12. 若关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 - 2mx + 1 $ 的图象与端点在 $ (-1,1) $ 和 $ (3,4) $ 的线段只有一个交点,则 $ m $ 的取值范围是______.

$m ＜ -\frac{1}{2}$或$m ＞ 1$

13. 对于二次函数 $ y = -2x^2 + 8x - 8 $,通过配方变形.
(1) 写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(2) 求出此抛物线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标.
(3) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小？

(1) $\because y=-2x^{2}+8x-8=-2(x-2)^{2}$，
$\therefore$ 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,0)$，该函数有最大值，最大值为0。
(2) 当$y = 0$时，$-2x^{2}+8x-8 = 0$，解得$x = 2$，即此抛物线与$x$轴的交点坐标是$(2,0)$；当$x = 0$时，$y = -8$，即此抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,-8)$。
(3) 当$x \geq 2$时，$y$随着$x$的增大而减小。

14. 根据下列不同条件分别求二次函数的表达式.
(1) 已知图象经过 $ (1,0) $,$ (2,-2) $,$ (0,4) $ 三点；
(2) 已知当 $ x = 2 $ 时,函数有最小值为 3,且图象过点 $ (1,5) $；
(3) 已知图象经过点 $ (3,-8) $,对称轴为直线 $ x = 2 $,且与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 6.

(1) 设所求二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx+c(a \neq 0)$，
根据题意，得$\begin{cases}0 = a + b + c,\\-2 = 4a + 2b + c,\\4 = c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -5,\\c = 4,\end{cases}$
$\therefore$ 所求二次函数的表达式为$y = x^{2}-5x + 4$。
(2) 当$x = 2$时，函数有最小值为3，则所求二次函数图象的顶点坐标为$(2,3)$，且开口向上，故可设该二次函数的表达式为$y = a(x - 2)^{2}+3(a ＞ 0)$。
$\because$ 图象过点$(1,5)$，$\therefore 5 = a(1 - 2)^{2}+3$，解得$a = 2$，
$\therefore$ 所求二次函数的表达式为$y = 2(x - 2)^{2}+3$。
(3) 由所求二次函数图象与$x$轴的两个交点之间的距离为6，且以直线$x = 2$为对称轴，可得该二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$，$(5,0)$。
故可设该二次函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 5)$。
$\because$ 图象过点$(3,-8)$，
$\therefore -8 = a(3 + 1)\times(3 - 5)$，解得$a = 1$，
$\therefore$ 所求二次函数的表达式为$y = (x + 1)(x - 5)=x^{2}-4x - 5$。

15. 已知二次函数 $ y = -2x^2 + (k - 2)x + 6 $,当 $ x \geq 1 $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小,当 $ x \leq 1 $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 求出这个函数的最大值或最小值,并求出取得最大值或最小值时相应自变量的值；
(3) 写出当 $ y ＞ 0 $ 时相应的 $ x $ 的取值范围.

(1) 依题意可知，抛物线的对称轴为直线$x = 1$，
即$-\frac{b}{2a}=-\frac{k - 2}{2\times(-2)} = 1$，解得$k = 6$。
(2) 当$k = 6$时，$y = -2x^{2}+4x + 6=-2(x - 1)^{2}+8$，
故当$x = 1$时，$y$取得最大值，最大值是8。
(3) 由$-2x^{2}+4x + 6 ＞ 0$，得$x^{2}-2x - 3 ＜ 0$，
即$(x + 1)(x - 3) ＜ 0$，解得$-1 ＜ x ＜ 3$。

16. 一次函数 $ y = kx - 2 $ 与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象的一个交点坐标为 $ (1,2) $,另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1) 求一次函数与二次函数的表达式；
(2) 过点 $ A(0,m)(-2 ＜ m ＜ 0) $ 且垂直于 $ y $ 轴的直线与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象相交于 $ B $、$ C $ 两点,点 $ O $ 为坐标原点,记 $ W = OA^2 + BC^2 $,求 $ W $ 关于 $ m $ 的函数表达式,并求 $ W $ 的最小值.

(1) 由题意，将点$(1,2)$代入一次函数的表达式得$k - 2 = 2$，解得$k = 4$，则一次函数的表达式为$y = 4x - 2$，二次函数$y = ax^{2}+c$的顶点坐标为$(0,c)$。由题意知，$(0,c)$在一次函数$y = 4x - 2$的图象上，则$c = -2$，将点$(1,2)$代入二次函数的表达式得$a + c = 2$，即$a - 2 = 2$，解得$a = 4$，则二次函数的表达式为$y = 4x^{2}-2$。
(2) 由题意，可设点$B$的坐标为$B(x_{1},m)$，点$C$的坐标为$C(x_{2},m)$，令$y = m$得$4x^{2}-2 = m$，即$4x^{2}=2 + m$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{2 + m}}{2}$，则$BC^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}=(\frac{\sqrt{2 + m}}{2}+\frac{\sqrt{2 + m}}{2})^{2}=2 + m$。
$\because A(0,m)(-2 ＜ m ＜ 0)$，$\therefore OA=-m$，则$W = OA^{2}+BC^{2}=m^{2}+2 + m=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$。
$\because -2 ＜ m ＜ 0$，$\therefore$ 当$m = -\frac{1}{2}$时，$W$取得最小值，最小值为$\frac{7}{4}$。