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基础知识·预习
问题1 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当x取何值时，y的值最大（或最小）？
问题2 学习过的图形面积公式有哪些？
问题1 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当x取何值时，y的值最大（或最小）？
问题2 学习过的图形面积公式有哪些？
答案
解：
问题1：
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方可得：
$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
当$a＞0$时，抛物线开口向上，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：
已学的常见图形面积公式如下：
矩形：$S = 长 × 宽$
正方形：$S = 边长 × 边长$
平行四边形：$S = 底 × 高$
三角形：$S = \dfrac{1}{2} × 底 × 高$
梯形：$S = \dfrac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高$
圆：$S = π r^2$（$r$为圆的半径）
问题1：
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方可得：
$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
当$a＞0$时，抛物线开口向上，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：
已学的常见图形面积公式如下：
矩形：$S = 长 × 宽$
正方形：$S = 边长 × 边长$
平行四边形：$S = 底 × 高$
三角形：$S = \dfrac{1}{2} × 底 × 高$
梯形：$S = \dfrac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高$
圆：$S = π r^2$（$r$为圆的半径）
解析
【分析】
问题1：二次函数的图像为抛物线，其最值在顶点处取得，解题时可先将二次函数一般式配方为顶点式，再结合二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向，分情况讨论最值的类型、对应的x取值以及最值大小。
问题2：本题需要梳理回忆已经学习过的常见平面图形的面积公式，逐一准确罗列即可。
【解析】
问题1：
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方可得：
$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
当$a＞0$时，抛物线开口向上，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：
已学的常见图形面积公式如下：
矩形：$S = 长 × 宽$
正方形：$S = 边长 × 边长$
平行四边形：$S = 底 × 高$
三角形：$S = \dfrac{1}{2} × 底 × 高$
梯形：$S = \dfrac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高$
圆：$S = π r^2$（$r$为圆的半径）
【答案】
问题1：当$a＞0$时，$x=-\dfrac{b}{2a}$时$y$取最小值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；当$a＜0$时，$x=-\dfrac{b}{2a}$时$y$取最大值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：矩形$S=长×宽$；正方形$S=边长×边长$；平行四边形$S=底×高$；三角形$S=\dfrac{1}{2}×底×高$；梯形$S=\dfrac{1}{2}×(上底+下底)×高$；圆$S=π r^2$（$r$为圆的半径）。
【知识点】
二次函数的最值、常见平面图形面积公式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础预习内容，掌握二次函数最值的求解方法、常见图形的面积公式，是后续解决最大高度、最大面积等实际应用题的核心前提。
【难度系数】
0.8
问题1：二次函数的图像为抛物线，其最值在顶点处取得，解题时可先将二次函数一般式配方为顶点式，再结合二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向，分情况讨论最值的类型、对应的x取值以及最值大小。
问题2：本题需要梳理回忆已经学习过的常见平面图形的面积公式，逐一准确罗列即可。
【解析】
问题1：
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方可得：
$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
当$a＞0$时，抛物线开口向上，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：
已学的常见图形面积公式如下：
矩形：$S = 长 × 宽$
正方形：$S = 边长 × 边长$
平行四边形：$S = 底 × 高$
三角形：$S = \dfrac{1}{2} × 底 × 高$
梯形：$S = \dfrac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高$
圆：$S = π r^2$（$r$为圆的半径）
【答案】
问题1：当$a＞0$时，$x=-\dfrac{b}{2a}$时$y$取最小值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最大值；当$a＜0$时，$x=-\dfrac{b}{2a}$时$y$取最大值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，无最小值。
问题2：矩形$S=长×宽$；正方形$S=边长×边长$；平行四边形$S=底×高$；三角形$S=\dfrac{1}{2}×底×高$；梯形$S=\dfrac{1}{2}×(上底+下底)×高$；圆$S=π r^2$（$r$为圆的半径）。
【知识点】
二次函数的最值、常见平面图形面积公式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础预习内容，掌握二次函数最值的求解方法、常见图形的面积公式，是后续解决最大高度、最大面积等实际应用题的核心前提。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】如图，
一个圆形喷水池的池中心竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷水头向外喷水，水柱在各个方向上均沿相同的抛物线路径落下，水柱的高度$y$(单位:m)与离池中心的水平距离$x$(单位:m)之间的解析式是$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$。求水柱的最大高度。
【解】对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1$时，$y$有最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{-5 -4}{-4}=\frac{9}{4}$。
因此，水柱的最大高度是$\frac{9}{4}$ m。
一个圆形喷水池的池中心竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷水头向外喷水，水柱在各个方向上均沿相同的抛物线路径落下，水柱的高度$y$(单位:m)与离池中心的水平距离$x$(单位:m)之间的解析式是$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$。求水柱的最大高度。
【解】对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1$时，$y$有最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{-5 -4}{-4}=\frac{9}{4}$。
因此，水柱的最大高度是$\frac{9}{4}$ m。
答案
解：对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{5}{4}$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数的图象开口向下，函数在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$时，
$y$的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×\frac{5}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-5-4}{-4}=\frac{9}{4}$。
答：水柱的最大高度是$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数的图象开口向下，函数在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$时，
$y$的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×\frac{5}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-5-4}{-4}=\frac{9}{4}$。
答：水柱的最大高度是$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要求水柱的最大高度，实质是求二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$的最大值。首先回忆二次函数的性质：当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值。因此我们只需要先确定二次函数的系数a、b、c，再代入顶点纵坐标公式计算即可得到最大高度。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{5}{4}$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数的图象开口向下，函数在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$时，
$y$的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×\frac{5}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-5-4}{-4}=\frac{9}{4}$。
答：水柱的最大高度是$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值，既可以用顶点坐标公式求解，也可以通过配方法将函数解析式化为顶点式求解，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.8
要求水柱的最大高度，实质是求二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$的最大值。首先回忆二次函数的性质：当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值。因此我们只需要先确定二次函数的系数a、b、c，再代入顶点纵坐标公式计算即可得到最大高度。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{5}{4}$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数的图象开口向下，函数在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$时，
$y$的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×\frac{5}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-5-4}{-4}=\frac{9}{4}$。
答：水柱的最大高度是$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值，既可以用顶点坐标公式求解，也可以通过配方法将函数解析式化为顶点式求解，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.8
