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1. 在$△ ABC$中，$∠ A=100°$，当$∠ B=$时，$△ ABC$是等腰三角形。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理思考：首先判断已知的100°角的类型，因为三角形内角最多只能有1个钝角，所以100°的∠A不可能是底角（若为底角，两个底角和就超过180°，不符合内角和定理），只能是等腰三角形的顶角，剩下的∠B和∠C是相等的底角，据此计算即可得到∠B的度数。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，因此三角形存在两个相等的内角，且三角形内角和为180°。
步骤1：判断∠A的角色
若∠A为底角，则两个底角的和为$100°×2=200°＞180°$，不符合三角形内角和定理，因此该情况不成立，即∠A只能是等腰三角形的顶角。
步骤2：计算底角∠B的度数
等腰三角形两底角相等，即$∠ B=∠ C$，因此：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-100°)÷2=40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质和三角形内角和的综合应用，解题的关键是先明确钝角只能作为等腰三角形的顶角，避免忽略内角和限制出现错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理思考：首先判断已知的100°角的类型，因为三角形内角最多只能有1个钝角，所以100°的∠A不可能是底角（若为底角，两个底角和就超过180°，不符合内角和定理），只能是等腰三角形的顶角，剩下的∠B和∠C是相等的底角，据此计算即可得到∠B的度数。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，因此三角形存在两个相等的内角，且三角形内角和为180°。
步骤1：判断∠A的角色
若∠A为底角，则两个底角的和为$100°×2=200°＞180°$，不符合三角形内角和定理，因此该情况不成立，即∠A只能是等腰三角形的顶角。
步骤2：计算底角∠B的度数
等腰三角形两底角相等，即$∠ B=∠ C$，因此：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-100°)÷2=40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质和三角形内角和的综合应用，解题的关键是先明确钝角只能作为等腰三角形的顶角，避免忽略内角和限制出现错解。
【难度系数】
0.7
2.如图,关于$△ ABC$,给出下列四组条件:
①$AB=AC$;②$∠ B=56°,∠ BAC=68°$;③$AD⊥ BC,AD$平分$∠ BAC$;④$AD⊥ BC,AD$是$BC$边上的中线.
其中能判定$△ ABC$是等腰三角形的有(填序号).
①$AB=AC$;②$∠ B=56°,∠ BAC=68°$;③$AD⊥ BC,AD$平分$∠ BAC$;④$AD⊥ BC,AD$是$BC$边上的中线.
其中能判定$△ ABC$是等腰三角形的有(填序号).
答案
解：
①∵AB=AC，由等腰三角形的定义可直接判定△ABC是等腰三角形；
②∵∠B=56°，∠BAC=68°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-56°-68°=56°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC是等腰三角形；
③∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④∵AD⊥BC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的有$\boldsymbol{①②③④}$。
①∵AB=AC，由等腰三角形的定义可直接判定△ABC是等腰三角形；
②∵∠B=56°，∠BAC=68°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-56°-68°=56°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC是等腰三角形；
③∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④∵AD⊥BC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的有$\boldsymbol{①②③④}$。
解析
【分析】
判定△ABC为等腰三角形的核心是证明三角形存在两条相等的边，或两个相等的内角。我们逐个分析四组条件：①直接给出两边相等，可直接依据定义判断；②可通过三角形内角和定理计算第三个角的度数，验证是否有两个内角相等，再依据“等角对等边”判断；③④可先证明△ABD和△ACD全等，得到对应边AB=AC，进而判断三角形为等腰三角形。
【解析】
①
∵AB=AC，由等腰三角形的定义可直接判定△ABC是等腰三角形；
②
∵∠B=56°，∠BAC=68°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-56°-68°=56°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC是等腰三角形；
③
∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④
∵AD⊥BC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的有①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查等腰三角形的多种判定方法，解题时可结合已知条件灵活选择判定思路，既可以直接利用边、角的相等关系判断，也可以通过证明三角形全等推导边相等来判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
判定△ABC为等腰三角形的核心是证明三角形存在两条相等的边，或两个相等的内角。我们逐个分析四组条件：①直接给出两边相等，可直接依据定义判断；②可通过三角形内角和定理计算第三个角的度数，验证是否有两个内角相等，再依据“等角对等边”判断；③④可先证明△ABD和△ACD全等，得到对应边AB=AC，进而判断三角形为等腰三角形。
【解析】
①
∵AB=AC，由等腰三角形的定义可直接判定△ABC是等腰三角形；
②
∵∠B=56°，∠BAC=68°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-56°-68°=56°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC是等腰三角形；
③
∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④
∵AD⊥BC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的有①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查等腰三角形的多种判定方法，解题时可结合已知条件灵活选择判定思路，既可以直接利用边、角的相等关系判断，也可以通过证明三角形全等推导边相等来判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$DE// BC$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$。若$AB=9$，$AC=6$，则$△ ADE$的周长为。
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
解题时可结合已知条件联想常用几何模型：已知角平分线和平行线，可推出等腰三角形。第一步先根据角平分线定义得到等角，再结合平行线的内错角相等，通过等量代换得到新的等角，判定出等腰三角形，得到相等的线段；第二步将△ADE的周长中的线段通过等线段代换，转化为AB与AC的和，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO。
同理可得：CE=EO。
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE，
将DO=BD、OE=CE代入上式得：
周长=AD+BD+CE+AE=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC，
∵AB=9，AC=6，
∴△ADE的周长=9+6=15。
【答案】
15
【知识点】
角平分线定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”推导等腰三角形的模型，通过线段等量代换将所求周长转化为已知边长的和，不需要单独计算各小段线段的长度即可快速求解，这类模型在几何线段计算类题目中高频出现，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知条件联想常用几何模型：已知角平分线和平行线，可推出等腰三角形。第一步先根据角平分线定义得到等角，再结合平行线的内错角相等，通过等量代换得到新的等角，判定出等腰三角形，得到相等的线段；第二步将△ADE的周长中的线段通过等线段代换，转化为AB与AC的和，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO。
同理可得：CE=EO。
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE，
将DO=BD、OE=CE代入上式得：
周长=AD+BD+CE+AE=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC，
∵AB=9，AC=6，
∴△ADE的周长=9+6=15。
【答案】
15
【知识点】
角平分线定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”推导等腰三角形的模型，通过线段等量代换将所求周长转化为已知边长的和，不需要单独计算各小段线段的长度即可快速求解，这类模型在几何线段计算类题目中高频出现，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 如图，已知P是射线ON上的一个动点(即点P可在射线ON上运动)，∠O=30°. 当∠A=时，△AOP为等腰三角形.
答案
$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
已知△AOP为等腰三角形，但未明确哪两条边为腰，因此需分三种情况讨论两条边相等的情形，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形内角和为180°，分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
△AOP为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 当$OP=AP$时，根据等边对等角，得$∠ A=∠ O=30°$；
2. 当$OA=OP$时，根据等边对等角，得$∠ A=∠ APO$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=\frac{180°-∠ O}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$；
3. 当$OA=AP$时，根据等边对等角，得$∠ APO=∠ O=30°$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ O-∠ APO=180°-30°-30°=120°$。
综上，$∠ A$的度数为$30°$或$75°$或$120°$。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，注意不要遗漏任何一种可能的情况，结合三角形内角和性质即可求出所有符合条件的角度。
【难度系数】
0.6
已知△AOP为等腰三角形，但未明确哪两条边为腰，因此需分三种情况讨论两条边相等的情形，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形内角和为180°，分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
△AOP为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 当$OP=AP$时，根据等边对等角，得$∠ A=∠ O=30°$；
2. 当$OA=OP$时，根据等边对等角，得$∠ A=∠ APO$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=\frac{180°-∠ O}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$；
3. 当$OA=AP$时，根据等边对等角，得$∠ APO=∠ O=30°$，结合三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ O-∠ APO=180°-30°-30°=120°$。
综上，$∠ A$的度数为$30°$或$75°$或$120°$。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，注意不要遗漏任何一种可能的情况，结合三角形内角和性质即可求出所有符合条件的角度。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$△ ABC$中,D是AB边上一点,在AC的延长线上取$CE=BD$,连接DE交BC于点F,且$DF=EF$.求证:$△ ABC$为等腰三角形.
答案
证明：过点D作DG//AC，交BC于点G。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DGF=∠ECF \\∠GDF=∠E \\DF=EF\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS）。
∴ DG=CE。
又∵ CE=BD，
∴ DG=BD，
∴ ∠B=∠DGB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，
∴ ∠B=∠ACB，
∴ AB=AC，
即△ABC为等腰三角形。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DGF=∠ECF \\∠GDF=∠E \\DF=EF\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS）。
∴ DG=CE。
又∵ CE=BD，
∴ DG=BD，
∴ ∠B=∠DGB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，
∴ ∠B=∠ACB，
∴ AB=AC，
即△ABC为等腰三角形。
解析
【分析】
要证明$△ ABC$为等腰三角形，本质是要证明$∠ B=∠ ACB$（或$AB=AC$）。已知$DF=EF$、$CE=BD$，可通过构造全等三角形实现线段、角的等量转化：过点$D$作$DG// AC$交$BC$于$G$，首先利用平行线的性质得到对应角相等，结合$DF=EF$证明$△ DGF$和$△ ECF$全等，将$CE$转化为$DG$，再结合$CE=BD$推出$DG=BD$，得到$∠ B=∠ DGB$，最后利用平行线的同位角相等将$∠ DGB$转化为$∠ ACB$，即可证得$∠ B=∠ ACB$，得到最终结论。
【解析】
证明：过点$D$作$DG// AC$，交$BC$于点$G$。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGF=∠ ECF$，$∠ GDF=∠ E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DGF=∠ ECF \\∠ GDF=∠ E \\DF=EF\end{array} $
$\therefore △ DGF≌△ ECF\mathrm{（AAS）}$。
$\therefore DG=CE$。
又$\because CE=BD$，
$\therefore DG=BD$，
$\therefore ∠ B=∠ DGB$。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGB=∠ ACB$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$，
$\therefore AB=AC$，
即$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$为等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是通过构造平行线得到全等三角形，将分散的已知相等线段建立关联，结合角的等量代换完成等腰三角形的证明，是等腰三角形判定类题目中典型的辅助线构造题型。
【难度系数】
0.6
要证明$△ ABC$为等腰三角形，本质是要证明$∠ B=∠ ACB$（或$AB=AC$）。已知$DF=EF$、$CE=BD$，可通过构造全等三角形实现线段、角的等量转化：过点$D$作$DG// AC$交$BC$于$G$，首先利用平行线的性质得到对应角相等，结合$DF=EF$证明$△ DGF$和$△ ECF$全等，将$CE$转化为$DG$，再结合$CE=BD$推出$DG=BD$，得到$∠ B=∠ DGB$，最后利用平行线的同位角相等将$∠ DGB$转化为$∠ ACB$，即可证得$∠ B=∠ ACB$，得到最终结论。
【解析】
证明：过点$D$作$DG// AC$，交$BC$于点$G$。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGF=∠ ECF$，$∠ GDF=∠ E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DGF=∠ ECF \\∠ GDF=∠ E \\DF=EF\end{array} $
$\therefore △ DGF≌△ ECF\mathrm{（AAS）}$。
$\therefore DG=CE$。
又$\because CE=BD$，
$\therefore DG=BD$，
$\therefore ∠ B=∠ DGB$。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGB=∠ ACB$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$，
$\therefore AB=AC$，
即$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$为等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是通过构造平行线得到全等三角形，将分散的已知相等线段建立关联，结合角的等量代换完成等腰三角形的证明，是等腰三角形判定类题目中典型的辅助线构造题型。
【难度系数】
0.6
6.如图,在四边形ABCD中,E是BC边上的点,请用尺规作图法作一个以BE为底的等腰△BEP,点P在四边形ABCD内部,且点P到边AB,BC的距离相等.(作出符合题意的等腰三角形,保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
所作等腰△BEP满足：点P为∠ABC的角平分线与线段BE的垂直平分线在四边形ABCD内部的交点，连接BP、EP，保留尺规作∠ABC角平分线、作BE的垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，△BEP即为符合题意的图形。
所作等腰△BEP满足：点P为∠ABC的角平分线与线段BE的垂直平分线在四边形ABCD内部的交点，连接BP、EP，保留尺规作∠ABC角平分线、作BE的垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，△BEP即为符合题意的图形。
解析
【分析】
解题时可将题目要求拆解为两个条件分别推导点P的位置：①要作以BE为底的等腰△BEP，则需满足PB=PE，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P在BE的垂直平分线上；②要求点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在∠ABC的角平分线上。取两条线在四边形内部的交点即为点P，连接BP、EP即可得到所求等腰三角形。
【解析】
1. 用尺规作∠ABC的角平分线；
2. 用尺规作线段BE的垂直平分线；
3. 取上述两条线在四边形ABCD内部的交点，记为P；
4. 连接PB、PE，保留作角平分线、垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，得到的△BEP即为符合要求的图形。
【答案】
所作等腰△BEP满足：点P为∠ABC的角平分线与线段BE的垂直平分线在四边形ABCD内部的交点，连接BP、EP，保留尺规作∠ABC角平分线、作BE的垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，△BEP即为符合题意的图形。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图综合应用题，需要将题目的几何条件转化为对应的作图操作，重点考查对基础几何性质的理解和基础尺规作图方法的掌握，以及条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
解题时可将题目要求拆解为两个条件分别推导点P的位置：①要作以BE为底的等腰△BEP，则需满足PB=PE，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P在BE的垂直平分线上；②要求点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在∠ABC的角平分线上。取两条线在四边形内部的交点即为点P，连接BP、EP即可得到所求等腰三角形。
【解析】
1. 用尺规作∠ABC的角平分线；
2. 用尺规作线段BE的垂直平分线；
3. 取上述两条线在四边形ABCD内部的交点，记为P；
4. 连接PB、PE，保留作角平分线、垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，得到的△BEP即为符合要求的图形。
【答案】
所作等腰△BEP满足：点P为∠ABC的角平分线与线段BE的垂直平分线在四边形ABCD内部的交点，连接BP、EP，保留尺规作∠ABC角平分线、作BE的垂直平分线的所有圆弧作图痕迹，△BEP即为符合题意的图形。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图综合应用题，需要将题目的几何条件转化为对应的作图操作，重点考查对基础几何性质的理解和基础尺规作图方法的掌握，以及条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
