1.(5分)如图,已知∠BCA=∠BDA=90°,BC=BD,则判定△BAC≌△BAD的依据是 ()

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL

（第1题图）
（第2题图）

1. D

【分析】
解题时首先观察已知条件：已知两个三角形都有90°的角，可先确定这两个都是直角三角形；再看边的条件，已知直角边BC=BD，两个三角形还共享斜边AB，即斜边也相等。回忆直角三角形全等的判定定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，对应HL定理，即可确定答案。
【解析】
∵$∠ BCA=∠ BDA=90°$，
∴$△ BAC$和$△ BAD$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BAC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中：
$\begin{cases}BC=BD(\mathrm{已知})\\AB=AB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BAC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
HL定理；全等三角形判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，需要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定，解题时先判断三角形类型，再结合已知的边相等条件即可快速得出结论，要注意区分普通三角形和直角三角形全等判定的适用范围。
【难度系数】
0.9

2.(5分)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,∠B=∠E=90°,AB=DE.若添加一个条件后,能用“HL”判定$Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF$,则添加的条件可以是 ()

A.$BC=EF$
B.$∠ BCA=∠ F$
C.$AB// DE$
D.$AD=CF$

2. D

【分析】
首先要明确“HL”判定直角三角形全等的适用条件：仅适用于直角三角形，需要满足一条直角边和斜边分别对应相等。本题中已知两个三角形都是直角三角形，且直角边AB=DE，因此只需再找到斜边AC=DF即可满足HL的判定要求，接下来逐一分析各选项是否能推出斜边相等，或是否符合HL的判定要求即可。
【解析】
已知∠B=∠E=90°，故△ABC和△DEF均为直角三角形，且已知直角边AB=DE。
HL判定全等需要额外满足斜边对应相等，即AC=DF：
选项A：若BC=EF，是两条直角边对应相等，用SAS可判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项B：若∠BCA=∠F，结合已知条件用AAS可判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项C：若AB//DE，可推出∠A=∠EDF，结合已知条件用ASA或AAS可判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项D：若AD=CF，根据线段和的性质，AD+DC=CF+DC，即AC=DF，此时斜边AC=DF，直角边AB=DE，满足HL的判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
HL判定全等、线段和差计算、全等三角形判定
【点评】
本题易错点是忽略题目要求仅用“HL”判定，误选其他也能判定全等但不符合HL要求的选项，解题时需先明确HL的适用条件，再结合已知推导所需的对应边相等关系。
【难度系数】
0.7

3.(5分)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是 ()

A.AB=DC
B.AC=DB
C.∠ABC=∠DCB
D.∠ABD=∠DCA

(第3题图)
(第4题图)

3. D

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路如下：第一步先明确已知条件：两个三角形均为直角三角形，斜边BC是公共边，即斜边已经相等；第二步回忆直角三角形全等的判定方法：除了普通三角形的AAS、ASA、SAS判定方法外，直角三角形还有专属的HL判定定理；第三步逐个分析选项，判断添加每个选项的条件后能否判定全等，选出不能判定的选项即可。
【解析】
已知在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，BC为两个三角形的公共斜边，即BC=CB。
对各选项逐一分析：
选项A：添加AB=DC，满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
选项B：添加AC=DB，满足“HL”判定定理，可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
选项C：添加∠ABC=∠DCB，结合∠A=∠D=90°，BC=CB，满足“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”，可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
选项D：添加∠ABD=∠DCA，仅能得到两组角对应相等，没有补充对应边相等的相关条件，无法判定Rt△ABC≌Rt△DCB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等判定，AAS全等判定，HL全等判定
【点评】
本题侧重考查全等三角形判定定理的理解与应用，解题时要注意挖掘公共边这类隐含的已知条件，逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7

4.(5分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D,E分别在边AB,BC上,$AD=AC$,$DE⊥ AB$,交BC于点E,连接AE.若$DE=3$,$BC=8$,则BE的长为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

4. C

【分析】
解题时先观察已知条件：∠C和∠ADE都是直角，AD=AC，AE是Rt△ACE和Rt△ADE的公共斜边，首先可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等得到CE=DE，最后结合BC的长度，用BC减CE即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠ADE=90°，即△ACE和△ADE均为直角三角形。
在Rt△ACE和Rt△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\AE=AE\end{array} $
∴Rt△ACE ≌ Rt△ADE（HL），
∴CE=DE=3，
又
∵BC=8，
∴BE=BC-CE=8-3=5。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定与性质的应用，解题关键是准确识别图中的全等三角形，通过全等实现线段长度的转化，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

5.(5分)如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则下列结论不正确的是（）

A.∠A与∠D互为余角
B.∠1=∠2
C.△ABC≌△CED
D.∠A=∠2
（第5题图）
（第6题图）

5. B

【分析】
首先结合已知垂直条件推导角的互余关系，再利用直角三角形两锐角互余得到角的等量关系，随后结合AC=CD和两个直角相等的条件判断三角形全等，最后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵$AC⊥ CD$，
∴$∠ ACD=90°$，
由平角为$180°$可得：$∠1+∠2=180°-∠ ACD=90°$。
∵$∠ B=∠ E=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A+∠1=90°$，因此$∠ A=∠2$，故D选项结论正确；
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$∠ D+∠2=90°$，因此$∠1=∠ D$，
∴$∠ A+∠ D=∠2+∠ D=90°$，即$∠ A$与$∠ D$互为余角，故A选项结论正确；
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ E \\∠ A=∠2 \\AC=CD\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ CED(\mathrm{AAS})$，故C选项结论正确；
题干没有给出$∠1=∠2$的相关条件，仅能得到$∠1+∠2=90°$，因此$∠1=∠2$不一定成立，B选项结论错误。
【答案】
B
【知识点】
余角的性质；全等三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用同角的余角相等推导角的等量关系，再结合全等三角形的判定定理验证结论，注意审题时明确要求选“不正确”的选项，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7

6.(5分)如图,用纸板挡住直角三角形的一部分后,能画出与此直角三角形全等的三角形,则判定这两个三角形全等的依据是。

6. ASA

【分析】
解题思路：首先观察图形，确定可测量得到的直角三角形的元素：①斜边分别与两条直角边形成的两个锐角的度数；②两个锐角的夹边（即斜边）的长度，斜边与纸板下边缘重合，测量纸板下边缘上两个交点的距离即可得到斜边长度。结合全等三角形的判定定理，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，即可对应得到判定依据。
【解析】
解：由图可知，该直角三角形露出的部分可确定三个有效元素：一是斜边与左直角边的夹角度数，二是斜边与右直角边的夹角度数，三是两个角的公共夹边（斜边）的长度。根据全等三角形的判定规则，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，因此对应的判定依据为ASA。
【答案】
ASA
【知识点】
全等三角形判定，ASA判定定理
【点评】
本题结合操作场景考查全等三角形判定定理的应用，需要先从图形中提取可确定的边角元素，再匹配对应的判定定理，侧重考查读图分析和定理运用能力。
【难度系数】
0.7

7.(5分)如图,在$Rt△ ABC$与$Rt△ DEF$中,$∠ B=∠ E=90°$,$AC=DF$,$AB=DE$,$∠ A=50°$,则$∠ DFE$的度数为.

(第7题图)
(第8题图)

7. 40°

【分析】
首先观察题目给出的两个直角三角形，已知斜边$AC=DF$、一组直角边$AB=DE$，可先利用直角三角形全等的HL判定定理证明$△ ABC≌△ DEF$；再根据全等三角形对应角相等得到$∠ D=∠ A=50°$，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ DFE$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AC=DF \\AB=DE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF\ (\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ D=∠ A=50°$
又$\because ∠ E=90°$，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，两锐角互余，
$\therefore ∠ DFE=90°-∠ D=90°-50°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过HL定理判定两个直角三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合直角三角形的内角性质计算所求角度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8.（5分）注重分类讨论思想，如图，$∠ C=90°$，$AC=10$，$BC=5$，$AX ⊥ AC$于点$A$，点$P,Q$分别在线段$AC$和射线$AX$上运动，且$AB=PQ$。当$AP$的长为时，$△ ABC$与$△ APQ$全等。

8. 5或10

【分析】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题需结合分类讨论思想。首先明确△ABC和△APQ均为直角三角形，已知斜边AB=PQ，已经满足HL判定的斜边相等条件，因此只需分两种直角边对应相等的情况讨论即可：第一种是AP与BC为对应直角边，第二种是AP与AC为对应直角边，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△APQ都是直角三角形。
已知AB=PQ（斜边对应相等），根据直角三角形全等的HL判定定理，分两种情况：
① 当AP=BC=5时，
在$Rt△ ABC$和$Rt△ QPA$中：
$\begin{cases}AB=QP\\BC=PA\end{cases}$
∴$Rt△ ABC≌Rt△ QPA$（HL）；
② 当AP=AC=10时，
在$Rt△ ABC$和$Rt△ PQA$中：
$\begin{cases}AB=PQ\\AC=PA\end{cases}$
∴$Rt△ ABC≌Rt△ PQA$（HL）。
综上，AP的长为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略全等三角形对应边的不确定性，未进行分类讨论导致漏解，解题时需明确HL判定定理仅适用于直角三角形，且在未给出对应关系时要考虑所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.7

9.(9分)(教材P43练习T2变式)如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求证:AB//CD.

9. 证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在 Rt △AEB 和 Rt △CFD 中，$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DF, \end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).
∴∠B=∠D.
∴AB//CD.

【分析】
要证明AB//CD，根据平行线的判定规则，只需证明内错角∠B=∠D即可。观察图形可知∠B和∠D分别在Rt△AEB和Rt△CFD中，已知AB=CD，只需再证明两个直角三角形的另一条直角边相等即可；由已知BF=DE，给等式两边同时加上公共线段EF，就能得到BE=DF，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得两个三角形全等后即可得到对应角∠B=∠D，从而推出AB平行于CD。
【解析】
证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在 Rt △AEB 和 Rt △CFD 中，$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DF, \end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).
∴∠B=∠D.
∴AB//CD.
【答案】
证明过程如上，AB//CD成立。
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定的基础综合题，解题的关键是通过线段和的关系得到全等所需的等边，结合HL判定直角三角形全等，再利用全等的性质得到内错角相等，进而判定平行，对夯实几何基础有很好的作用。
【难度系数】
0.8