO，理由如下：
如图，连接OA，OB。
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，
∴ OA ⊥ AP，OB ⊥ BP，即∠OAP=∠OBP=90°。
又
∵ OA和OB都是⊙O的半径，
∴OA = OB，且OP是△AOP和△BOP的公共边，即OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）。
根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得PA = PB，∠APO = ∠BPO。
【答案】
PA = PB，∠APO = ∠BPO。理由如下：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA ⊥ AP，OB ⊥ BP，
又OA = OB，OP = OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PA = PB，∠APO = ∠BPO。
【知识点】
切线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何推导题，是切线长定理的来源推导，综合考查了圆的切线性质和全等三角形的判定与性质，解题的核心是通过构造直角三角形，利用全等证明得到对应边和角的关系，掌握该推导过程能为后续圆的综合应用打下基础。
【难度系数】
0.8

归纳 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的相等,并且这一点和圆心的连线两条切线的夹角.

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【分析】
本题考查切线长定理的内容，解题时可结合已学的切线性质推导定理，辅助记忆：首先明确切线的性质为圆的切线垂直于过切点的半径，我们可设圆外一点为P，圆心为O，两条切线的切点分别为A、B，连接OA、OB、OP，可得OA⊥PA、OB⊥PB，即△OPA和△OPB均为直角三角形；由于OA、OB是同圆的半径，故OA=OB，且OP是两个直角三角形的公共斜边，可通过HL判定Rt△OPA≌Rt△OPB，由全等性质可得对应边PA=PB（即两条切线长相等），对应角∠APO=∠BPO（即OP平分两条切线的夹角），结合推导即可确定两个空的答案。
【解析】
我们可通过全等推导验证切线长定理的内容：
设圆O外一点P，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP。
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
$\{\begin{array}{l}OA=OB（同圆的半径相等）\\ OP=OP（公共边）\end{array} $
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO。
因此可得结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【答案】
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【知识点】
切线长定理、切线的性质、全等三角形判定
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对切线长定理内容的记忆与理解，掌握相关定理内容即可快速作答，是圆章节中常见的基础题型。
【难度系数】
0.9

2.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_{153}$思考改编)如图,点$P$为$\odot O$外一点,$PA$,$PB$分别切$\odot O$于$A$,$B$两点,若$PA = 3$,则$PB =$.

3.如图,$PA$,$PB$是$\odot O$的两条切线,点$A$,$B$是切点,若$∠ APB = 60°$,$PO = 4$,则$\odot O$的半径为 .

2. 3
3. 2

【分析】
第2题：已知PA、PB是圆外一点P向⊙O引的两条切线，求PB长度，可直接调用切线长定理解题：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，代入PA的数值即可得到PB的长度。
第3题：求⊙O的半径，首先连接过切点A的半径OA，根据切线的性质可得OA⊥PA；再根据切线长定理可知PO平分∠APB，可算出∠APO=30°，最后在直角三角形POA中利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”的性质即可算出半径长度。
【解析】
2. 解：
∵PA、PB分别是⊙O外点P引的两条切线，切点为A、B
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
∴PB=PA
又
∵PA=3
∴PB=3
3. 解：连接OA
∵PA是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°
∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°
根据切线长定理，PO平分∠APB
∴∠APO=1/2∠APB=30°
在Rt△POA中，斜边PO=4，∠APO=30°
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴OA=1/2 PO=1/2×4=2
即⊙O的半径为2
【答案】
2. 3
3. 2
【知识点】
切线长定理，切线的性质，直角三角形的性质
【点评】
这两道是切线相关的基础题型，核心考查切线性质和切线长定理的应用，涉及特殊角时可构造直角三角形快速求解，是圆的基础考点。
【难度系数】
0.8