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1.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等。设甲每小时做x个零件，依题意列方程为。
答案
解：
设甲每小时做$x$个零件，则乙每小时做$(x-6)$个零件。
甲做90个零件所用时间为$\frac{90}{x}$小时，乙做60个零件所用时间为$\frac{60}{x-6}$小时，根据两个时间相等，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
设甲每小时做$x$个零件，则乙每小时做$(x-6)$个零件。
甲做90个零件所用时间为$\frac{90}{x}$小时，乙做60个零件所用时间为$\frac{60}{x-6}$小时，根据两个时间相等，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
解析
【分析】
列方程解应用题的核心是先找到题干中的等量关系。本题给出的关键等量关系为：甲做90个零件所用的时间=乙做60个零件所用的时间。已知设甲每小时做x个零件，结合“甲每小时比乙多做6个”可推出乙每小时做(x-6)个零件；再根据工程问题的基本公式“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别表示出甲、乙完成对应工作量的时间，将其代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设甲每小时做$x$个零件，则乙每小时做$(x-6)$个零件。
甲做90个零件所用的时间为$\frac{90}{x}$小时，
乙做60个零件所用的时间为$\frac{60}{x-6}$小时，
根据两个时间相等的等量关系，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
【答案】
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
【知识点】
分式方程的应用；工程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题关键在于准确提取题干中的等量关系，牢记工程问题的基本数量关系，正确表示出两人的工作效率即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
列方程解应用题的核心是先找到题干中的等量关系。本题给出的关键等量关系为：甲做90个零件所用的时间=乙做60个零件所用的时间。已知设甲每小时做x个零件，结合“甲每小时比乙多做6个”可推出乙每小时做(x-6)个零件；再根据工程问题的基本公式“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别表示出甲、乙完成对应工作量的时间，将其代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设甲每小时做$x$个零件，则乙每小时做$(x-6)$个零件。
甲做90个零件所用的时间为$\frac{90}{x}$小时，
乙做60个零件所用的时间为$\frac{60}{x-6}$小时，
根据两个时间相等的等量关系，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
【答案】
$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$
【知识点】
分式方程的应用；工程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题关键在于准确提取题干中的等量关系，牢记工程问题的基本数量关系，正确表示出两人的工作效率即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
2.当$x=$时，$\frac{x}{x-5}-2$与$\frac{x+1}{x}$互为相反数。
答案
解：
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\frac{x}{x-5} - 2 + \frac{x+1}{x} = 0$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$，得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5) = 0$
展开并化简：
$x^2 -2x^2 +10x +x^2 -4x -5 = 0$
$6x -5 = 0$
解得：
$x = \frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$x(x-5) ≠ 0$，$x=\frac{5}{6}$是原方程的解。
$\frac{5}{6}$
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\frac{x}{x-5} - 2 + \frac{x+1}{x} = 0$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$，得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5) = 0$
展开并化简：
$x^2 -2x^2 +10x +x^2 -4x -5 = 0$
$6x -5 = 0$
解得：
$x = \frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$x(x-5) ≠ 0$，$x=\frac{5}{6}$是原方程的解。
$\frac{5}{6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；再按照分式方程的常规求解步骤，先去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，求解整式方程得到x的候选值；最后一定要检验所得的x是否使原分式的分母不为0，排除增根后即可得到正确结果。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\frac{x}{x-5} - 2 + \frac{x+1}{x} = 0$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$，得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5) = 0$
展开并化简：
$x^2 -2x^2 +10x +x^2 -4x -5 = 0$
$6x -5 = 0$
解得：
$x = \frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$x(x-5) ≠ 0$，所以$x=\frac{5}{6}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，结合相反数的性质列方程即可求解，解题的易错点是忘记对分式方程的解进行检验，出现增根错误，是该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；再按照分式方程的常规求解步骤，先去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，求解整式方程得到x的候选值；最后一定要检验所得的x是否使原分式的分母不为0，排除增根后即可得到正确结果。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\frac{x}{x-5} - 2 + \frac{x+1}{x} = 0$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$，得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5) = 0$
展开并化简：
$x^2 -2x^2 +10x +x^2 -4x -5 = 0$
$6x -5 = 0$
解得：
$x = \frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$x(x-5) ≠ 0$，所以$x=\frac{5}{6}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，结合相反数的性质列方程即可求解，解题的易错点是忘记对分式方程的解进行检验，出现增根错误，是该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3.如图,把电阻值分别为$R_1,R_2$的两个电阻并联后接入某电路中,已知其总电阻值$R$(单位:$\Omega$)满足$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$.若$R$的电阻值是1$\Omega$,$R_2$的电阻值是3$\Omega$,则$R_1$的电阻值是$\Omega$.
答案
解：将$R=1\ \Omega$，$R_2=3\ \Omega$代入$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，得
$1=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{3}$
移项整理得：
$\frac{1}{R_1}=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3R_1$，得
$3=2R_1$
解得
$R_1=\frac{3}{2}$
检验：当$R_1=\frac{3}{2}$时，$3R_1≠0$，因此$R_1=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
$\frac{3}{2}$
$1=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{3}$
移项整理得：
$\frac{1}{R_1}=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3R_1$，得
$3=2R_1$
解得
$R_1=\frac{3}{2}$
检验：当$R_1=\frac{3}{2}$时，$3R_1≠0$，因此$R_1=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的并联电阻总电阻与分电阻的关系式，已知总电阻R和分电阻R₂的数值，第一步将已知数值代入关系式，得到关于R₁的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：移项化简、去分母转化为整式方程、求解、检验，即可得到R₁的阻值。
【解析】
解：将$R=1\ \Omega$，$R_2=3\ \Omega$代入$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，得
$1=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{3}$
移项整理得：
$\frac{1}{R_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3R_1$，得
$3=2R_1$
解得
$R_1=\frac{3}{2}$
检验：当$R_1=\frac{3}{2}$时，$3R_1≠0$，因此$R_1=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程求解，代入求值，分式运算
【点评】
本题结合物理中并联电阻的情境考查分式方程的应用，解题核心是准确代入已知量得到分式方程，求解时注意要对分式方程的根进行检验，确保解有效。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目给出的并联电阻总电阻与分电阻的关系式，已知总电阻R和分电阻R₂的数值，第一步将已知数值代入关系式，得到关于R₁的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：移项化简、去分母转化为整式方程、求解、检验，即可得到R₁的阻值。
【解析】
解：将$R=1\ \Omega$，$R_2=3\ \Omega$代入$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，得
$1=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{3}$
移项整理得：
$\frac{1}{R_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3R_1$，得
$3=2R_1$
解得
$R_1=\frac{3}{2}$
检验：当$R_1=\frac{3}{2}$时，$3R_1≠0$，因此$R_1=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程求解，代入求值，分式运算
【点评】
本题结合物理中并联电阻的情境考查分式方程的应用，解题核心是准确代入已知量得到分式方程，求解时注意要对分式方程的根进行检验，确保解有效。
【难度系数】
0.85
4.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签的价格是乙款书签价格的$\frac{5}{4}$倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
答案
解：设乙款书签的单价为$x$元，则甲款书签的单价为$\frac{5}{4}x$元。
根据题意，得：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
化简得：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，原分式方程的分母均不为0，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
甲款书签的单价为$\frac{5}{4} × 16 = 20$（元）。
答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元。
根据题意，得：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
化简得：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，原分式方程的分母均不为0，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
甲款书签的单价为$\frac{5}{4} × 16 = 20$（元）。
答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元。
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先根据两款书签单价的倍数关系设未知数，设乙款单价为x元，就能用含x的式子表示甲款单价；接着找题目中的等量关系：用128元买乙款的数量减去用100元买甲款的数量等于3个，结合“数量=总价÷单价”的公式即可列出分式方程；然后求解分式方程，注意分式方程必须检验根是否符合原方程及实际意义，最后算出甲款单价即可。
【解析】
解：设乙款书签的单价为$x$元，则甲款书签的单价为$\frac{5}{4}x$元。
根据题意，得：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
化简得：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，原分式方程的分母均不为0，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
甲款书签的单价为$\frac{5}{4} × 16 = 20$（元）。
答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元。
【答案】
甲款书签单价为20元，乙款书签单价为16元。
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的分式方程实际应用类题目，解题核心是准确抓住题目中的数量关系，利用“总价、单价、数量”三者的关系列方程，解题时要注意分式方程必须进行检验，既要验证根是否满足原方程，也要验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先根据两款书签单价的倍数关系设未知数，设乙款单价为x元，就能用含x的式子表示甲款单价；接着找题目中的等量关系：用128元买乙款的数量减去用100元买甲款的数量等于3个，结合“数量=总价÷单价”的公式即可列出分式方程；然后求解分式方程，注意分式方程必须检验根是否符合原方程及实际意义，最后算出甲款单价即可。
【解析】
解：设乙款书签的单价为$x$元，则甲款书签的单价为$\frac{5}{4}x$元。
根据题意，得：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
化简得：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，原分式方程的分母均不为0，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
甲款书签的单价为$\frac{5}{4} × 16 = 20$（元）。
答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元。
【答案】
甲款书签单价为20元，乙款书签单价为16元。
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的分式方程实际应用类题目，解题核心是准确抓住题目中的数量关系，利用“总价、单价、数量”三者的关系列方程，解题时要注意分式方程必须进行检验，既要验证根是否满足原方程，也要验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
5. 提升题一项工程，甲、乙两家公司合作，12天可以完成，共需支付施工费102 000元.如果甲、乙两家公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元.
(1)若甲、乙两家公司单独完成此项工程，各需多少天？
(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
(1)若甲、乙两家公司单独完成此项工程，各需多少天？
(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
答案
解：(1)设甲公司单独完成此项工程需$x$天，则乙公司单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意，得
$\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}=\frac{1}{12}$
方程两边同乘$18x$，得
$18 + 12 = 1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$18x≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
则$1.5x=1.5×20=30$。
(2)设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y-1500)$元。
根据题意，得
$12(y + y - 1500)=102000$
解得$y=5000$。
乙公司每天的施工费为$5000-1500=3500$元。
甲公司单独完成此项工程的总施工费为：$20×5000=100000$元。
乙公司单独完成此项工程的总施工费为：$30×3500=105000$元。
因为$100000＜105000$，所以甲公司的施工费较少。
答：(1)甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；(2)甲公司的施工费较少。
根据题意，得
$\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}=\frac{1}{12}$
方程两边同乘$18x$，得
$18 + 12 = 1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$18x≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
则$1.5x=1.5×20=30$。
(2)设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y-1500)$元。
根据题意，得
$12(y + y - 1500)=102000$
解得$y=5000$。
乙公司每天的施工费为$5000-1500=3500$元。
甲公司单独完成此项工程的总施工费为：$20×5000=100000$元。
乙公司单独完成此项工程的总施工费为：$30×3500=105000$元。
因为$100000＜105000$，所以甲公司的施工费较少。
答：(1)甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；(2)甲公司的施工费较少。
解析
【分析】
本题属于工程类实际应用题，解题可分两步展开：
(1) 求解单独完工天数：工程问题通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完工时间。已知乙单独用时是甲的1.5倍，可设甲单独完成需x天，乙对应为1.5x天，根据“甲乙合作效率=甲效率+乙效率=1÷合作时间”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程必须检验解是否符合题意、分母是否不为0。
(2) 比较施工费高低：已知乙每天施工费比甲少1500元，可设甲每天施工费为y元，乙对应为(y-1500)元，根据“合作12天总施工费102000元”列一元一次方程求出两家每日施工费，再分别乘各自单独完工的天数得到总施工费，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设甲公司单独完成此项工程需$x$天，则乙公司单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意列方程：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}=\frac{1}{12}$
方程两边同乘最简公分母$18x$去分母，得：
$18 + 12 = 1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$18x=360≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙单独完成的时间为$1.5x=1.5×20=30$（天）。
(2) 设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y-1500)$元。
根据题意列方程：
$12(y + y - 1500)=102000$
解得$y=5000$。
则乙公司每天的施工费为$5000-1500=3500$（元）。
计算单独完工的总施工费：
甲公司总费用：$20×5000=100000$（元）
乙公司总费用：$30×3500=105000$（元）
因为$100000＜105000$，所以甲公司的施工费较少。
【答案】
(1) 甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；
(2) 甲公司的施工费较少。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类应用题，核心考查利用方程解决实际问题的能力，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义、分母是否不为0。
【难度系数】
0.6
本题属于工程类实际应用题，解题可分两步展开：
(1) 求解单独完工天数：工程问题通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完工时间。已知乙单独用时是甲的1.5倍，可设甲单独完成需x天，乙对应为1.5x天，根据“甲乙合作效率=甲效率+乙效率=1÷合作时间”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程必须检验解是否符合题意、分母是否不为0。
(2) 比较施工费高低：已知乙每天施工费比甲少1500元，可设甲每天施工费为y元，乙对应为(y-1500)元，根据“合作12天总施工费102000元”列一元一次方程求出两家每日施工费，再分别乘各自单独完工的天数得到总施工费，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设甲公司单独完成此项工程需$x$天，则乙公司单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意列方程：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}=\frac{1}{12}$
方程两边同乘最简公分母$18x$去分母，得：
$18 + 12 = 1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$18x=360≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙单独完成的时间为$1.5x=1.5×20=30$（天）。
(2) 设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y-1500)$元。
根据题意列方程：
$12(y + y - 1500)=102000$
解得$y=5000$。
则乙公司每天的施工费为$5000-1500=3500$（元）。
计算单独完工的总施工费：
甲公司总费用：$20×5000=100000$（元）
乙公司总费用：$30×3500=105000$（元）
因为$100000＜105000$，所以甲公司的施工费较少。
【答案】
(1) 甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；
(2) 甲公司的施工费较少。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类应用题，核心考查利用方程解决实际问题的能力，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义、分母是否不为0。
【难度系数】
0.6
