例1 如图3-1-2,已知$△ ABC$是等边三角形,D,E分别是BC,AC上的点,且$AE = CD$,AD与BE相交于点F,$BG ⊥ AD$,垂足为点G.
(1)求证:$∠ ABE = ∠ CAD$. (2)若$FG = 3$,$EF = 1$,求BE的长.
分析:(1)由$△ ABC$是等边三角形知$AB = BC = AC$,$∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC = 60°$.
在$△ ABE$和$△ CAD$中,$AB = AC$,$∠ BAC = ∠ C$,$AE = CD$,
$\therefore △ ABE ≌ △ CAD$ (SAS). $\therefore ∠ ABE = ∠ CAD$.
(2)$\because ∠ BFD = ∠ BAD + ∠ ABE = ∠ BAD + ∠ CAD = 60°$.
又$\because BG ⊥ AD$, $\therefore ∠ FBG = 90° - ∠ BFD = 30°$.
$\therefore BF = 2FG = 6$. $\therefore BE = BF + FE = 6 + 1 = 7$.
评析:判定两个三角形全等的关键是要厘清边角的对应关系以及是否符合三角形全等的条件.

图3-1-2

证明：(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = ∠C = 60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAE = ∠C \\AE = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAD (SAS)，
∴ ∠ABE = ∠CAD。
解：(2) ∵ ∠BFD是△ABF的外角，
∴ ∠BFD = ∠BAD + ∠ABE。
由(1)得∠ABE = ∠CAD，
∴ ∠BFD = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°。
∵ BG ⊥ AD，
∴ ∠BGF = 90°，
∴ ∠FBG = 90° - ∠BFD = 30°，
∴ 在Rt△BFG中，BF = 2FG = 2×3 = 6。
又∵ EF = 1，
∴ BE = BF + EF = 6 + 1 = 7。

例2 如图3-1-3，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且$BD = CE$，连结DE交BC于点G。求证：$GD = GE$。
分析：证明线段（或角）相等，若它们不在同一个三角形中，一般可利用三角形全等来完成。当图形中没有全等三角形时，可通过构造全等三角形来实现问题的转化。请你试一试下列方法：
（1）过点D作$DF // AC$，交BC于点F，如图3-1-3。
（2）过点E作$EF // AB$，交BC的延长线于点F，如图3-1-4。
（3）过点D作$DF ⊥ BC$，过点E作$EH ⊥ BC$，垂足分别为点F，H，如图3-1-5。

图3-1-3 图3-1-4 图3-1-5 图3-1-6
想一想是否还有其他方法，像图3-1-6中的$DP = EQ$，能证明$GD = GE$吗？为什么？
评析：适当添加辅助线，构造全等三角形，是证明两条线段（或两个角）相等的基本方法。一般地，构造全等三角形的方法不止一种，我们应学会多角度思考，获得不同的方法。

方法（1）证明：
过点D作$DF // AC$，交BC于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACB$。
$\because DF // AC$，
$\therefore ∠ DFB = ∠ ACB$，$∠ DFG = ∠ ECG$。
$\therefore ∠ B = ∠ DFB$，
$\therefore BD = DF$。
又$\because BD = CE$，
$\therefore DF = CE$。
在$△ DFG$和$△ ECG$中：
$\begin{cases}∠ DGF = ∠ EGC \\∠ DFG = ∠ ECG \\DF = CE\end{cases}$
$\therefore △ DFG ≌ △ ECG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD = GE$。
---
方法（2）证明：
过点E作$EF // AB$，交BC的延长线于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACB$。
$\because EF // AB$，
$\therefore ∠ F = ∠ B$。
又$\because ∠ ACB = ∠ ECF$，
$\therefore ∠ F = ∠ ECF$，
$\therefore CE = EF$。
又$\because BD = CE$，
$\therefore BD = EF$。
在$△ BDG$和$△ FEG$中：
$\begin{cases}∠ BGD = ∠ FGE \\∠ B = ∠ F \\BD = FE\end{cases}$
$\therefore △ BDG ≌ △ FEG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD = GE$。
---
方法（3）证明：
过点D作$DF ⊥ BC$，过点E作$EH ⊥ BC$，垂足分别为点F，H。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACB$。
又$\because ∠ ACB = ∠ ECH$，
$\therefore ∠ B = ∠ ECH$。
在$△ BDF$和$△ CEH$中：
$\begin{cases}∠ DFB = ∠ EHC = 90° \\∠ B = ∠ ECH \\BD = CE\end{cases}$
$\therefore △ BDF ≌ △ CEH \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF = EH$。
在$△ DFG$和$△ EHG$中：
$\begin{cases}∠ DFG = ∠ EHG = 90° \\∠ DGF = ∠ EGH \\DF = EH\end{cases}$
$\therefore △ DFG ≌ △ EHG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD = GE$。
---
想一想部分解答：
能证明$GD=GE$，理由如下：
由$DP ⊥ BC$，$EQ ⊥ BC$，得$∠ DPG = ∠ EQG = 90°$。
在$△ DPG$和$△ EQG$中：
$\begin{cases}∠ DPG = ∠ EQG \\∠ DGP = ∠ EGQ \\DP = EQ\end{cases}$
$\therefore △ DPG ≌ △ EQG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD = GE$。

例3 如图 3-1-7,在$△ ABC$中,$∠ C = 2∠ B$,$∠ 1 = ∠ 2$.求证:$AB = AC + CD$.
分析:(1) 联想角和角的平分线组成的图形所具有的对称性,考虑到点B(或点C)关于AD所在直线的对称点,想一想如何作出这个对称点.(2) 考虑如何说明CD和CE的大小关系.
评析:本题是证明一条线段等于另两条线段之和,它的常用方法是:
① 延长一条短线段等于长线段,再证明延长部分与另一条短线段相等;
② 在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段,再证余下部分等于另一条短线段.这种证明方法叫“截长补短法”,证明线段间的和(差)关系时常用这种方法.

图3-1-7

证明：在AB上截取AF=AC，连接DF。
在△AFD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AF=AC\\∠1=∠2\\AD=AD\end{array} $
∴△AFD≌△ACD（SAS）
∴FD=CD，∠AFD=∠C
∵∠C=2∠B
∴∠AFD=2∠B
又∵∠AFD是△BDF的外角
∴∠AFD=∠B+∠FDB
∴2∠B=∠B+∠FDB
即∠B=∠FDB
∴FB=FD
又∵FD=CD
∴FB=CD
∵AB=AF+FB，AF=AC
∴AB=AC+CD。